# 5554             18 septembre 2020

Dix puissances 4

Comment trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 5, 9, 17 et 18 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 11, 15 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 10, 14, 22, 23, puis  7, 8, 16, 20, 24. L’égalité est : 6⁴ + 10⁴ + 14⁴ + 22⁴ + 23⁴ = 7⁴ + 8⁴ + 16⁴ + 20⁴ + 24⁴ = 563 809.

# 5553             18 septembre 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 93 et dont la différence est 63. On fait : 93 + 63 = 156 et √156 = 12,49. La partie entière est 12. On fait : 93 – 63 = 30 et √30 = 5,48. La partie entière est 5. Les deux nombres sont 5 et 12.

# 5552             18 septembre 2020

Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par lui-même. On note le résultat.

• On soustrait les rangs l’un de l’autre.

• On additionne 1.

• On multiplie par le plus petit rang. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les résultats de la deuxième et de la troisième ligne.

• On divise par 2.

• On additionne les deux résultats notés et le dernier résultat.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 4 = 16, 10 – 4 = 6, 6 + 1 = 7 et 7 × 4 = 28. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 16 + 28 + 21 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55. 

# 5551             18 septembre 2020

Huit triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de sept triangulaires ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire et dont la différence entre les nombres est au moins 2 : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 à chacune des bases : ce sont d’autres bases du deuxième membre.

• On additionne le carré des nombres choisis.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est la septième base du deuxième membre.

• On additionne 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 7 les nombres choisis. La différence est 1, 3, 6. On fait : 2² + 4² + 7² = 69, 69 – 3 = 66, 66 ÷ 2 = 33 et 33 + 2 = 35. L’égalité est : 35^D = 1^D + 2^D + 3^D + 4^D + 6^D + 7^D + 33^D = 630.

# 5519             27 août 2020

Dix carrés

Comment trouver cinq carrés dont la somme est égale à celle de cinq autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17 et 24, puis 6, 7, 14, 20 et 23. L’égalité est : 5² + 8² + 16² + 17² + 24² = 6² + 7² + 14² + 20² + 23² = 1210.

# 5518             27 août 2020

Quatorze puissances 6

Comment trouver sept nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à celle de sept autres nombres élevés à la même puissance?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 18, 27, 58, 64, 89, 101 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 13, 38, 44, 75, 84, 102 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 4, 22, 31, 62, 68, 93, 105, puis 5, 17, 42, 48, 79, 88, 106. On écrit : 4⁶ + 22⁶ + 31⁶ + 62⁶ + 68⁶ + 93⁶ + 105⁶ = 5⁶ + 17⁶ + 42⁶ + 48⁶ + 79⁶ + 88⁶ + 106⁶ = 2 143 754 429 963.

# 5517             27 août 2020

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait la somme des carrés. On note le résultat.

• On élève au carré. On note le résultat.

• On soustrait la somme de leurs carrés.

• On multiplie par 2.

• Du second résultat noté, on soustrait le précédent.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne le premier résultat noté.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• Du premier résultat noté, on soustrait le précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 51 et dont la somme des carrés est 89. On fait : 51 × 2 = 102, 102 – 89 = 13, 13² = 169, 169 – 89 = 80 et 80 × 2 = 160. On fait : 169 – 160 = 9, √9 = 3, 3 + 13 = 16, 16 ÷ 2 = 8 et 13 – 8 = 5. Les deux nombres sont 5 et 8.

# 5516             27 août 2020

Six triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de cinq triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le successeur du nombre choisi.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On soustrait  1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2: c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On fait : 4 + 1 = 5, 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24, 24 ÷ 2 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 + 2 = 13. On fait : 13 × 13 = 169, 169 – 3 = 166, 166 ÷ 2 = 83 et 83 + 2 = 85. L’égalité est : 85^D = 4^D + 5^D + 11^D + 12^D + 83^D  = 3655.

# 5474             30 juin 2020

Huit carrés

Connaissant deux couples de carrés dont la somme est identique, comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit une égalité de deux couples de deux carrés dont la somme est identique.

• On choisit un nombre supérieur  à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 4² + 17² = 7² + 16² l’égalité choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1, 18 + 17 = 35, 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 1² + 14² + 22² + 35² = 2² + 11² + 25² + 34² = 1906.

# 5473             30 juin 2020

Puissance 5 d’un nombre

Comment trouver la puissance 5 d’un nombre sans élever à cette puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par son successeur.

• On multiplie le nombre choisi par son prédécesseur.

• On additionne 1.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

• On soustrait le nombre choisi.

• On multiplie par le nombre choisi.

Soit à élever 4 à la puissance 5. On fait : 4 × 5 = 20, 4 × 3 = 12, 12 + 1 = 13, 13 × 20 = 260, 260 – 4 = 256 et 256 × 4 = 1024. Le nombre 1024 est la puissance 5 de 4.

# 5472             30 juin 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la somme par son successeur.

• On soustrait le double de la différence des triangulaires. On note le résultat.

• On multiplie par 2 le successeur de la somme donnée des deux nombres.

• On divise le résultat noté par le résultat précédent : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée, on soustrait le résultat précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 11 et dont la différence des triangulaires est 42. On fait : 11 × 12 = 132, 132 – 84 = 48, 12 × 2 = 24, 48 ÷ 24 = 2 et 11 – 2 = 9. Les deux nombres sont 2 et 9.

# 5471             30 juin 2020

Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ?

Étapes

• On additionne le triangulaire et son rang.

• On additionne 1.

• On additionne le triangulaire donné.

• On mutiplie l’un par l’autre le successeur du rang et le résultat précédent.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 + 8 = 44, 44 + 1 = 45, 45 + 36 = 81 et 9 × 81 = 729. Le nombre 729 est un cube. C’est le cube de 9.

# 5444             12 juin 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On écrit + 0² comme deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3² + 4² = 5² le triplet choisi. On écrit : 3² + 4² = 5² + 0². On choisit 8 comme opérateur. On fait : 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 4 = 4, 8 + 4 = 12, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 – 0 = 8 et 8 + 0 = 8. L’égalité est : 4² + 5² + 11² + 12² = 3² + 8² + 8² + 13² = 306.

# 5443             12 juin 2020

Douze puissances 4

Comment trouver six nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six autres nombres élevés à la même puissance?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les sommes sont 3,  8, 9, 19, 20, 25, puis 4, 5, 13, 15, 23, 24. On écrit : 3⁴ + 8⁴ + 9⁴ + 19⁴ + 20⁴ + 25⁴ = 4⁴ + 5⁴ + 13⁴ + 15⁴ + 23⁴ + 24⁴ = 691 684.

# 5442             12 juin 2020

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On élève au carré la somme donnée des deux nombres.

• On soustrait le double de  la somme des triangulaires.

• On additionne la somme donnée des deux nombres.

• On divise par 2.

• On cherche un couple de facteurs dont la somme est celle des deux nombres.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 14 et dont la somme des triangulaires est 60. On fait : 14² = 196, 196 – 120 = 76, 76 + 14 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Les deux nombres sont 5 et 9.

# 5441             12 juin 2020

Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par son successeur.

• On multiplie le plus grand rang par son successeur.

• On additionne les résultats.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 5 = 20, 10 × 11 = 110, 20 + 110 = 130 et 130 ÷ 2 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55. 

# 5399             15 mai 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On écrit une suite de quatre nombres dont la raison est identique.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.

• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première suite, le deuxième et le troisième de la deuxième suite, puis le quatrième de la première suite.

• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 12, 15, 18, 21 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont  17, 20, 23, 26. Le premier groupe est formé de 12, 20, 23, 21. Le deuxième groupe est formé de 17, 15, 18, 26. L’égalité est : 12² + 20² + 21² + 23² = 15² + 17² + 18² + 26² = 1514.

# 5398             15 mai 2020

Douze cubes

Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres carrés.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chacune des bases de l’égalité, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chacun des nombres tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 6² + 7² + 11² = 5² + 9² + 10² l’égalité choisie. On choisit 12 comme opérateur. On fait : 12 – 6 = 6, 12 + 6 = 18, 12 – 7 = 5, 12 + 7 = 19, 12 – 11 = 1 et 12 + 11 = 23. On fait de même pour le deuxième membre. On obtient 7, 17, 3, 21, 2 et 22. L’égalité est : 1³ + 5³ + 6³ + 18³ + 19³ + 23³ = 2³ + 3³ + 7³ + 17⁴ + 21³ + 22³ = 25 200.

# 5397             15 mai 2020

Suite de raison 4

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 1, dont la raison est 4 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On additionne 3 au dernier terme.

• On divise par 4.

• On additionne 1 au dernier terme.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 53. On fait : 53 + 3 = 56, 56 ÷ 4 = 14, 53 + 1 = 54, 54 × 14 = 756 et 756 ÷ 2 = 378. La somme est 378.

# 5396             15 mai 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un triangulaire ?

Étapes

• On choisit deux triangulaires de même parité.

• On les additionne.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait le plus petit nombre choisi : c’est un deuxième nombre.

Soit 66 et 120 les triangulaires choisis. On fait : 66 + 120 = 186, 186 ÷ 2 = 93 et 93 – 66 = 27. Les deux nombres sont 27 et 93.

# 5364             24 avril 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On écrit une suite de trois nombres dont la raison est identique.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.

• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première suite, le deuxième de la deuxième suite qu’on répète et le troisième de la première suite.

• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent tout en répétant le nombre du milieu de la première suite.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 12, 15, 18 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont 17, 20, 23. Le premier groupe est formé de 12, 20, 20, 18. Le deuxième groupe est formé de 17, 15, 15, 23. L’égalité est : 12² + 18² + 20² + 20² = 15² + 15² + 17² + 23² = 1268.

# 5363             24 avril 2020

Douze cubes

Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• On choisit un autre nombre B qu’on additionne à chaque résultat précédent : ce sont des bases du deuxième membre.

• On additionne A successivement à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du deuxième membre.

• On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du premier membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Les sommes sont 16, 21 et 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10 et 15. On additionne B. Les sommes sont 17, 19 et 24. L’égalité est : 7³ + 12³ + 14³ + 17³ + 19³ + 24³ = 8³ + 10³ + 15³ + 16³ + 21³ + 23³ = 30 411.

# 5362             24 avril 2020

Puissance 6 d’un nombre

Comment trouver un nombre élevé à la puissance 6 sans élever à cette puissance ?

Étapes

• On choisit un cube.

• On soustrait 1.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On multiplie les deux derniers résultats.

• On additionne 1.

Soit 27 le nombre choisi. On fait : 27 – 1 = 26, 27 + 1 = 28, 26 × 28 = 728 et 728 + 1 = 729. Le nombre 729 est une puissance 6, soit 3⁶.

# 5361             24 avril 2020

Triangulaires et carrés

Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On calcule sa racine.

• On additionne le carré.

• On divise par 2.

Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 81. On fait : √81 = 9, 9 + 81 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Le nombre 45 est triangulaire. Il est de rang 9.

# 5330             2 avril 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente. Le premier est une base du premier membre de l’égalité, l’autre une base du second membre.

• On fait la différence des carrés de ces deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des nombres choisis au départ : le premier résultat est une base du premier membre de l’égalité, l’autre est une base du second membre.

• On fait la différence des carrés des deux derniers résultats.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 2 et 7 les nombres choisis. On fait : 7² – 2² = 45, 45 – 1 = 44, 44 ÷ 2 = 22. On a 22 et 23. On choisit 3. On fait : 2 + 3 = 5, 7 + 3 = 10, 10² – 5² = 75, 75 – 1 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. On a 37 et 38. L’égalité est : 2² + 5² + 23² + 38² = 7² + 10² + 22² + 37² = 2002.

# 5329             2 avril 2020

Différence de carrés

Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

· On additionne les chiffres du nombre choisi.

· On soustrait les chiffres du nombre choisi.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats. On note le résultat.

· On ajoute deux 0 à la fin.

· On soustrait le résultat noté.

Soit à trouver la différence du carré de 72 et de celui de son renversé. On fait : 7 + 2 = 9, 7 – 2 = 5 et 9 × 5 = 45. On écrit 4500. On fait : 4500 – 45 = 4455. La différence est 4455.

# 5328             2 avril 2020

Dix cubes

Comment trouver cinq cubes dont la somme est égale à celle de cinq autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17, 24, puis 6, 7, 14, 20, 23. On écrit : 5³ + 8³ + 16³ + 17³ + 24³ = 6³ + 7³ + 14³ + 20³ + 23³ = 23 470.

# 5327             2 avril 2020

Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ?

Étapes

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 7 et du cube de même rang. On fait : 7 × 2 = 14, 14 + 1 = 15, 15 × 7 = 105 et 105 + 1 = 106. On fait : 106 × 7 = 742 et 742 ÷ 2 = 371. La somme est 371. Le triangulaire est 28 et le cube est 343.

# 5326             2 avril 2020

Quatre triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de trois triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le nombre choisi.

• On additionne 1.

• On divise par 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On soustrait  2 : c’est la troisième base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 – 1 = 6 et 7 × 7 = 49. On fait : 49 + 1 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et 25 – 2 = 23. L’égalité est : 25^D = 6^D + 7^D + 23^D = 325.

Note. 25^D se lit triangulaire de rang 25.

# 5294             12 mars 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 7, 8 et 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 2, 4, 11 et 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. Les produits sont 6, 42, 48 et 84, puis 12, 24, 66 et 78. L’égalité est : 6² + 42² + 48² + 84² = 12² + 24² + 66² + 78² = 11 160.

# 5293             12 mars 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

On choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à la somme de deux autres carrés.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chacun des nombres pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 4² + 17² = 7² + 16² l’égalité choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1 et 18 + 17 = 35. On fait : 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 1³ + 14³ + 22³ + 35³ = 2³ + 11³ + 25³ + 34³ = 56 268.

# 5292             12 mars 2020

Puissance 5 d’un nombre

Comment trouver la puissance 5 d’un nombre formé de 9 ?

Étapes

• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 5.

• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit 9 autant de fois que le nombre contient de 9.

• On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.

• On écrit un 4.

• On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.

Soit à élever 9999 à la puissance 5. On écrit trois 9, un 5, trois 0, quatre 9, quatre 0, un 4, quatre 9. Le résultat est 99 950 009 999 000 049 999.

# 5291             12 mars 2020

Nombres triangulaires

Comment savoir si un nombre est triangulaire ?

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double plus 1 ou moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 105 est triangulaire. Le couple de facteurs possible est (7, 15). Le nombre 105 est triangulaire puisque 7 × 2 + 1 = 15.

Soit à savoir si 176 est triangulaire. Aucun couple de facteurs correspondant aux exigences n’est possible. Le nombre 240 n’est pas triangulaire.

# 5259             18 février 2020

Huit carrés

Comment décomposer un carré en une somme de sept carrés ?

Étapes

• On choisit six nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6 les nombres choisis. On fait : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91, 91 – 1 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 + 1 = 46. L’égalité est : 46² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 45².

# 5258             18 février 2020

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés dont la différence est égale à la différence de deux autres carrés ?

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

· On additionne les deux nombres.

· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

· On soustrait 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4 + 7 = 11, 7 – 4 = 3, 11 × 3 = 33, 33 + 1 = 34, 34 ÷ 2 = 17 et 17 – 1 = 16. L’égalité est : 7² – 4² = 17² – 16² = 33.

# 5257             18 février 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On ajoute + 0² comme deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3² + 4² = 5² le triplet choisi. On écrit : 3² + 4² = 5² + 0². On choisit 9 comme opérateur. On fait : 9 – 3 = 6, 9 + 3 = 12, 9 – 4 = 5 et 9 + 4 = 13. On fait : 9 – 5 = 4, 9 + 5 = 14, 9 – 0 = 9 et 9 + 0 = 9. L’égalité est : 5³ + 6³ + 12³ + 13³ = 4³ + 9³ + 9³ + 14³ = 4266.

# 5256             18 février 2020

Six puissances 4

Comment trouver trois nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de trois autres nombres élevés à la même puissance ? 

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On multiplie le nombre choisi par 7.

• On additionne 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du premier membre.

• On multiplie le nombre choisi par 3.

• On additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le nombre choisi par 5.

• On additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour former une égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 1 + 23 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 1⁴ + 23⁴ + 24⁴ = 11⁴ + 16⁴ + 27⁴ = 611 618.

# 5224             27 janvier 2020

Sept carrés

Comment décomposer un carré en une somme de six carrés ?

Étapes

• On choisit cinq nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases base du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 2, 3, 4, 5 les nombres choisis. On fait : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 28² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 27².

# 5223             27 janvier 2020

Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On divise la différence des carrés par la différence des deux nombres.

• On additionne la différence des deux nombres.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait la différence donnée des deux nombres : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 4 et dont la différence des carrés est 88. On fait : 88 ÷ 4 = 22, 22 + 4 = 26, 26 ÷ 2 = 13 et 13 – 4 = 9. Les deux nombres sont 13 et 9.

# 5222             27 janvier 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 7, 8, 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 2, 4, 11, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 49, 56, 98, puis  14, 28, 77, 91. L’égalité est : 7³ + 49³ + 56³ + 98³ = 14³ + 28³ + 77³ + 91³ = 1 234 800.

# 5221             27 janvier 2020

Raison d’une suite
Comment trouver la raison d’une suite dont on connaît le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par le prédécesseur du nombre de termes.

Soit à trouver la raison d’une suite de 15 termes dont le premier terme est 3 et le dernier 59. On fait : 59 – 3 = 56 et 56 ÷ 14 = 4. La raison est 4.

# 5185             3 janvier 2020

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On multiplie le nombre choisi par 7 et on additionne 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne 1 : c’est une base du premier membre.

• On multiplie le nombre choisi par 3 et on additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le nombre choisi par 5 et on additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour former une égalité.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 23 + 1 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 1² + 23² + 24² = 11² + 16² + 27² = 1106.

# 5184             3 janvier 2020

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ?

Étapes

· On choisit un nombre impair : c’est la base du troisième carré.

· On additionne 1 au nombre choisi.

· Du nombre choisi, on soustrait 1.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.

· On additionne 1 : c’est la base du premier carré.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 + 1 = 6, 5 – 1 = 4, 6 × 4 = 24, 24 ÷ 2 = 12 et 12 + 1 = 13. L’égalité est : 13² – 12² = 5².

# 5183             3 janvier 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie la différence par elle-même.

• De la somme des carrés, on soustrait le résultat précédent.

• On multiplie par 2.

• On additionne le résultat de la première ligne.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne la différence donnée.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 9 et dont la somme des carrés est 221. On fait : 9 × 9 = 81, 221 – 81 = 140, 140 × 2 = 280, 280 + 81 = 361 et √361 = 19. On fait : 19 + 9 = 28, 28 ÷ 2 = 14 et 14 – 9 = 5. Les deux nombres sont 5 et 14.

# 5182             3 janvier 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 7, 8, 14 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 4, 11, 13 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis  8, 10, 17, 19. L’égalité est : 7³ + 13³ + 14³ + 20³ = 8³ + 10³ + 17³ + 19³ = 13 284.

# 5181             3 janvier 2020

Puissance 4 d’un nombre

Comment trouver la puissance 4 d’un nombre formé de 9 ?

Étapes

• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 6.

• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 5.

• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 6.

• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 1.

Soit à élever 9999 à la puissance 4. On écrit trois 9, un 6, trois 0, un 5, trois 9, un 6, trois 0 et un 1. Le résultat est 9 996 000 599 960 001.

# 5135             3 décembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute successivement ce nombre après 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute successivement ce nombre après 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 14 le nombre choisi. On obtient 114, 514, 614, puis 214, 314 et 714. L’égalité est : 114² + 514² + 614² = 214² + 314² + 714² = 654 188.

# 5134             3 décembre 2019

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 11, 12, 18, puis  6, 8, 15, 17. L’égalité est : 5³ + 11³ + 12³ + 18³ = 6³ + 8³ + 15³ + 17³ = 9016.

# 5133             3 décembre 2019

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs cubes et la différence de leurs cubes ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence de leurs cubes.

• On divise par 2.

• On extrait la racine cubique : c’est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence de leurs cubes.

• On divise par 2.

• On extrait la racine cubique: c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des cubes est 468 et dont la différence des cubes est 218. On fait : 468 + 218 = 686 et 686 ÷ 2 = 343. La racine cubique de 343 est 7. On fait : 468 – 218 = 250 et 250 ÷ 2 = 125. La racine cubique de 125 est 5. Les nombres sont 5 et 7.

# 5132             3 décembre 2019

Puissance 4 d’un nombre

Comment trouver la puissance 4 d’un nombre sans élever à cette puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On soustrait le nombre choisi.

• On multiplie par le nombre choisi.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49, 49 + 1 = 50, 50 × 7 = 350, 350 – 7 = 343 et 343 × 7 = 2401. Le nombre 2401 est la puissance 4 de 7.

# 5131             3 décembre 2019

Terme d’une suite
Comment trouver le terme d’un rang donné dans une suite dont on connaît le premier, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par le prédécesseur du nombre de termes.

• On multiplie par le rang qui précède celui du terme cherché.

• On additionne le premier terme.

Soit à trouver le 10^e terme de la suite de 14 termes dont le premier terme est 2 et dont le dernier est 67. On fait : 67 – 2 = 65, 65 ÷ 13 = 5, 5 × 9 = 45 et 45 + 2 = 47. Le 10^e terme est 47.

# 5104             15 novembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute successivement ce nombre devant 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute successivement ce nombre devant 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 13 le nombre choisi. On obtient 131, 135, 136, puis 132, 133 et 137. L’égalité est : 131² + 135² + 136² = 132² + 133² + 137² = 53 882.

# 5103             15 novembre 2019

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité est : 7² + 13² + 14² + 20² = 8² + 10² + 17² + 19² = 814.

# 5102             15 novembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ?

Étapes

· On choisit un carré impair.

· On additionne 1 et on divise par 2 : c’est la base du premier carré.

· On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.

· On extrait la racine carrée du nombre choisi : c’est la base du troisième carré.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 81 le carré choisi. On fait : 81 + 1 = 82, 82 ÷ 2 = 41, 41 – 1 = 40 et √81 = 9. L’égalité est : 41² – 40² = 9².

# 5101             15 novembre 2019

Cinq cubes

Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?

Étapes

• On trouve une valeur de m telle que 6m est un cube.

• On extrait la racine cubique de 6m. On note le résultat.

• On remplace la variable m par la valeur choisie : (m – 1), -m, -m et (m + 1).

• On place les résultats positifs dans le premier membre de l’égalité, les négatifs sans signe et le résultat noté dans l’autre membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit m = 36. La racine cubique de 6m est 6. On obtient successivement 35, -36, -36 et 37. L’égalité est : 35³ +  37³ = 6³ + 36³ + 36³ =  93 528.

# 5075             1^er novembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 5 et 6 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 2, 3 et 7 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 35 et 42, puis 14, 21 et 49. L’égalité est : 7² + 35² + 42² = 14² + 21² + 49² = 3038.

# 5074             1^er novembre 2019

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs carrés et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence de leurs carrés.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : c’est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence de leurs carrés.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des carrés est 169 et dont la différence des carrés est 119. On fait : 169 + 119 = 288, 288 ÷ 2 = 144, √144 = 12. On fait : 169 – 119 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et √25 = 5. Les nombres sont 12 et 5.

# 5073             1^er novembre 2019

Douze carrés

Connaissant deux couples de trois carrés chacun dont la somme est identique, comment trouver six carrés dont la somme est égale à celle de six autres carrés ?

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres carrés.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 2² + 3² + 7² = 1² + 5² + 6² l’égalité choisie. On choisit  8 comme opérateur. On fait : 8 – 2 = 6, 8 + 2 = 10, 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 7 = 1 et 8 + 7 = 15. On fait : 8 – 1 = 7, 8 + 1 = 9, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 – 6 = 2 et 8 + 6 = 14. L’égalité est : 1² + 5² + 6² + 10² + 11² + 15² = 2² + 3² + 7² + 9² + 13² + 14² = 508.

# 5072             1^er novembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés dont la différence est un carré ?

Étapes

· On choisit un carré.

· On additionne 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

· On soustrait 2 : c’est la base du carré qui est soustrait.

· On multiplie la racine du carré choisi par 2 : c’est la base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 25 le carré choisi dont la racine est 5. On fait : 25 + 1 = 26, 26 – 2 = 24 et 5 × 2 = 10. L’égalité est : 26² – 24² = 10².

# 5071             1^er novembre 2019

Cinq cubes

Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?

Étapes

• On donne des valeurs à a, b et c telles que 3abc est un cube.

• On remplace chaque variable par le facteur choisi : (a + b + c), (a + b – c), (a – b + c), (b + c – a). • On place le plus grand résultat dans le premier membre de l’égalité, les autres dans l’autre membre. Si un résultat est négatif, on le place dans le premier membre

• On extrait la racine cubique de 24abc. On place le résultat dans le second membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 3, b = 4 et c = 6. On obtient successivement 13, 1, 5 et 7. La racine cubique de 24abc est 12. L’égalité est : 13³ =  1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 2197.

Soit a = 2, b = 3 et c = 12. On obtient successivement 17, -7, 11 et 13. La racine cubique de 24abc est 12. L’égalité est : 17³ +  7³ = 11³ + 12³ + 13³ = 5256.

# 5044             15 octobre 2019

Cinq carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 4 de façon à trouver trois autres nombres.

• Le deuxième et le troisième nombre sont les bases du premier membre de l’égalité.

• Le premier et le quatrième nombre sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute 8 dans le premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 + 4 = 15, 15 + 4 = 19 et 19 + 4 = 23. On ajoute 8 dans le premier membre. L’égalité est : 8² + 15² + 19² = 11² + 23² = 650.

# 5043             15 octobre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 5 et 6 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3 et 7 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. Les sommes sont 9, 13, 14, puis 10, 11, 15. L’égalité est : 9² + 13² + 14² = 10² + 11² + 15² = 446.

# 5042             15 octobre 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés dont la différence est un carré ?

Étapes

• On choisit un carré impair.

• On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On soustrait 1 : c’est la base du carré qui est soustrait.

• On extrait la racine du carré choisi : c’est la base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 121 le carré choisi. On fait : 121 + 1 = 122, 122 ÷ 2 = 61 et 61 – 1 = 60. L’égalité est : 61² – 60² = 11².

# 5041             15 octobre 2019

Cinq cubes

Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?

Étapes

• On décompose 576 en trois facteurs a, b et c.

• On remplace chaque variable par le facteur choisi : (a + b + c), (a – b – c), (b – a – c), (c – a – b).

• On place les résultats positifs dans un membre de l’égalité, les négatifs sans signe dans l’autre membre.

• On écrit 24 dans le membre des négatifs sans signe.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 4, b = 9 et c = 16. On obtient successivement 29, -21, -11 et 3. L’égalité est : 29³ +  3³ = 11³ + 21³ + 24³ = 24 416.

# 5009             24 septembre 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré à partir d’un triplet de Pythagore ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On multiplie chacune des bases par un même nombre.

Soit le triplet : 5² + 12² = 13². Par exemple, on choisit 5 comme multiplicateur. L’égalité est : 25² + 60² = 65².

# 5008             24 septembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre pair.

• On multiplie ce nombre par 1,5.

• On choisit deux nombres dont l’un est inférieur à la moitié du nombre donné et l’autre supérieur à la moitié du même nombre : ce sont deux bases du premier membre de l’égalité.

• Du nombre choisi au départ, on soustrait chacun des deux derniers nombres choisis : ce sont deux bases du deuxième membre.

• Du résultat de la deuxième ligne, on soustrait la somme des deux éléments connus de chaque membre : c’est la troisième base de chaque membre dans l’ordre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 16 le nombre choisi. On fait : 16 × 1,5 = 24. On choisit 7 et 11. On fait : 16 – 7 = 9, 16 – 11 = 5, 24 – (7 + 11) = 6 et 24 – (5 + 9) = 10. L’égalité est : 6² + 7² + 11² = 5² + 9² + 10² = 206.

# 5007             24 septembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver la différence de deux nombres élevés au carré, dont la différence est n, sans effectuer le carré de ces nombres ?

Étapes

• On additionne les deux nombres.

• On multiplie par n.

Soit à trouver la différence de  15² et de 7² dont la différence des bases est 8. On fait : 15 + 7 = 22 et 22 × 8 = 176. La différence est 176.

# 5006             24 septembre 2019

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs cubes ?

Étapes

• On divise la somme des cubes par la somme des deux nombres.

• Du carré de la somme des nombres, on soustrait le résultat précédent.

• On divise par 3 : c’est le produit des deux nombres cherchés.

• On cherche deux diviseurs du produit dont la somme est celle donnée.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 8 et dont la somme des cubes est 152. On fait : 152 ÷ 8 = 19, 64 – 19 = 45 et 45 ÷ 3 = 15. Les diviseurs possibles sont 3 et 5. Les nombres sont 3 et 5.

# 4974             3 septembre 2019

Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne 1 : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 265. On fait : 265 – 1 = 264, 264 × 2 = 528, 528 + 1 = 529, √529 = 23, 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11 et 11 + 1 = 12. Les deux nombres sont 11 et 12.

# 4973             3 septembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux triplets de Pythagore.

• On forme un premier membre de l’égalité avec les deux premiers carrés du premier triplet et la somme de l’autre triplet.

• On forme un deuxième membre avec les carrés qui restent.

Soit 7² + 24² = 25² et 12² + 35² = 37² les deux triplets choisis. Pour le premier membre, on prend 7², 24² et 37². Pour le deuxième membre, il reste 12², 35² et 25². L’égalité est : 7² + 24² + 37² = 12² + 25² + 35² = 1994.

# 4972             3 septembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver le nombre de couples de carrés dont la différence est identique ?

Étapes

• On décompose la différence en ses facteurs premiers.

• On additionne 1 à chacun des exposants, considérant que l’absence d’exposant correspond à l’exposant 1.

• On multiplie les résultats précédents.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de couples de carrés dont la différence des carrés est 315. On écrit : 315 = 3² × 5 × 7. On fait : 2 + 1 = 3, 1 + 1 = 2, 1 + 1 = 2, 3 × 2 × 2 = 12 et 12 ÷ 2 = 6. On compte six couples de nombres dont la différence des carrés est 315 : (158, 157), (54, 51), (34, 29), (26, 19), (22, 13), (18, 3).

# 4971             3 septembre 2019

Carré et cube

Comment trouver la somme du carré d’un nombre et de son cube sans élever à une puissance ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 2.

• On multiplie par le nombre donné.

• On multiplie par la moitié du successeur du nombre donné.

Soit à trouver la somme du carré de 14 et du cube de 14. On fait : 14 × 2 = 28, 28 × 14 = 392 et 392 × 7,5 = 2940. La somme est 2940.

# 4954             21 août 2019

Multiples de 16

Comment trouver un multiple de 16 sans effectuer de multiplication par 16 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 16 à partir de 33. On écrit 330. On fait : 330 ÷ 2 = 165, 165 + 330 = 495 et 495 + 33 = 528. Le nombre 528 est un multiple de 16.

# 4953             21 août 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres a et b où a < b.

• On choisit deux nombres c et d où c < d.

• On fait (ac + bd) et (bc – ad) : ce sont les bases d’un membre de l’égalité.

• On fait (ad + bc) et (bd – ac) : ce sont les bases de l’autre membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 2, b = 5, c = 3 et d = 4. On fait : ac + bd = 2 × 3 + 5 × 4 = 26 et bc – ad = 5 × 3 – 2 × 4 = 7. On fait : ad + bc = 2 × 4 + 5 × 3 = 23 et bd – ac = 5 × 4 – 2 × 3 = 14. L’égalité est : 26² + 7² = 23² + 14² = 725.

# 4952             21 août 2019

Fête des Mères

Connaissant le quantième de mai qui est la fête des Mères d’une année, comment trouver le quantième de celle de l’année suivante ?

Étapes

• Si l’année suivante est ordinaire, on soustrait 1 au quantième donné.

• Si l’année suivante est bissextile, on soustrait 2 au quantième donné.

• Si le résultat est plus petit que 8, on additionne 7 : c’est le quantième cherché.

• Si le résultat est plus grand ou égal à 8, c’est le quantième cherché.

En 1999, la fête de Mères a lieu le 9 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2000. On fait : 9 – 2 = 7 et 7 + 7 = 14. En 2000, cette fête a lieu le 14 mai.

En 2017, la fête de Mères a lieu le 14 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2018. On fait : 14 – 1 = 13. En 2018, la fête a lieu le 13 mai.

# 4951             21 août 2019

Tracé d’un angle

Un angle droit étant tracé, comment obtenir trois autres angles droits adjacents ?

Étapes

• Avec une règle, on prolonge un côté de l’angle droit à partir du point d’intersection.

• On prolonge l’autre côté à partir du même point.

L’angle opposé est droit de même que les deux autres angles latéraux.

# 4929             6 août 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On additionne les deux nombres.

· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 et 8 les nombres choisis. On fait : 3 + 8 = 11, 8 – 3 = 5, 11 × 5 = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 3² + 28² = 8² + 27² = 793.

# 4928             6 août 2019

Six carrés 

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : c’est la base de trois carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du quatrième carré.

• On élève au carré le nombre qui suit le dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 5 les nombres choisis. On fait : 2² + 4² + 5² = 45, 45 – 1 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Le carré de 23 est 529. On fait : 529 – 1 = 528, 528 ÷ 2 = 264 et 264 + 1 = 265. L’égalité est : 265² = 2² + 4² + 5² + 22² + 264².

# 4927             6 août 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On décompose la différence en deux facteurs.

• On additionne les deux facteurs.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait les deux facteurs l’un de l’autre.

• On divise par 2 : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des carrés est 245. On choisit un couple de facteurs : 5 et 49. On fait : 5 + 49 = 54, 54 ÷ 2 = 27, 49 – 5 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Les deux nombres sont 27 et 22. On pourrait choisir d’autres facteurs comme 7 et 35. Les deux nombres seraient 21 et 14.

# 4926             6 août 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par son successeur.

• On divise par 2.

• On soustrait le nombre choisi.

• On élève au carré chacun des deux résultats précédents.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 9 le nombre choisi. On fait : 9 × 10 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 – 9 = 36. On fait : 45² = 2025, 36² = 1296, 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est un cube, celui de 9.

# 4900             15 juin 2019

Multiplication par 21

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 21 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le résultat à lui-même.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le produit de 712 et de 21. On écrit 7120. On fait : 7120 + 7120 = 14 240 et 14 240 + 712 = 14 952. Le produit est 14 952.

# 4899             15 juin 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (6)

Étapes

• On choisit un carré impair : c’est le premier carré.

• On additionne les nombres impairs consécutifs inférieurs à ce carré : c’est le deuxième carré.

• On additionne les deux résultats précédents : c’est le troisième carré qui est la somme.

Soit 49 le carré choisi. La somme de 1, 3, 5, 7, …, 45, 47 est 576 qui est le carré de 24. On fait : 49 + 576 = 625 qui est le carré de 25. L’égalité est : 49 + 576 = 625 ou 7² + 24² = 25².

# 4898             15 juin 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ? (1)

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On effectue la différence des carrés des deux nombres.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 et 12 les nombres choisis. On fait : 12² - 5² = 119, 119 – 1 = 118, 118 ÷ 2 = 59 et 59 + 1 = 60. L’égalité est : 5² + 60² = 12² + 59² = 3625.

# 4897             15 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (2)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et  on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On élève au carré le successeur du dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7² + 24² = 25² le triplet choisi. On fait : 25² – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312. Le carré de 313 est 97 969. On fait : 97 969 – 1 = 97 968, 97 968 ÷ 2 = 48 984 et 48 984 + 1 = 48 985. L’égalité est : 48 985² = 7² + 24² +  312² +  48 984².

# 4896             15 juin 2019

Six carrés 

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (2)

Étapes

• On choisit quatre nombres dont la somme est impaire : c’est la base de quatre carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3, 6 et 10 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² + 10² = 149, 149 – 1 = 148, 148 ÷ 2 = 74 et 74 + 1 = 75. L’égalité est : 75² = 2² + 3² + 6² + 10² + 74².

# 4874             3 juin 2019

Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : la partie entière est un premier nombre.

• On additionne 1 à la partie entière : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 421. On fait : 421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et 14 + 1 = 15. Les deux nombres sont 14 et 15.

# 4873             3 juin 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une troisième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5² + 12² = 13² le triplet choisi. On fait : 13² – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 85² = 5² + 12² +  84².

# 4872             3 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une quatrième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3 et 6 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité est : 25² = 2² + 3² + 6² + 24².

# 4871             3 juin 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On le multiplie par lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On soustrait les deux premiers résultats l’un de l’autre.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On élève au carré chacun des deux résultats notés.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49, 49 + 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait : 28² = 784, 21² = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre 343 est le cube de 7.

# 4850          21 mai 2019

Multiples de 14

Comment trouver un multiple de 14 sans effectuer de multiplication par 14 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat noté.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 14 à partir de 57. On note 570. On fait : 570 ÷ 2 = 285, 285 + 570 = 855 et 855 – 57 = 798. Le nombre 798 est un multiple de 14.

# 4849          21 mai 2019

Nombre de carrés

Comment trouver combien il y a de carrés inférieurs à un nombre donné ?

Étapes

· On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Si non, on conserve la partie entière.

Soit à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait : √863 = 29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs à 863.

# 4848          21 mai 2019

Somme de deux carrés

Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons ?

Étapes

• On choisit deux carrés.

• On les additionne.

• On choisit deux autres carrés.

• On les additionne.

• On fait le produit des deux sommes précédentes.

• Si le produit est un carré, on accepte 0² comme un des carrés.

Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et 16. La somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 2² + 11² = 125 et 5² + 10² = 125.

# 4847          21 mai 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre non premier : c’est la base d’un premier carré.

• On le multiplie par lui-même.

• On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit est le résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au nombre choisi.

• Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième carré.

• On additionne les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2, 72), (4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72 – 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est : 12² + 35² = 37². On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs. On obtient : 12² + 16² = 20², 12² + 9² = 15² et 12² + 5² = 13². Si on ne trouve pas de couples de facteurs acceptables, on ne peut pas trouver de triplets de Pythagore par ce procédé.

# 4846          21 mai 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne les carrés des deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4² + 7² = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité est : 33² = 4² + 7² +  32².