# 5510             21 août 2020

Parcours du cavalier (3)

Antérieurement, on a énuméré huit stratégies pour permettre à un cavalier de visiter toutes les cases d’une grille une et une seule fois. On donne ici quatre autres stratégies.

9. Parcours complémentaire

Pour trouver le parcours complémentaire dans une grille n × n, de (n² + 1), on soustrait chaque élément qui correspond au pas du cavalier. En d’autres mots, on part de la case d’arrivée et on remonte jusqu’à la case de départ, soit dans l’ordre inverse. Voici deux grilles complémentaires l’une de l’autre :

10. Circuit fermé

Lorsque le parcours du cavalier est fermé, c’est-à-dire qu’il est possible de passer de la dernière case visitée à la première dans une même grille, le départ du cavalier peut se faire sur n’importe laquelle case. Dans cette grille 6 × 6, on peut passer de la case 36 à la case 1.

Pour trouver une seconde grille, on part de la case 26 de la première grille. On passe par 27, 28, 29, etc. Après 36, on saute à 1 et on continue.

11. Chemin séquentiel

À partir d’une grille dûment parcourue par le cavalier, on peut choisir une séquence et modifier son chemin, tout en préservant l’accès au reste du parcours. Dans l’exemple suivant, on a modifié le parcours dans les cases jaunes. Cela donne une autre solution.

12. Corrections

Lorsque le cavalier ne peut plus avancer et qu’il reste quelques cases libres, on peut tenter de faire des corrections en modifiant ou en ajoutant des séquences.

Dans la grille suivante de gauche, deux cases sont libres. Elles sont reliées entre elles par le saut du cavalier. On doit viser à atteindre l’une des deux. On place 10 sous le 3, 11 sous le 4, 24 sous le 1 et 25 sous le 2. Seules les cases jaunes sont modifiées.

# 5480             3 août 2020

Parcours du cavalier (2)

Dans un autre article, nous avons énuméré quatre stratégies pour permettre à un cavalier de visiter toutes les cases d’une grille une et une seule fois. Nous donnons ici quatre autres stratégies.

5. Les quatre coins

Dans une grille 5 × 5, on conserve libres les cases grises dont celles des coins pour les visiter à la fin. En cours de route, on peut changer de sens si on le veut.

6. Un quadrant à la fois

On partage la grille en quatre carrés de même grandeur. Le cavalier passe par toutes les cases d’un premier quadrant, rejoint un deuxième, un troisième et un quatrième quadrant où il fait de même. Voici un exemple où le cavalier parcourt 100 cases dans une grille 10 × 10 partagée en quatre quadrants 5 × 5 :

7. Sauts de quadrants

On partage la grille 8 × 8 en quatre carrés de même grandeur. Le cavalier passe par quatre cases d’un premier quadrant, rejoint un deuxième, un troisième et un quatrième quadrant où il fait de même. En cours de route, le cavalier peut changer de sens. On colorie les cases des quadrants en quatre couleurs en ayant soin d’avoir les mêmes dispositions dans les quatre quadrants. Le cavalier peut atteindre une autre couleur quand il passe à un autre quadrant. Voici un premier exemple où le cavalier change de sens après le pas 16 :

Fait intéressant. Le cavalier suit un parcours fermé. Il peut passer de la case 1 à la case 64.

Voici un deuxième exemple où le cavalier change de sens après le pas 32 :

8. Partage en rectangles

On peut partager la grille en deux rectangles, résoudre le premier rectangle et passer au second. Voici un exemple où le deuxième rectangle montre un parcours similaire au premier :

# 5455             18 juin 2020

Parcours du cavalier (1)

Le cavalier aux échecs est une pièce atypique. Il passe d’une case noire à une case blanche et vice versa en se déplaçant sous forme d’un L. Dans une grille 3 × 3, il peut se mouvoir en suivant les numéros suivants.

Un des problèmes principaux concernant le cavalier consiste à déterminer s’il peut parcourir toutes les cases d’une grille donnée. Par exemple, on sait que, dans une grille 4 × 4, le cavalier ne peut parcourir que 14 ou 15 cases sur 16, la difficulté étant créée par l’entrée et la sortie des cases des coins.

Dans ces trois articles, nous allons donner brièvement 12 stratégies lorsque le cavalier se déplace dans une grille carrée. La case de départ portera le numéro 1 et chaque autre case visitée sera numérotée dans l’ordre. Voici d’abord quatre stratégies :

1. Repli stratégique

Dans une grille de grandeur donnée, on commence par écrire 1, 2, 3, 4, … en respectant le saut du cavalier. Quand le cavalier est bloqué, on retourne en arrière d’un ou de plusieurs pas. On reprend le chemin en visitant une autre case que la dernière. On continue ainsi jusqu’on soit obligé de refaire la même opération.

2. Comptage de cases

Le mathématicien allemand Warnsdorff a décrit une stratégie. On compte les cases possibles d’accès et on choisit toujours de visiter la case qui en possède le plus petit nombre. On réserve certaines cases sur lesquelles le cavalier pourrait passer. Dans la grille suivante, le nombre indique les possibilités d’atteindre toute case. Ainsi, quand une case est marquée 3, cela veut dire que le cavalier peut partir de trois cases pour l’atteindre. Le cavalier peut partir des trois cases grises pour atteindre la case 3 en bleu.

Par exemple, pour visiter les cases des coins, on peut entrer par une case marquée 6 et sortir pour atteindre l’autre case marquée 6.

3. Parcours entier de couronnes

On partage la grille de façon à avoir au moins une couronne comportant deux rangées de cases. Le cavalier visite toutes les cases de la couronne avant de passer à une autre couronne. Voici une grille où le cavalier se déplace dans le sens des aiguilles d’une montre :

Une grille 9 × 9 qui comporte une couronne est donnée. Les cases jaunes indiquent le passage d’une couronne à l’autre.

Une grille 13 × 13 qui comporte deux couronnes est donnée. Les cases jaunes indiquent le passage d’une couronne à l’autre.

Dans un tel cas, la grille centrale doit être au moins 5 × 5, car il n’y a pas de solution dans une grille 3 × 3.

4. Parcours partiels de couronnes

Quand on le veut, on peut quitter la couronne ou changer de direction. Dans la grille suivante, au départ, le cavalier se déplace dans les sens des aiguilles d’une montre. Il rejoint le centre au pas 17 et revient dans la couronne tout en changeant de direction :

# 5435             6 juin 2020

Rectangles magiques d’ordre 4 × n

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et la somme de chaque colonne doit être aussi unique mais différente de celle des lignes. Un rectangle magique m × n qui contient les nombres de 1 à mn est dit normal.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

Si la somme totale des nombres n’est pas divisible par m ou encore par n, on ne peut pas former un rectangle magique normal. Si la somme totale est divisible par m et par n, cela ne signifie pas nécessairement qu’on puisse former un rectangle magique.

Nous allons étudier quelques cas de rectangles d’ordre différent.

Un rectangle 4 × 5

La somme des nombres de 1 à 20 est 210. La somme n’est pas divisible par 4. On ne peut pas former de rectangle magique normal de cet ordre.

La prochaine somme divisible par 4 et par 5 est 220. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 21, sauf 11. La somme sur chaque ligne serait 55 et celle de chaque colonne 44.

On écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. On complète les colonnes pour que la somme soit 44 en ayant soin de placer 6, 7, 8, 9, 10 sur la deuxième ligne, 12 13, 14, 15, 16 sur la troisième ligne, puis 17, 18, 19, 20, 21 sur la quatrième ligne.

La somme des différences des éléments de la première et de la deuxième ligne est 25, soit 8 + 8 + 4 + 4 + 1. Entre la deuxième et la troisième ligne, la somme des différences est 30. Entre la troisième et la quatrième ligne, la somme des différences est 25. Comme les sommes sont différentes, on ne peut pas former de rectangle magique avec cette disposition et selon cette méthode.

Un rectangle 4 × 6

La somme des nombres de 1 à 24 est 300. La somme des lignes est 75 et celle des colonnes est 50. Comme précédemment, on écrit les nombres dans la grille pour que chaque colonne ait la même somme.

Entre chaque ligne voisine, la somme des différences des éléments est 36. Entre la première et la quatrième ligne, les différences sont successivement 20, 18, 16, 19, 17, 18. On peut partager les différences en deux groupes : 20 + 18 + 16 = 19 + 17 + 18.

Entre la deuxième et la troisième ligne, les différences sont successivement 8, 6, 4, 7, 5, 6. On peut partager les différences en deux groupes : 8 + 6 + 4 = 7 + 5 + 6.

Dans la même colonne, on intervertit les éléments d’après les derniers résultats. On peut donc former ce rectangle magique.

Conclusion

Par ailleurs, connaissant un rectangle magique, on peut en trouver un très grand nombre en déplaçant les éléments par ligne et par colonne ou les deux à la fois.

# 5410             21 mai 2020

Des poules et des veaux

Problème 1. Dans un pré, des poules picorent pendant que les veaux broutent. Un touriste compte le nombre de têtes et de pattes. Ce nombre est de 16 pour les têtes et de 52 pour les pattes. Combien y a-t-il de poules et de veaux dans ce pré ?

Je vous présente quatre façons de résoudre ce problème.

Stratégie 1. Écrire une équation

Soit x le nombre de poules et (16 – x) le nombre de veaux. On écrit : 2x + 4(16 – x) = 52. On résout l’équation. On trouve que x = 6 et 16 – x = 10. Il y a 6 poules et 10 veaux.

Stratégie 2. Écrire deux équations

Soit x le nombre de poules et y le nombre de veaux. On écrit : x + y = 16 et 2x + 4y = 52. On résout les équations. On trouve que x = 6 et y = 10. Il y a 6 poules et 10 veaux.

Stratégie 3. Procéder par raisonnement

Comme le nombre de pattes est pair autant pour les veaux que pour les poules, on peut diviser 52 par 2. Le résultat est 26. On fait : 26 – 16 = 10 : c’est le nombre de veaux. On fait : 16 – 10 = 6 : c’est le nombre de poules. Il y a 6 poules et 10 veaux.

Stratégie 4. Construire un tableau

On établit un tableau dans lequel on écrit le nombre de poules possible à partir de 1. Comme il y a 16 têtes, on complète avec le nombre de veaux. On calcule de nombre de pattes.

 

Poules	1	2	3	4	5	6
Veaux	15	14	13	12	11	10
Pattes	62	60	58	56	54	52

Il y a 6 poules et 10 veaux.

Problème 2. Dans un pré, des poules picorent pendant que les veaux broutent. Un touriste compte le nombre de têtes et de pattes. Ce nombre est de 39 pour les têtes et de 114 pour les pattes. Combien y a-t-il de poules et de veaux dans ce pré ?

On peut appliquer les trois premières stratégies. Quant au tableau, il serait fastidieux d’en construire un comme dans le problème précédent. On pose plutôt les premières hypothèses et on procède par induction par la suite.

 

Poules	1	2	3	4	…
Veaux	38	37	36	35	…
Pattes	154	152	150	148	…

Lorsqu’on augmente le nombre de poules de 1, le nombre de pattes diminue de 2. La différence de 154 et de 114 est 40. Comme le nombre diminue de 2, on fait : 40 ÷ 2 = 20. On fait : 38 – 20 = 18 : c’est le nombre de veaux. On fait : 39 – 18 = 21 : c’est le nombre de poules. Il y a 18 veaux et 21 poules.

Problème 3. Dans un pré, des poules picorent pendant que les veaux broutent. Un touriste compte le nombre de têtes et de pattes. Ce nombre est de 73 pour les têtes et de 228 pour les pattes. Combien y a-t-il de poules et de veaux dans ce pré ?

À vous de résoudre ce problème.

# 5390             9 mai 2020

Carrés magiques à bordures d’ordre 5

Un carré magique d’ordre 5 est dit à bordures quand le carré central d’ordre 3 est magique et qu’en ajoutant une rangée tout autour on a un carré d’ordre 5 qui est magique. Voici un carré magique à bordures d’ordre 5 :

Au centre, on trouve un carré magique d’ordre 3 non normal dont la somme dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 39. Le carré d’ordre 5 est magique, car la somme dans chaque rangée est la même, soit 65. Il est normal, car il contient les nombres consécutifs de 1 à 25.

Formation d’un carré normal

Pour obtenir un carré magique normal d’ordre 5, on peut procéder ainsi :

1. On écrit les nombres de 9 à 17 dans le carré central d’ordre 3 pour que la somme dans chaque rangée soit 39.

2. Dans la première et la cinquième case de la première ligne, on écrit les éléments d’un des couples suivants : (1, 3), (2, 8), (3, 5), (3, 7), (4, 6), (5, 7).

3. On complète chaque diagonale pour que la somme de l’élément choisi et de l’élément manquant soit 26.

4. On complète la première ligne et la première colonne pour qu’on y obtienne une somme de 65.

5. On complète la cinquième ligne, puis la cinquième colonne en soustrayant les éléments connus de 26.

Par exemple, après avoir formé le carré d’ordre 3 central, on place 5 et 7 sur la première ligne, puis, en complétant, 19 et 21 sur la cinquième ligne. Il manque 53 sur la première ligne et 41 dans la première colonne. Les couples non utilisés sont (1, 25), (2, 24), (3, 23), (4, 22), (6, 20) et (8, 18). On cherche dans ces couples les éléments dont la somme est 53. On biffe les couples utilisés. On vérifie dans les trois couples qui restent si on peut trouver une somme de 41. Si oui, on place les éléments aux endroits appropriés. On complète la cinquième ligne et la cinquième colonne.

Dans ce carré, la somme de chaque rangée du grand carré est 65. Ce carré est dit normal.

Formation d’un carré non normal

Pour obtenir un carré magique d’ordre 5, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un nombre qui est la somme C de chaque rangée du carré d’ordre 3 central.

2. On remplit le carré d’ordre 3 central.

3. La somme M des deux nombres qui manquent dans chaque rangée doit être 2C/3.

4. On complète les diagonales avec la somme M.

5. On complète la première ligne avec la somme C + M.

6. On complète les trois colonnes du centre avec la somme C + M.

7. On complète la première colonne avec la somme C + M.

8. On complète les trois lignes du centre avec la somme C + M.

Voici un exemple où C = 39 et M = 26 :

La somme de chaque rangée est 65. Le carré d’ordre 5 est magique, mais non normal.

# 5360             21 avril 2020
Divisibilité des carrés
Pendant des siècles, les problèmes de divisibilité ont intéressé les mathématiciens amateurs et professionnels. L’avènement de l’algèbre a permis de prouver certaines propriétés. Plus tard, la calculatrice et l’ordinateur ont rendu désuet ce genre de problèmes.

On connaît des centaines de façons de vérifier la divisibilité des nombres. Dans cet article, on s’intéresse à la divisibilité des carrés.

Proposition 1. La somme d’un nombre et de son carré est toujours divisible par 2.

 Preuve. Soit m² + m. On peut écrire m(m + 1). Comme les deux facteurs sont des nombres consécutifs, l’un est nécessairement pair et l’autre impair. Comme l’un est pair, la somme est divisible par 2.

Proposition 2. Tout carré ou tout carré auquel on soustrait 1 est divisible par 3.

 Preuve. On peut écrire tous les nombres sous la forme 3n, 3n + 1 et 3n + 2.

• (3n)² = 9n². Or, 9n² est divisible par 3 à cause du 9.

• (3n + 1)² = 9n² + 6n + 1. Si on soustrait 1, on obtient (9n² + 6n), une expression qui est divisible par 3, car chacun des termes est divisible par 3.

• (3n + 2)² = 9n² + 12n + 4. Si on soustrait 1, on obtient (9n² + 12n + 3), une expression qui est divisible par 3, car chacun des termes est divisible par 3.

Proposition 3. Tout carré ou tout carré auquel on soustrait 1 est divisible par 4.

 Preuve. On peut écrire tous les nombres sous la forme 4n, 4n + 1, 4n + 2 et 4n + 3. Si on élève au carré, on obtient successivement 16n², 16n² + 8n + 1, 16n² + 16n + 4, 16n² + 24n + 9. La première et la troisième expression sont divisibles par 4. Les deux autres le sont à la condition de soustraire 1.

Proposition 4. Tout carré ou tout carré auquel on additionne ou soustrait 1 est divisible par 5.

 Preuve. On peut écrire tous les nombres sous la forme 5n, 5n + 1, 5n + 2, 5n + 3 et 5n + 4. Si on élève au carré, on obtient successivement 25n², 25n² + 10n + 1, 25n² + 20n + 4, 25n² + 30n + 9, 25n² + 40n + 16. La première expression est divisible par 5. La deuxième et la cinquième expression sont divisibles par 5 à la condition de soustraire 1. Les deux autres le sont à la condition d’additionner 1.

Proposition 5.  Tout carré ou tout carré auquel on soustrait 1 ou on additionne 2 ou 3 est divisible par 6.

 Preuve. Je vous laisse le soin de faire la preuve.

Proposition 6. Tout carré impair, divisé par 8, donne 1 pour reste.

Preuve. Soit (2m + 1) un nombre impair. Son carré est (4m² + 4m + 1). Si on soustrait 1, on obtient 4(m² + m). Or, 4 est divisible par 4 et, à cause de la proposition 1, (m² + m) est divisible par 2. Le carré est divisible par 8 (4 × 2), si on lui soustrait 1.

Proposition 7. La différence des carrés de deux nombres impairs est divisible par 8.

 Preuve. Soit (2m + 1) et (2n + 1) les deux nombres impairs. La différence des carrés de ces nombres est 4(m² – n² + m – n) ou 4[(m² + m) – (n² + n)]. D’après la proposition 1, (m² + m) et (n² + n) sont tous divisibles par 2. D’où, (m² – n² + m – n) est pair. L’un des facteurs est 4; l’autre sera 2 : ce qui fait un produit de 8.

Le tableau suivant donne le moindre nombre qu’il faut additionner ou soustraire aux carrés de 1 à 9 pour que le résultat soit divisible par les nombres de 3 à 9.

# 5335             6 avril 2020

Rectangles magiques d’ordre 3 × n

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et la somme de chaque colonne doit être aussi unique mais différente de celle des lignes. Un rectangle magique m × n qui contient les nombres de 1 à mn est dit normal.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

Si la somme totale des nombres n’est pas divisible par m ou par n, on ne peut pas former un rectangle magique normal. Si la somme totale est divisible par m et par n, cela ne signifie pas nécessairement qu’on puisse former un rectangle magique.

Nous allons étudier quelques cas de rectangles d’ordre différent.

Un rectangle 3 × 4

La somme des nombres de 1 à 12 est 78. Comme 78 n’est pas divisible par 4, il n’existe pas de rectangle magique normal de cet ordre.

La prochaine somme divisible par 3 et par 4 est 84. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 13, sauf 7. La somme sur chaque ligne doit être 28 et celle de chaque colonne 21. On écrit 1, 2, 3 et 4 sur la première ligne.  On complète les colonnes en ayant soin de placer 5, 6, 8, 9 sur la deuxième ligne, puis 10, 11, 12, 13 sur la troisième ligne.

La somme des différences, par colonne, entre les éléments de la première et de la deuxième ligne est 18. Il en est de même entre les éléments de la deuxième et de la troisième ligne. Les différences entre chaque élément de la première et de la troisième ligne sont successivement 11, 8, 10, 7. On peut faire : 11 + 7 = 8 + 10. Comme les sommes sont identiques, on pourra former un rectangle magique.

Les différences 11 et 7 étant dans un membre de l’égalité, on intervertit 1 et 12 (12 – 1 = 11), puis 4 et 11 (11 – 4 = 7). On obtient ce rectangle magique.

Un rectangle 3 × 5

La somme des nombres de 1 à 15 est 120. La somme des lignes est 40 et celle des colonnes 24. Comme 120 est divisible par 3 et par 5, on peut supposer qu’on puisse former un rectangle magique.

On écrit 1, 2, 3, 4 et 5 sur la première ligne. On complète les colonnes en ayant soin de placer 6, 7, 8, 9, 10 sur la deuxième ligne, puis 11, 12, 13, 14, 15 sur la troisième ligne.

La somme des différences, par colonne, entre les éléments de la première et de la deuxième ligne est 25. Il en est de même entre les éléments de la deuxième et de la troisième ligne. Les différences entre chaque élément de la première et de la troisième ligne sont successivement 14, 11, 8, 10, 7. On peut partager la somme des différences en deux groupes : 14 + 11 = 8 + 10 + 7.

On intervertit 1 et 15 (15 – 1 = 14), puis 2 et 13 (13 – 2 = 11). On obtient ce rectangle magique qui est normal.

Un rectangle 3 × 6

La somme des nombres de 1 à 18 est 171. Comme 171 n’est pas divisible par 6, il n’existe pas de rectangle magique normal de cet ordre.

La prochaine somme divisible par 3 et par 6 est 174. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 19, sauf 16. La somme sur chaque ligne serait 58 et celle de chaque colonne 29.

On écrit 1, 2, 3, 4, 5, 6 sur la première ligne. On complète les colonnes en ayant soin de placer 7, 8, 9, 10, 11, 12 sur la deuxième ligne, puis 13, 14, 15, 17, 18, 19 sur la troisième ligne.

La somme des différences, par colonne, d’une ligne à l’autre est successivement 36 (lignes 1 et 2) et 39 (lignes 2 et 3). Comme les sommes sont différentes, on ne peut pas former de rectangle magique selon cette méthode.

La prochaine somme divisible par 3 et par 6 est 180. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 19, sauf 10. La somme sur chaque ligne serait 60 et celle de chaque colonne 30.

On écrit les nombres de 1 à 6 sur la première ligne. On complète les colonnes avec les nombres de 7 à 13, sauf 10, sur la deuxième ligne et les nombres de 14 à 19 sur la troisième ligne.

La somme successive des différences  d’une ligne à l’autre (lignes 1 et 2, puis lignes 2 et 3) est 39. Les différences entre chaque élément de la première et de la troisième ligne sont successivement 16, 17, 11, 11, 13, 10. On peut partager la somme des différences en deux groupes : 17 + 11 + 11 = 16 + 13 + 10.

On intervertit 2 et 19, 3 et 14, puis 4 et 15. On obtient ce rectangle magique.

Un rectangle 3 × 7

À votre tour de tenter de composer un rectangle magique de cet ordre.

# 5305             18 mars 2020

Prises de becs

Problème 1. Des personnes sont placées 4 × 4. Chaque personne donne un bec à sa voisine, et cela en tout sens, dont en diagonale.

Combien de becs seront donnés ? Quand deux personnes se donnent un bec, cela est compté pour un seul bec.

Solution. Illustrons la situation dans une grille 4 × 4.

Sur la première ligne, on a 3 becs : (1, 2), (2, 3), (3, 4). Pour les lignes, on aura 12 becs.

Dans la première colonne, on a 3 becs : (1, 5), (5, 9), (9, 13). Pour les colonnes, on aura 12 becs.

Dans les diagonales des deux premières lignes, on a 6 becs : (1, 6), (2, 5), (2, 7), (3, 6), (3, 8), (4,7). Il y a trois paires de lignes voisines : ce qui donne 18 becs.

Dans une grille 4 × 4, on peut compter 42 becs.

Problème 2. Même question dans une grille 50 × 50.

Première stratégie

En s’inspirant de la démarche du problème précédent, on peut écrire :

Sur la première ligne, on aura 49 becs. Comme il y a 50 lignes, on fait : 49 × 50 = 2450 becs.

Dans la première colonne, on aura 49 becs. Comme il y a 50 colonnes, on fait : 49 × 50 = 2450 becs.

Dans les diagonales des deux premières lignes, on aura 98 becs. Comme il y a 49 paires de lignes, on fait : 98 × 49 = 4802 becs.

On fait : 2450 + 2450 + 4802 = 9702. Dans une grille 50 × 50, on peut compter 9702 becs.

Deuxième stratégie

Appelons n le nombre de becs.

Sur la première ligne, on aura (n – 1) becs. Comme il y a n lignes, on aura n(n – 1) becs.

Dans la première colonne, on aura (n – 1) becs. Comme il y a n colonnes, on aura n(n – 1) becs. Dans les diagonales des deux premières lignes, on aura 2(n – 1) becs. Comme il y a (n – 1) paires de lignes, on aura 2(n – 1)² becs.

Additionnons ces résultats. Cela donne 2(n – 1)(2n – 1). On remplace n par 50. Le résultat est 9702. Dans une grille 50 × 50, on peut compter 9702 becs.

Troisième stratégie

On peut procéder autrement pour trouver le terme général, comme dans le cas précédent.

Vérifions ce qui se passe à partir d’une grille 1 × 1 jusqu’à une grille 5 × 5.

Grille 1 × 1 : 0 bec

Grille 2 × 2 : 6 becs

Grille 3 × 3 : 20 becs

Grille 4 × 4 : 42 becs

Grille 5 × 5 : 72 becs

On a la suite 0, 6, 20, 42, 72, ... La différence entre chaque terme voisin est la suite 6, 14, 22, 30, ... Cette dernière suite est du premier degré. La suite 0, 6, 20, 42, 72, … est donc du second degré. Il faut trouver le terme général d’une suite de degré 2. L’équation pour une telle suite est an² + bn + c = m où a, b et c sont des constantes, n le rang du terme et m le terme correspondant de la suite.

On remplace n successivement par 1, 2 et 3, puis m par le nombre correspondant qui est le total. On a :

a + b + c = 0

4a + 2b + c = 6

9a + 3b + c = 20

En résolvant les équations, on trouve : a = 4, b = -6 et c = 2. Le terme général est 4n² – 6n + 2 ou 2(n – 1)(2n – 1). Comme il s’agit d’une grille 50 × 50, on remplace n par 50 : ce qui donne 9702.

C’est donc 9702 becs qui seront donnés.

Quatrième stratégie

Dans la suite 0, 6, 20, 42, 72, ... trouvée précédemment, on note que chaque terme est le produit de deux entiers consécutifs dont le premier nombre augmente de 2 d’un rang à l’autre.

Soit n le rang du terme, le premier nombre p du produit est (2n – 2). Lorsque n = 50, p = 98. On fait : 98 × 99 = 9702.

C’est donc 9702 becs qui seront donnés.

Cinquième stratégie

Dans la suite 0, 6, 20, 42, 72, ... trouvée précédemment, on note que chaque terme est le double d’un nombre triangulaire.

Soit n le rang du terme, le rang r du triangulaire est (2n – 2). Lorsque n = 50, r = 98. Le terme général d’un triangulaire est r(r + 1)/2. On remplace r par 98. On obtient 4851. On multiplie ce résultat par 2 à cause du double. On obtient 9702.

C’est donc 9702 becs qui seront donnés.

Sixième stratégie

La formule peut être associée aux nombres trapézoïdaux. Ceux-ci sont formés de la somme de nombres consécutifs. Par exemple, 26 est un nombre trapézoïdal car 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

D’ailleurs, les nombres de la suite trouvée précédemment sont tous trapézoïdaux. Ils sont formés de nombres de p à 3p où p est un entier. Pour sa part, 9702 est la somme des entiers consécutifs de 49 à 147.

On peut aussi associer ces nombres à une spirale dont les éléments d’une diagonale à partir du centre appartiennent à cette suite. Voici l’illustration :

Conclusion

Bref, ce problème qui paraît simple peut être résolu en au moins six stratégies et peut conduire à des illustrations mathématiques.

# 5280             3 mars 2020

Bicarrés ou puissances 4

Étudions d’abord ce qui se passe quand on fait la somme de bicarrés dans un carré magique d’ordre 3.

Construisons un carré magique d’ordre 3.

Par lignes

La somme des puissances 4 de la première ligne est : 13⁴ + 1⁴ + 10⁴ = 38 562.

La somme des puissances 4 de la troisième ligne est : 6⁴ + 15⁴ + 3⁴ = 52 002.

La différence des sommes est 13 440.

Posons m le médian (8) du carré magique, p le produit de la raison des deux diagonales (5 × 2) et d la différence des éléments extrêmes de la deuxième colonne (14). On a : mpd = 8 × 5 × 2 × 14 = 1120. En multipliant par 12, on obtient 13 440 : ce qui est la différence des sommes. La valeur ajoutée (ou retranchée) est : 12mpd = 12 × 8 × 10 × 14 = 13 440.

On peut écrire : 13⁴ + 1⁴ + 10⁴ + 12mpd = 6⁴ + 15⁴ + 3⁴ = 52 002.

On voit par là que la différence de la somme des nombres à la puissance 4 de la première ligne et de la troisième ligne est égale à 12mpd.

La formule générale est : a⁴ + b⁴ + c⁴ + 12mpd = x⁴ + y⁴ + z⁴.

Par colonnes

On s’intéresse à la première et à la troisième colonne. La formule est la même. Toutefois, la différence d des éléments extrêmes de la deuxième ligne est 6 au lieu de 14. La différence des deux trios de puissances 4 est 12mpd = 12 × 8 × 10 × 6 = 5760.

On peut écrire : 10⁴ + 11⁴ + 3⁴ + 12mpd = 13⁴ + 5⁴ + 6⁴ = 30 482.

Addition de nombres

Additionnons 5 à chacun des termes du carré magique précédent. On a :

Au lieu d’être 8, le médian est 13. La raison de chaque diagonale ne change pas. D’où, p ne change pas. La différence des éléments extrêmes de la deuxième colonne ne change pas. D’où, d ne change pas. On peut donc écrire par lignes :

18⁴ + 6⁴ + 15⁴ + 12mpd = 11⁴ + 20⁴ + 8⁴ = 178 737 où mpd = 13 × 10 × 14 = 1820.

Si on additionne un même nombre à chaque terme affecté de la puissance 4 dans le cas précédent, l’identité demeure. Toutefois, le médian augmente du nombre choisi. Les autres variables p et d ne changent pas. En additionnant 2, on peut écrire :

20⁴ + 8⁴ + 17⁴ + 12mpd = 13⁴ + 22⁴ + 10⁴ = 272 817 où mpd = 15 × 10 × 14 = 2100.

Relations entre deux carrés magiques

Construisons un premier carré magique, celui de gauche. Additionnons 14 à chacun des éléments de ce carré. On obtient un second carré magique.

Soit A1 la somme des bicarrés de la première ligne du premier carré, A3 la somme des bicarrés de la troisième ligne du premier carré, B1 la somme des bicarrés de la première ligne du deuxième carré, B3 la somme des bicarrés de la troisième ligne du deuxième carré.

Premier carré

A1 = 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ = 79 202.

A3 = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ = 108 002.

La différence des sommes est 28 800.

15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 12mpd = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ = 108 002 où mpd = 10 × 15 × 16 = 2400.

Deuxième carré

B1 = 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ = 1 304 258.

B3 = 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 373 378.

La différence des sommes est 69 120.

29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12mpd = 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 373 378 où mpd = 24 × 15 × 16 = 5760.

Comparons les sommes des premières lignes et des premières colonnes :

A1 + B1 = 1 383 460

A3 + B3 = 1 481 380

La différence est 97 920.

97 920 = 28 800 + 69 120 = 12(m₁ + m₂)pd = 12 × 34 × 15 × 16.

On peut écrire : 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12(m₁ + m₂)pd = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ + 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ =  1 481 380.

Bref, A1 + B1 augmenté de 12(m₁ + m₂)pd est égale à A3 + B3.

Comparons les sommes croisées

A1 + B3 = 1 452 580

A3 + B1 = 1 412 260

La différence des sommes est 40 320.

40 320 = 69 120 – 28 800 = 12m₂pd – 12m₁pd = 12(m₂ – m₁)pd = 12 × 14 × 15 × 16 .

On peut écrire : 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ + 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12(m₂ – m₁)pd = 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 452 580.

Bref, A3 + B1 augmenté de 12(m₂ – m₁)pd est égale à A1 + B3.

# 5250             12 février 2020

En deux pièces

Problème. On doit partager une planche de 15 centimètres sur 24 centimètres en deux pièces. Après avoir accolé les pièces, on doit obtenir une planche de 18 centimètres sur 20 centimètres.

Comment doit-on s’y prendre ?

1. Planches de même dimension

On peut partager une planche de 4 centimètres sur 4 centimètres en deux pièces pour obtenir une figure de même dimension. Par exemple, on peut glisser le rectangle en jaune de la première figure à gauche du rectangle restant. Voici l’illustration :