# 4339          8 mai 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer le quotient quand on divise un triangulaire par un carré de même rang, sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On additionne 1 au rang : c’est le numérateur de la fraction.

• On multiplie le rang par 2 : c’est le dénominateur de la fraction.

• On simplifie la fraction au besoin.

Soit à calculer le quotient du triangulaire de rang 9 et du carré de même rang. On fait : 9 + 1 = 10, 9 × 2 = 18. La fraction est 10/18. En simplifiant, on obtient 5/9. En effet, le triangulaire de rang 9 est 45, le carré de même rang est 81 et 45/81 = 5/9.

# 4338          8 mai 2018

Nombres hexagonaux

Comment trouver la différence de deux hexagonaux successifs à partir du rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

Soit un hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 4 = 28 et 28 + 1 = 29. La différence du nombre hexagonal de rang 8 et celui de rang 7 est 29. En effet, le nombre hexagonal de rang 7 est 91 et celui de rang 8 est 120. Puis, 120 – 91 = 29.

# 4337          8 mai 2018

Nombres polygonaux

Comment obtenir un nombre polygonal d’un rang donné ?

Étapes (Bachet)

• On détermine le nombre de côtés du polygone correspondant au nombre.

• On choisit le rang du nombre polygonal.

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par le rang du polygonal. On note le résultat.

• On soustrait 4 au nombre de côtés.

• On soustrait ce résultat à celui qui a été noté.

• On multiplie par le rang du polygonal.

• On divise par 2.

Soit à trouver un nombre pentagonal (5 côtés) de rang 7. On fait : 5 – 2 = 3, 3 × 7 = 21, 5 – 4 = 1 et 21 – 1 = 20. On fait : 20 × 7 = 140 et 140 ÷ 2 = 70. Le nombre pentagonal de rang 7 est 70.

# 4336          8 mai 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et le premier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement le dernier élément de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 4, 12 et 17. On écrit : 4² + 12² + 17² = 449. On choisit 5, 10 et 18. On écrit : 5² + 10² + 18² = 449. L’égalité est : 4² + 12² + 17² = 5² + 10² + 18².

# 4319          26 avril 2018

Plus grand diviseur

Comment trouver le plus grand diviseur d’un nombre donné ?

Étapes

• On trouve le plus petit diviseur.

• On divise le nombre donné par le plus petit diviseur : c’est le plus grand diviseur.

Soit à trouver le plus grand diviseur de 135. Le plus petit diviseur est 3. On fait : 135 ÷ 3 = 45. Le plus grand diviseur de 135 est 45.

# 4318          26 avril 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer le produit d’un carré et d’un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On élève le rang à la quatrième puissance.

• On élève le rang au cube.

• On additionne les deux résultats

• On divise par 2.

Soit à calculer le produit du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7⁴ = 2401, 7³ = 343, 2401 + 343 = 2744 et 2744 ÷ 2 = 1372. En effet, le carré de rang 7 est 49 et le triangulaire de même rang est 28. Or, 49 × 28 = 1372.

# 4317          26 avril 2018

Nombres hexagonaux

Sachant qu’un nombre est hexagonal et connaissant son rang, comment trouver son successeur ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

• On additionne l’hexagonal donné.

Soit 120 l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 4 = 32, 32 + 1 = 33 et 33 + 120 = 153. Le successeur de 120 est 153.

# 4316          26 avril 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des lignes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de chaque ligne de la grille.

• On soustrait 6.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16, 16 – 6 = 10 : somme de la première ligne. On fait : 11 × 4 = 44, 44 – 6 = 38 : somme de la deuxième ligne. On fait : 18 × 4 = 72, 72 – 6 = 66 : somme de la troisième ligne. On fait : 25 × 4 = 100, 100 – 6 = 94 : somme de la quatrième ligne.

# 4299          17 avril 2018

Plus grand diviseur

Un diviseur d’un nombre pair étant donné, comment savoir si ce diviseur est le plus grand ?

Étapes

• On multiplie le diviseur par 2.

• Si le résultat est égal au nombre qui est divisé, ce diviseur est le plus grand.

• Si le résultat n’est pas égal au nombre qui est divisé, ce diviseur n’est pas le plus grand.

Soit 15 un diviseur de 30, le nombre 15 est-il le plus grand diviseur ? On fait : 15 × 2 = 30. Le nombre 15 est le plus grand diviseur.

Soit 48 un diviseur de 144, le nombre 48 est-il le plus grand diviseur ? On fait : 48 × 2 = 96. Le nombre 48 n’est pas le plus grand diviseur.

# 4298          17 avril 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer la différence entre un carré et un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

Soit à calculer la différence entre le carré de rang 7 et le triangulaire de même rang. On fait : 7 × 6 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. En effet, le carré de rang 7 est 49 et le triangulaire de même rang est 28. Or, 49 – 28 = 21. La différence est 21.

# 4297          17 avril 2018

Nombres pentagonaux

Comment trouver la différence de deux pentagonaux successifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 3.

• On additionne 1.

Soit un pentagonal de rang 7. On fait : 7 × 3 = 21 et 21 + 1 = 22. La différence du pentagonal de rang 8 et celui de rang 7 est 22.

# 4296          17 avril 2018

Nombres hexagonaux

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ?

Étapes

• On extrait la racine carrée.

• Du nombre, on trouve les deux facteurs qui entourent la racine.

• On prend le plus petit facteur qui est le rang de l’hexagonal.

Soit l’hexagonal 153. On fait : √153 = 12,4. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 9 et 17. Le nombre 153 est un hexagonal de rang 9.

# 4274           7 avril 2018

Différence de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs quand on connaît seulement le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 2 le rang connu.

• On additionne 3.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 × 2 = 18 et 18 + 3 = 21. La différence est 21. En effet, le triangulaire de rang 11 (66) moins celui de rang 9 (45) est 21.

# 4273           7 avril 2018

Nombres pentagonaux

Comment trouver la somme de deux pentagonaux successifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On élève le rang connu au carré.

• On multiplie par 3.

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On additionne 1.

Soit un pentagonal de rang 5. On fait : 5² = 25 et 25 × 3 = 75. On fait : 5 × 2 = 10. On fait : 75 + 10 = 85 et 85 + 1 = 86. La somme du pentagonal de rang 5 et celui de rang 6 est 86.

# 4272           7 avril 2018

Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Du nombre, on trouve les deux facteurs qui entourent la racine.

• On multiplie le plus petit facteur par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le plus petit facteur.

• Si le résultat est égal au nombre initial, ce nombre est hexagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à trouver si 190 est un hexagonal. On fait : √190 = 13,78. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 10 et 19. On fait : 10 × 2 = 20, 20 – 1 = 19 et 19 × 10 = 190. Le nombre 190 est hexagonal.

Soit à trouver si 240 est un hexagonal. On fait : √240 = 15,49. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 15 et 16. On fait : 15 × 2 = 30, 30 – 1 = 29 et 29 × 15 = 435. Le nombre 240 n’est pas hexagonal.

# 4271           7 avril 2018

Aiguilles superposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont superposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11 : la partie entière correspond aux minutes.

• On multiplie la fraction par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11 et 4/11 × 60 = 21,81. Ayant arrondi, on obtient 22. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 16 minutes et 22 secondes.

# 4254           25 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui diffèrent de deux rangs sans connaître les triangulaires et ce, à partir de 1 ?

Étapes

• On additionne 1 au rang du plus grand.

• On additionne 3 au rang du plus grand.

• On multiplie par 2 le rang du plus grand.

• On additionne 1.

• On multiplie les résultats, sauf celui de la troisième ligne.

• On divise par 24.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 1, 3, 5 et 7. On fait : 7 + 1 = 8, 7 + 3 = 10, 7 × 2 = 14 et 14 + 1 = 15. On fait : 8 × 10 × 15 = 1200 et 1200 ÷ 24 = 50. La somme est 50.

# 4253           25 mars 2018

Nombres pentagonaux

Sachant qu’un nombre est pentagonal et connaissant son rang, comment trouver son successeur ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On additionne le pentagonal donné.

Soit 51 le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 + 1 = 19 et 19 + 51 = 70. Le successeur de 51 est 70.

# 4252           25 mars 2018

Nombres hexagonaux

Comme savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat n’est pas un carré, le nombre donné n’est pas hexagonal.

• Si le résultat est un carré, on divise la racine par 4.

• Si le reste est 3, le nombre donné est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 77 est-il hexagonal ? On fait : 77 × 8 = 616, 616 + 1 = 617 et √617 = 24,8. Le nombre 77 n’est pas hexagonal.

Le nombre 120 est-il hexagonal ? On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 ÷ 4 = 7 reste 3. Le nombre 120 est hexagonal.

# 4251           25 mars 2018

Carrés magiques d’ordre 3

Comment former un carré magique d’ordre 3 formé d’entiers consécutifs quand on connaît seulement trois de ses éléments ?

Étapes

• On place le premier élément au centre de la première ligne.

• On place le deuxième élément dans le coin inférieur droit.

• On place le troisième élément dans le coin inférieur gauche.

• On soustrait le premier nombre donné du troisième.

• On additionne le deuxième nombre donné : c’est l’élément du centre.

• On multiplie l’élément du centre par 3 : c’est la somme des éléments dans chaque rangée

• On complète par rapport à la somme trouvée.

Soit 5, 8 et 12 les trois éléments connus. On place les trois éléments dans le carré. On fait 12 – 5 = 7, 7 + 8 = 15 et 15 × 3 = 45. On obtient ce carré magique.

# 4229           15 mars 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 4 à m.

• On soustrait 4 à n.

• On multiplie des deux résultats précédents.

Soit à trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire 12 × 15. On fait : 12 – 4 = 8, 15 – 4 = 11 et 8 × 11 = 88. Le nombre de carrés est 88.

# 4228           15 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs sans connaître les deux triangulaires ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par 4.

• On élève ce rang au carré.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 6.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 8 et 11. On fait : 8 × 4 = 32 et 8² = 64. On fait : 32 + 64 = 96 et 96 + 6 = 102. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 11 (66) est 102.

# 4227           15 mars 2018

Différence de carrés

Comment trouver la différence des carrés de deux triangulaires consécutifs connaissant leurs bases ?

Étape

• On élève au cube la base du plus grand triangulaire.

Soit à trouver la différence de 5^D (triangulaire de rang 5) au carré et de 4^D (triangulaire de rang 4) au carré. On fait : 5³ = 125. La différence est 125. En effet, 5^D = 15 et 15² = 225. De plus, 4^D = 10 et 10² = 100. On fait : 225 – 100 = 125.

# 4226           15 mars 2018

Nombres pentagonaux

Comme savoir si un nombre donné est pentagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est pentagonal. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 51 est-il pentagonal ? On fait : 51 × 24 = 1224 et 1224 + 1 = 1225. Le nombre 1225 est un carré, celui de 35. Donc, 51 est pentagonal.

Le nombre 120 est-il pentagonal ? On fait : 120 × 24 = 2880 et 2880 + 1 = 2881. Le nombre 2881 n’est pas un carré. Donc, 120 n’est pas pentagonal.

# 4204            5 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs sans connaître les triangulaires ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par 3.

• On élève le même rang au carré.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 3.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 8 et 10. On fait : 8 × 3 = 24 et 8² = 64. On fait : 24 + 64 = 88 et 88 + 3 = 91. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 10 (55) est 91.

# 4203            5 mars 2018

Différence de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étape

• On additionne 1 au rang du plus petit.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 + 1 = 10. La différence est 10. En effet, le triangulaire de rang 10 (55) moins celui de rang 9 (45) est 10.

# 4202           5 mars 2018

Produit de deux triangulaires

Comment calculer le produit de deux triangulaires consécutifs dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On élève au carré le rang suivant du plus petit.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On additionne 2 au rang du plus petit.

• On multiplie la somme par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 4.

Soit à calculer le produit des triangulaires de rangs 6 et 7. On fait : 7² = 49 et 49 × 6 = 294. On fait : 6 + 2 = 8, 294 × 8 = 2352 et 2352 ÷ 4 = 588. Le produit est 588. En effet, le triangulaire de rang 6 est 21, celui de rang 7 est 28 et 21 × 28 = 588.

# 4201            5 mars 2018

Nombres hexagonaux

Comment obtenir un hexagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang donné par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par  le rang donné.

Soit à trouver l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 2 = 16, 16 – 1 = 15 et 15 × 8 = 120. L’hexagonal de rang 8 est 120.

# 4179            23 février 2018

Terme d’un rang donné

Comment trouver le terme d’un rang donné dans la suite 1, 3, 7, 14, 25, 41, 63 … ?

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On additionne 5.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 6.

Soit à trouver le terme de rang 11. On fait : 11 × 11 = 121, 121 + 5 = 126. On fait : 126 × 11 = 1386 et 1386 ÷ 6 = 231.

# 4178            23 février 2018

Nombres triangulaires

Comment trouver un nombre triangulaire élevé au carré ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par le suivant.

• On divise par 2.

• On élève au carré.

• On élève au cube le nombre suivant de celui choisi.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On extrait la racine carrée.

Soit 6 le nombre choisi. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 21² = 441. On fait : 7³ = 343, 441 + 343 = 784 et √784 = 28. Le nombre 784 est le carré de 28 qui est un nombre triangulaire.

# 4177            23 février 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires consécutifs quand on connaît les rangs des triangulaires ?

Étapes

• On prend le plus grand rang.

• On élève au carré.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 9² = 81. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 9 (45) est 81.

# 4176            23 février 2018

Nombres pentagonaux

Comment obtenir un pentagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang donné.

• On divise par 2.

Soit à trouver le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 – 1 = 17. On fait : 17 ×  6 = 102 et 102 ÷ 2 = 51. Le pentagonal de rang 6 est 51.

# 4149            11 février 2018

Différence de puissances

Ayant additionné deux nombres élevés au cube et au carré, comment trouver leur différence sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre inférieur de 1 au premier.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre inférieur de 1 au deuxième.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à soustraire la somme de 7³ et de 3³ et la somme de 7² et de 3². On fait : 3 × 3 = 9 et 9 × 2 = 18. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 × 6 = 294. On fait : 294 + 18 = 312. La différence est 312.

# 4148            11 février 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme des termes d’une suite de carrés consécutifs qui commence par 1 et dont le rang du dernier nombre est donné ?

Étapes

• On multiplie le rang, son successeur et la somme des deux rangs.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 9 premiers nombres de la suite 1, 4, 9, 16, 25, ...  On fait : 9 × 10 × 19 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. Le terme de rang 9 est 285.

# 4147            11 février 2018

Carrés et triangulaires

Comment trouver un carré à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait la partie entière du résultat de la deuxième ligne.

Le triangulaire choisi est 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48 et 56 – 7 = 49. Le nombre 49 est un carré. Il est de même rang que le triangulaire.

# 4146            11 février 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement le premier élément de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et le dernier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 3, 12 et 18. On écrit : 3² + 12² + 18² = 477. On choisit 4, 10 et 19. On écrit : 4² + 10² + 19² = 477. Le résultat est : 3² + 12² + 18² = 4² + 10² + 19².

# 4129            3 février 2018

Double suite

Comment trouver le terme de rang donné d’une suite qui commence par 1 et dont la raison est la suite des nombres consécutifs à partir de 1 ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver le terme de rang 12 de la suite : 1, 2, 4, 7, 11, 16, … On fait : 12 × 11 = 132, 132 ÷ 2 = 66 et 66 + 1 = 67. Le terme de rang 12 est 67.

# 4128            3 février 2018

Différence de sommes

Comment trouver la différence de la somme de deux cubes et des deux bases sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le premier nombre.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le deuxième nombre.

• On additionne le résultat de la troisième ligne.

Soit à soustraire la somme de 3³ et de 7³ et la somme de 3 et de 7. On fait : 3 × 3 = 9, 9 – 1 = 8 et 8 × 3 = 24. On fait : 7 × 7 = 49, 49 – 1 = 48 et 48 × 7 = 336. On fait : 336 + 24 = 360. La différence est 360.

# 4127            3 février 2018

Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 2.

• On additionne 0,25.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240 et 240 + 0,25 = 240,25. On fait : √240,25 = 15,5 et 15,5 – 0,5 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

# 4126            3 février 2018

Carré d’un triangulaire

Comment trouver le carré d’un triangulaire dont on connaît seulement le rang ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On élève le rang suivant au carré.

• On multiplie les deux résultats.

• On divise par 4.

Soit à trouver le carré du triangulaire de rang 4. On fait : 4² = 16, 5² = 25 et 16 × 25 = 400. On fait : 400 ÷ 4 = 100. Le triangulaire de rang 4 est 10. Son carré est 100.

# 4104            24 janvier 2018

Somme de carrés et de cubes

Comment trouver la somme de deux nombres élevés au carré et au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre qui suit le premier.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre qui suit le deuxième.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à additionner 5² et 8², de même que 5³ et 8³. On fait : 5 × 5 = 25 et 25 × 6 = 150. On fait : 8 × 8 = 64 et 64 × 9 = 576. On fait : 576 + 150  = 726. La somme est 726.

# 4103            24 janvier 2018

Conversion en chiffres romains

Comment transposer un nombre arabe en chiffres romains ?

Étapes

• On décompose le nombre en multiples d’une puissance de 10.

• On fait correspondre les chiffres romains en regard de chaque nombre.

Soit à transposer 1743 en chiffres romains. On écrit : 1000 + 700 + 40 + 3. On écrit : M, DCC, XL et III. Le nombre romain est MDCCXLIII.

# 4102            24 janvier 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme d’une suite de carrés consécutifs dont on connaît le rang du premier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On additionne le rang du premier terme et le nombre de termes.

• On soustrait 1.

• On multiplie ce nombre, son successeur et la somme des deux nombres.

• On soustrait 1 au rang du premier terme.

• On multiplie ce nombre, son successeur et la somme des deux nombres.

• On soustrait le résultat de la troisième ligne.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme de cinq carrés consécutifs à partir du septième carré dans la suite 1, 4, 9, 16, 25, .... On fait : 7 + 5 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 × 12 × 23 = 3036. On fait : 7 – 1 = 6, 6 × 7 × 13 = 546. On fait : 3036 – 546 = 2490 et 2490 ÷ 6 = 415. La somme des carrés est 415.

# 4101            24 janvier 2018

Nombres triangulaires

Comme savoir si un nombre donné est triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 40 est-il triangulaire ? On fait : 40 × 8 = 320, 320 + 1 = 321 et √321 = 17,9. Le nombre 40 n’est pas triangulaire.

Le nombre 91 est-il triangulaire ? On fait : 91 × 8 = 728, 728 + 1 = 729 et √729 = 27. Le nombre 91 est triangulaire.

# 4079            14 janvier 2018

Reste de la division par 99

Comment obtenir le reste d’une division par 99 sans effectuer de division ?

Étapes

• On retient le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• À partir de la droite vers la gauche, en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les chiffres de rangs impairs.

• Toujours en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les autres chiffres et on multiplie le résultat par 10.

• On additionne les trois résultats.

• Si la somme est égale ou supérieure à 99, on soustrait 99 jusqu’à ce qu’on obtienne un nombre inférieur à 99.

Soit 746 823 ÷ 9. On retient 23. On fait : 8 + 4 = 12,  6 + 7 = 13 et 13 × 10 = 130. On fait : 23 + 12 + 130  = 165 et 165 – 99 = 66. Le reste de la division est 66.

Soit 6 498 127 ÷ 9. On retient 27. On fait : 1 + 9 + 6 = 16, 8 + 4 = 12 et 12 × 10 = 120. On fait : 27 + 16 + 120 = 163 et 163 – 99 = 64. Le reste de la division est 64.

# 4078            14 janvier 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs dont on connait seulement le plus petit ?

Étapes

• On choisit un carré qui est le plus petit.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne les deux résultats.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

Soit le carré 49. On fait : √49 = 7 et 49 + 7 = 56. Om fait : 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. La somme des deux carrés est 113.

# 4077            14 janvier 2018

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On soustrait 1.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus grande base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 6³ – 5³. On fait : 6 + 5 = 11, 11 – 1 = 10 et 10² = 100. On fait : 100 + 10 = 110 et 110 ÷ 2 = 55. On fait : 6² = 36 et 55 + 36 = 91. La différence des deux cubes est 91.

# 4076            14 janvier 2018

Conversion en binaire

Comment convertir un nombre arabe en binaire ?

Étapes

• On divise le nombre par 2. On note le reste.

• On divise successivement le quotient par 2. On note les restes.

• On forme un nombre en écrivant les restes à partir de la fin.

Soit à convertir 53 en binaire. On fait : 53 ÷ 2 = 26 reste 1, 26 ÷ 2 = 13 reste 0, 13 ÷ 2 = 6 reste 1, 6 ÷ 2 = 3 reste 0, 3 ÷ 2 = 1 reste 1 et 1 ÷ 2 = 0 reste 1. Les restes successifs sont 1, 0, 1, 0, 1, 1. Le nombre binaire est 110 101.

# 4044            10 décembre 2017

Quatre carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre : c’est la base du premier carré.

• On additionne 1 : c’est la base du deuxième carré.

• On multiplie le nombre choisi et le suivant : c’est la base du troisième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du quatrième carré.

Soit 7 le nombre choisi : c’est la base d’un premier carré. On fait : 7 + 1 = 8 : c’est la base du deuxième carré. On fait 7 × 8 = 56 : c’est la base du troisième carré. On fait : 56 + 1 = 57 : c’est la base du quatrième carré. L’égalité est : 7² + 8² + 56² = 57².

# 4043            10 décembre 2017

Multiples de 37

Comment trouver un multiple de 37 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On compose des tranches de trois chiffres. Ces tranches sont formées par trois chiffres identiques ou encore un multiple de 37. Dans ce dernier cas, on ajoute un 0 lorsque requis pour avoir une tranche de trois chiffres.

• On dispose les tranches comme on le veut.

Les nombres suivants sont divisibles par 37 : 111 074 148, 222 555 185, 259 296 370.

# 4042            10 décembre 2017

Division par 99

Soit un nombre de cinq chiffres divisible par 99, comment trouver le quotient de ce nombre quand on le divise par 99 sans effectuer de division ?

Étapes

• Si l’unité du dividende est 0, l’unité du quotient est 0.

• On additionne 1 aux deux premiers chiffres du dividende.

• On place le résultat devant 0.

• Si l’unité du dividende n’est pas 0, on soustrait de 10 l’unité du dividende : c’est l’unité du quotient.

• On place les deux premiers chiffres du dividende devant l’unité du quotient.

Soit à diviser 51 480 par 99. L’unité du quotient est 0. On fait 51 + 1 = 52.  Le quotient est 520.

Soit à diviser 54 252 par 99. On fait : 10 – 2 = 8 : c’est l’unité du quotient. Les deux premiers chiffres du dividende sont 54.  Le quotient est 548.

# 4041            10 décembre 2017

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la première ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus petite base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 7³ – 6³. On fait : 7 + 6 = 13, 13² = 169, 169 + 13 = 182 et 182 ÷ 2 = 91. On fait : 6² = 36 et 91 + 36 = 127. La différence des deux cubes est 127.

# 4014            28 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 5 ?

Étapes

• On choisit un multiple impair de 5 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 10.

• On additionne 2,5 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 5 : c’est la base du deuxième carré.

Par exemple, on choisit 25 : c’est la base du premier carré. On fait : 25² = 625, 625 ÷ 10 = 62,5 et 62,5 + 2,5 = 65 : c’est la base du troisième carré. On fait : 65 – 5 = 60 : c’est la base du deuxième carré. On peut écrire : 25² + 60² = 65².

# 4013            28 novembre 2017

Somme de nombres et de cubes

Comment trouver la somme de deux nombres et de leurs cubes sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le premier nombre. (*)

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le deuxième nombre. (*)

• On additionne les résultats des lignes marquées d’un astérisque.

Soit à additionner 5 et 8, de même que 5³ et 8³. On fait : 5 × 5 = 25, 25 + 1 = 26 et 26 × 5 = 130. On fait : 8 × 8 = 64, 64 + 1 = 65 et 65 × 8 = 520. On fait : 130 + 520 = 650. La somme est 650.

# 4012            28 novembre 2017

Différence de produits

Comment trouver la différence des produits de deux nombres de deux chiffres dont les unités sont interverties et dont les dizaines demeurent les mêmes ?

Étapes

• On soustrait les unités.

• On soustrait les dizaines.

• On multiplie les deux résultats.

• On ajoute un zéro à la fin.

Soit à trouver la différence de 36 × 84 et de 34 × 86. On fait : 6 – 4 = 2 et 8 – 3 = 5. On fait : 2 × 5 = 10. On ajoute un 0 : cela donne 100. La différence est 100.

# 4011            28 novembre 2017

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme d’une suite de carrés consécutifs à partir de 1 dont on connaît le nombre de termes ?

Étapes

• On multiplie le nombre de termes donné par son successeur.

• On additionne les deux nombres précédents.

• On multiplie par le résultat de la première ligne.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 10 plus petits carrés dans la suite 1, 4, 9, 16, 25, ... On fait : 10 × 11 = 110 et 10 + 11 = 21. On fait : 21 × 110 = 2310 et 2310 ÷ 6 = 385. La somme est 385.

# 3994            20 novembre 2017

Reste de la division par 13

Comment trouver le reste de la division par 13 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie l’unité de mille par 4.

• On multiplie la centaine par 3.

• On additionne la centaine de mille et les deux résultats,

• On multiplie par 3.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 13 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 13 de 93 520. On fait : 4 × 3 = 12, 5 × 3 = 15. On fait : 9 + 12 + 15 = 36, 36 × 3 = 108 et 108 + 20 = 128. On fait : 128 – 117 = 11. Le reste est 11.

# 3993            20 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 4 ?

 Étapes

• On choisit un multiple de 4 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré. 

• On soustrait 16.

• On divise par 8 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 4 : c’est la base du troisième carré.

On choisit 16 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 16² = 256, 256 – 16 = 240 et 240 ÷ 8 = 30 : c’est la base d’un deuxième carré. On fait : 30 + 4 = 34 : c’est la base du troisième carré. L’égalité est : 16² + 30² = 34².

# 3992            20 novembre 2017

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On multiplie par la plus grande.

• On élève au carré la plus petite base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 6³ – 5³. On fait : 6 + 5 = 11, 11 × 6 = 66. On fait : 5² = 25 et 66 + 25 = 91. La différence des deux cubes est 91.

# 3991            20 novembre 2017

Suites de termes

Comment insérer un certain nombre de termes dans une suite dont on connaît le premier et le dernier terme ?

Étapes

• On soustrait les deux termes.

• On additionne 1 au nombre donné de termes.

• On divise le résultat de la première ligne par celui de la deuxième ligne.

• On additionne successivement le résultat à partir du premier terme.

Soit à insérer trois termes entre 2 et 14. On fait : 14 – 2 = 12, 3 + 1 = 4 et 12 ÷ 4 = 3. On fait : 2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8 et 8 + 3 = 11. Les trois termes à insérer sont 5, 8 et 11.

# 3969            10 novembre 2017

Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division par 11 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On ajoute un zéro à la fin de l’unité de mille.

• On additionne le résultat, la dizaine de mille, la centaine et le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 11 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 11 de 82 519. On ajoute un 0 à 2, ce qui donne 20. On fait : 20 + 8 + 5 + 19 = 52 et 52 – 44 = 8. Le reste est 8.

# 3968             10 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 4 ?

Étapes

• On choisit un multiple de 4 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 8.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 4 : c’est la base du deuxième carré.

On choisit 20 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 20² = 400, 400 ÷ 8 = 50 et 50 + 2 = 52 : c’est la base du troisième carré. On fait : 52 – 4 = 48 : c’est la base du deuxième carré. L’égalité est : 20² + 48² = 52².

# 3967             10 novembre 2017

En puissances

Comment trouver la somme d’un nombre et des ses puissances 2, 3 et 4 sans élever au cube et à la quatrième puissance ?

Étapes

• On additionne 1 nombre de départ.

• On additionne 1 au carré du nombre de départ.

• On multiplie les deux résultats.

• On multiplie par le nombre de départ.

Soit à faire la somme de 5, 5², 5³ et 5⁴. On fait : 5 + 1 = 6 et 1 + 25 = 26. On fait : 6 × 26 = 156 et 156 × 5 = 780. La somme est 780.

# 3966             10 novembre 2017

Conversion d’un nombre décimal

Comment convertir un nombre décimal en binaire ?

Étapes

• On additionne les puissances de 2 qui donnent le nombre décimal.

• On écrit à nouveau le résultat en remplaçant par 0 une puissance non dans la liste.

• On remplace chaque nombre qui n’est pas 0 par 1.

Soit à convertir 53 en binaire. On écrit : 53 = 32 + 16 + 4 + 1, puis 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1. On obtient 110 101. Le nombre 53 est 110 101 dans le système binaire.

# 3949             2 novembre 2017

Preuve par 9

Comment vérifier si un produit est exact ?

Étapes

• On additionne les chiffres du multiplicande.

• On additionne les chiffres du multiplicateur.

• On multiplie les deux résultats.

• On divise par 9 en retenant le reste.*

• On additionne les chiffres du produit.

• On divise par 9 en retenant le reste.*

• Si les restes des lignes marquées par un astérisque sont identiques, le produit semble exact. Dans le cas contraire, il y a erreur.

Après avoir trouvé que le produit de 465 et 213 est 99 235, on fait : 4 + 6 + 5 = 15 et 2 + 1 + 3 = 6. On fait : 15 × 6 = 90 et 90 ÷ 9 = 10 reste 0. On fait : 9 + 9 + 2 + 3 + 5 = 28 et 28 ÷ 9 = 3 reste 1. Les restes ne sont pas identiques. D’où, il y a erreur. En réalité, le produit est 99 045.

Note. Ce truc est fiable seulement si on a fait une erreur sur un seul chiffre.

# 3948             2 novembre 2017

Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 11  sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les chiffres de rang impair à partir de la droite.

• On additionne les chiffres de rang pair.

• On soustrait les deux sommes. Si le résultat est négatif, on additionne 11 ou 22.

Soit le nombre 87 469. On fait : 9 + 4 + 8 = 21, 6 + 7 = 13 et 21 – 13 = 8. Le reste de la division par 11 de 87 469 est 8.

Soit le nombre 27 164. On fait : 4 + 1 + 2 = 7, 6 + 7 = 13 et 7 – 13 = -6. On fait : -6 + 11 = 5. Le reste de la division par 11 de 27 164 est 5.

# 3947             2 novembre 2017

Multiplication de deux carrés

Comment trouver le produit de deux carrés dont les racines diffèrent de trois rangs sans se servir du plus grand carré ?

Étapes

• On additionne 6 à la racine du plus petit carré.

• On multiplie le plus petit carré par sa racine.

• On multiplie les deux résultats.

• On additionne le dernier résultat et celui de la deuxième ligne.

Soit à multiplier 81 et 144. La racine du premier carré est 9 et celle du deuxième est 12, soit une différence de 3. On fait : 9 + 6 = 15, 81 × 9 = 729, 729 × 15 = 10 935. On fait : 10 935 + 729 = 11 664. Le produit des carrés de 9 et de 12 est 11 664.

# 3946             2 novembre 2017

Des allumettes

Comment trouver le nombre d’allumettes nécessaires pour construire une grille m × n ?

Étapes

• On multiplie m par (n + 1).

• On multiplie n par (m + 1).

• On additionne les deux résultats.

Pour une grille 4 × 6, on fait 4 × 7 = 28,  6 × 5 = 30 et 28 + 30 = 58. On a besoin de 58 allumettes pour construire une grille 4 × 6.

# 3924               23 octobre 2017

Reste de la division par 8

Comment obtenir le reste de la division par 8 sans effectuer la division au long ?

Étapes

• On décompose le nombre selon sa valeur de position.

• On trouve le reste de la division par 8 pour chacun des nombres.

• On additionne les restes.

• Si la somme est égale ou supérieure à 8, on soustrait 8 autant de fois que nécessaire pour arriver à un nombre inférieur à 8 : c’est le reste.

Soit à trouver le reste de 3477 ÷ 8. On fait : 3000 + 400 + 70 + 8. Le reste pour 3000 est 0. Le reste pour 400 est 0. Le reste pour 70 est 6. Le reste pour 7 est 7. On fait : 0 + 0 + 6 + 7 = 13 et 13 – 8 = 5. Le reste de la division est 5.

# 3923               23 octobre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 3 ?

 Étapes

• On choisit un multiple de 3 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré. 

• On soustrait 9.

• On divise par 6 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 3 : c’est la base du troisième carré.

On choisit 21 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 21² = 441, 441 – 9 = 432 et 432 ÷ 6 = 72 : c’est la base d’un deuxième carré. On fait : 72 + 3 = 75 : c’est la base du troisième carré. L’égalité est : 21² + 72² = 75².

# 3922               23 octobre 2017

Terme de rang d’une suite
Comment trouver un terme de rang donné dans une suite dont la différence est identique entre chaque nombre voisin ?

Étapes

• On trouve la différence entre chaque nombre voisin.

• On écrit cinq nombres sur une première ligne.

• On écrit le terme suivant sur la deuxième ligne.

• On trouve la différence entre les deux premiers termes des deux lignes.

• On additionne successivement ce résultat aux nombres de la première colonne.

• On additionne la différence entre chaque nombre voisin pour atteindre le rang donné.

Soit à trouver le 19^e terme de la suite 4, 7, 10, 13, … La différence entre chaque nombre voisin est 3. On écrit les cinq premiers termes sur la première ligne. On écrit 19 au début de la deuxième ligne. On fait : 19 – 4 = 15. On additionne successivement 15 dans la première colonne : ce qui donne 4, 19, 34, 49. On fait 49 + 3 + 3 + 3 = 58. Le 19^e terme est 58. Voici le tableau :

                                                 4   7  10  13 16

                                              19 ……….............

                                              34 ……….............

                                              49 ……….............

# 3921               23 octobre 2017

Nombres triangulaires

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On additionne le rang

• On divise par 2.

Soit à trouver le triangulaire de rang 11. On fait : 11² = 121, 121 + 11 = 132 et 132 ÷ 2 = 66. Le triangulaire de rang 11 est 66.

# 3904               15 octobre 2017

Divisibilité par 15

Comme savoir si un nombre est divisible par 15 sans effectuer de division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• Si le dernier chiffre n’est pas 0 ou 5, il n’est pas divisible.

• Si le dernier chiffre est 0 ou 5, on additionne les chiffres sauf le dernier.

• On multiplie par 10.

• On additionne le dernier chiffre.

• Si la somme est un multiple de 15, le nombre est divisible par 15. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 1325 est-il divisible par 15 ? On fait : 1 + 3 + 2 = 6, 6 × 10 = 60 et 60 + 5 = 65. Comme 65 n’est pas un multiple de 15, le nombre 1325 n’est pas divisible par 15.

# 3903               15 octobre 2017

Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division par 7 d’un nombre de trois chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On soustrait un nombre qui est un multiple de 100 immédiatement inférieur au résultat.

• On multiplie la centaine du nombre initial par 2.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit le nombre 478. On fait : 478 – 400 = 78, 4 × 2 = 8 et 78 + 8 = 86. On fait : 86 – 84 = 2. Le reste est 2.

# 3902               15 octobre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 3 ?

Étapes

• On choisit un multiple impair de 3 : c’est la base d’un premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 6.

• On additionne 1,5 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 3 : c’est la base d’un deuxième carré.

On choisit 15 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 15² = 225, 225 ÷ 6 = 37,5 et 37,5 + 1,5 = 39 : c’est la base du troisième carré. On fait : 39 – 3 = 36 : c’est la base d’un deuxième carré. L’égalité est : 15² + 36² = 39².

# 3901               15 octobre 2017

Somme de deux carrés

Comment savoir si un nombre est la somme de deux carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre premier.

• On divise le nombre par 4.

• Si la décimale est 0,25, le nombre est la somme de deux carrés.

On choisit 61. On fait : 61 ÷ 4 = 15,25. Le nombre 61 est la somme de deux carrés. On peut écrire : 5² + 6² = 61.

# 3849               23 septembre 2017

Divisibilité par 18

Comme savoir si un nombre est divisible par 18 sans effectuer de division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• Si la somme est un multiple de 6, le nombre est divisible par 18. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 12 604 est-il divisible par 18 ? On fait : 1 + 2 + 6 + 0 = 9, 9 × 4 = 36 et 36 + 4 = 40. Comme 40 n’est pas un multiple de 6, le nombre 12 604 n’est pas divisible par 18.

# 3848                23 septembre 2017

Reste de la division par 6

Comment obtenir le reste de la division par 6 sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les premiers chiffres, sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• On soustrait le multiple de 6 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de 6539 quand on divise par 6. On fait : 6 + 5 + 3 = 14, 14 × 4 = 56 et 56 + 9 = 65. On fait : 65 – 60 = 5. Le reste est 5.

# 3847                23 septembre 2017

Reste de la division par 14

Comment trouver le reste de la division par 14 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie la dizaine de mille par 2.

• On multiplie l’unité de mille par 3.

• On additionne les deux résultats et la centaine.

• On multiplie par 2.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 14 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 14 de 54 721. On fait : 5 × 2 = 10, 4 × 3 = 12. On fait : 10 + 12 + 7 = 29, 29 × 2 = 58 et 58 + 21 = 79. On fait : 79 – 70 = 9. Le reste est 9.

# 3846                23 septembre 2017

Terme général d’une suite

Comment trouver le terme général d’une suite arithmétique dont on connaît les deux premiers termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre les deux premiers termes.

• On multiplie par n qui correspond au rang du terme général.

• Du premier terme, on soustrait le résultat de la première ligne.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à établir la règle de la suite 1, 3, 5, 7, 9, ... dont n est le rang du terme. La différence est 2. On multiplie 2 par n, ce qui donne 2n. On fait 1 – 2 = -1 et 2n + (-1) = 2n – 1. Le terme général est (2n – 1). En effet, si on remplace successivement n par 1, 2, 3, 4, …, on obtient 1, 3, 5, 7, 9, ...

# 3814                7 septembre 2017

Multiples de 25

Comment trouver un multiple de 25 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute 00, 25, 50 ou 75 à la fin du nombre.

On choisit 369. Par exemple, on ajoute 75. Le nombre 36 975 est un multiple de 25.

# 3813                7 septembre 2017

Divisibilité par 9

Comment savoir si un nombre est divisible par 9 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres.

• Si la somme est égale ou supérieure à 9, soustrait le multiple de 9 qui est égal ou inférieur au résultat.

• Si le résultat est 0, le nombre est divisible par 9. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 46 287 est-il divisible par 9 ? On fait : 4 + 6 + 2 + 8 + 7 = 27, 27 – 27 = 0. Comme le reste est 0, le nombre 46 287 est divisible par 9.

Le nombre 31 254 est-il divisible par 9 ? La somme des chiffres est 15. On fait : 15 – 9 = 6. Le nombre 31 254 n’est pas divisible par 9.

# 3812                7 septembre 2017

Reste de la division par 8

Comment obtenir le reste de la division par 8 d’un nombre sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie la centaine par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne le dernier chiffre.

• On soustrait le multiple de 8 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de 6589. On fait : 5 × 4 = 20 et 8 × 2 = 16. On fait : 20 + 16 = 36 et 36 + 9 = 45. On fait : 45 – 40 = 5. Le reste est 5.

# 3811                7 septembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 2 ?

 Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est la base d’un premier carré.

• On élève ce nombre au carré. 

• On soustrait 4.

• On divise par 4 : c’est la base d’un deuxième carré.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré.

On choisit 14 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 14² = 196, 196 – 4 = 192 et 192 ÷ 4 = 48 : c’est la base d’un deuxième carré. On fait : 48 + 2 = 50 : c’est la base du troisième carré. L’égalité est : 14² + 48² = 50².

# 3779                1^er juillet 2017

Multiples de 13

Comment trouver un multiple de 13 sans effectuer une multiplication directe ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On divise par 4.

• On multiplie le reste par 3.

• On soustrait de 13, sauf si le résultat est 0.

• On additionne le quotient entier.

• Si le résultat est égal ou supérieur à 13, on soustrait du multiple de 13 supérieur au résultat.

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi et on additionne le résultat.

Le nombre choisi est 154. On fait : 154 ÷ 4 = 38 reste 2, 2 × 3 = 6 et 13 – 6 = 7. On fait : 7 + 38 = 45 et 52 – 45 = 7. On ajoute un 0 à la fin de 154 : ce qui donne 1540. On fait : 1540 + 7 = 1547. Le nombre 1547 est un multiple de 13.

# 3778                1^er juillet 2017

Division par 125

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 125 sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On place une virgule après l’unité de mille.

Soit à diviser 3246 par 125. On fait : 3246 × 8 = 25 968. Le quotient est 25,968.

# 3777                1^er juillet 2017

Reste de la division par 4

Comment obtenir le reste d’une division par 4 sans effectuer de division ?

Étapes

• On retient les deux derniers chiffres.

• Lorsque la dizaine est impaire, on additionne 2 à l’unité. Si le résultat est 4 ou supérieur à 4, on soustrait 4 jusqu'à ce que le résultat soit 0, 1, 2 ou 3.

• Lorsque la dizaine est paire, on choisit l’unité. Si le résultat est 4 ou supérieur à 4, on soustrait 4 jusqu'à ce que le résultat soit 0, 1, 2 ou 3.

Soit à trouver le reste de la division de 65 479. On retient 79. L’unité est 9. On fait : 9 + 2 = 11, 11 – 4 = 7 et 7 – 4 = 3. Le reste de la division est 3.

# 3776                1^er juillet 2017

Reste de la division par 15

Comment trouver le reste de la division par 15 sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les chiffres sauf les deux derniers.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne le résultat et le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 15 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 15 de 51 237. On fait : 5 + 1 + 2 = 8. On ajoute un 0, ce qui donne 80. On fait : 80 + 37 = 117 et 117 – 105 = 12. Le reste est 12.

# 3764                25 juin 2017

Des diviseurs communs

Comment trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres ?

Étapes

• On divise les deux nombres. Si le reste est 0, le plus petit nombre est le plus grand commun diviseur. Si non, on continue.

• On divise le plus petit nombre par le reste précédent. Si le reste est 0, le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur. Si non, on continue.

• On fait de même jusqu’à ce que le reste soit 0. Le plus petit diviseur est le plus grand commun diviseur.

Soit à trouver le plus grand commun diviseur de 442 et de 170. On fait : 442 ÷ 170 = 2 reste 102, 170 ÷ 102 = 1 reste 68. On fait : 102 ÷ 68 = 1 reste 34 et 68 ÷ 34 = 2. Le plus grand commun diviseur est 34.

# 3763                25 juin 2017

Divisibilité par 8

Comme savoir si un nombre est divisible par 8 sans effectuer la division ?

Étapes

• On retient les trois derniers chiffres.

• Si le dernier chiffre est impair, le nombre n’est pas divisible par 8.

• On vérifie si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. S’il ne l’est pas, le nombre n’est pas divisible par 8.

• Lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 8, le nombre est divisible par 8 seulement si la centaine est paire.

• Lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres n’est pas divisible par 8, le nombre est divisible par 8 seulement si la centaine est impaire.

Par exemple, 2796 est-il divisible par 8 ? Le nombre 96 est divisible par 8. La centaine est impaire. Le nombre 2796 n’est pas divisible par 8.

Le nombre 4936 est-il divisible par 8 ? Le nombre 36 n’est pas divisible par 8. La centaine est impaire. Le nombre 4936 est divisible par 8.

# 3762                25 juin 2017

Reste de la division par 12

Comment trouver le reste de la division par 12 sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les chiffres, sauf les deux derniers.

• On multiplie par 4.

• On additionne le résultat et le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 12 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 12 de 23 501. On fait : 2 + 3 + 5 + 0 = 10, 10 × 4 = 40 et 40 + 01 = 41. On fait : 41 – 36 = 5. Le reste est 5.

# 3761                25 juin 2017

Des œufs

Connaissant le nombre de personnes qui achètent des œufs d’une fermière, comment trouver le nombre d’œufs qui appartiennent à la fermière ?

Une fermière vend à une première personne la moitié de ses œufs et ½ œuf. À une deuxième personne, elle vend la moitié de ce qui reste et ½ œuf et ainsi de suite jusqu’à ce que tous les œufs soient distribués.

Étapes

• On élève 2 à la puissance qui correspond au nombre de personnes.

• On soustrait 1.

Par exemple, s’il y a quatre personnes, on fait : 2⁴ = 16 et 16 – 1 = 15. La fermière avait 15 œufs. En effet, 15 ÷ 2 = 7 ½ et 7 ½ + ½ = 8 (première personne), puis 7 ÷ 2 = 3 ½ et 3 ½ + ½ = 4 (deuxième personne), puis 3 ÷ 2 = 1 ½ et 1 ½ + ½ = 2 (troisième personne), puis 1 ÷ 2 = ½ et ½ + ½ = 1 (quatrième personne).

# 3749                19 juin 2017

Multiples de 12

Comment trouver un multiple de 12 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un chiffre pair : c’est l’unité du nombre à trouver.

• Si le chiffre est divisible par 4, on choisit un chiffre pair. Si non, on choisit un chiffre impair : c’est la dizaine du nombre à trouver.

• On additionne les chiffres choisis.

• On soustrait le résultat d’un nombre divisible par 3.

• On choisit autant de chiffres que l’on veut qui sont la somme du dernier résultat.

Soit 8 le chiffre choisi : c’est l’unité du nombre à trouver. On choisit 4 : c’est sa dizaine. On fait : 8 + 14 = 12. On choisit 18 comme nombre divisible par 3. On fait : 18 – 12 = 6. On choisit 1, 5 et 0 dont la somme est 6. On place 150 devant 48. Le nombre 15 048 est un multiple de 12.

# 3748                19 juin 2017

Divisibilité par 8

Comme savoir si un nombre est divisible par 8 sans effectuer de division ?

Étapes

• On retient les trois derniers chiffres.

• On multiplie la centaine par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux derniers résultats et l’unité.

• Si la somme est un multiple de 8, le nombre est divisible par 8. Si non, il ne l’est pas.

Soit à vérifier si 57 814 est divisible par 8. On retient 814. On fait : 8 × 4 = 32, 1 × 2 = 2. On fait :

32 + 2 + 4 = 38. Comme 38 n’est pas un multiple de 8, le nombre 57 814 n’est pas divisible par 8.

# 3747                19 juin 2017

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment composer un carré magique en déplaçant les éléments ?

Étapes

• On intervertit successivement les deux premiers éléments de la première ligne, les deux premiers éléments de la troisième colonne, les deux derniers éléments de la troisième ligne et les deux derniers éléments de la première colonne.

• On intervertit les deux éléments extrêmes de la première diagonale.

• On intervertit les deux éléments extrêmes de la deuxième ligne.

À partir l’extrait du calendrier à gauche, voici comment on procède :

# 3746                19 juin 2017

Un pourboire

Comment calculer un pourboire de 15 % ?

Étapes

• On calcule 10 % sur le montant du repas en déplaçant la virgule vers la gauche.

• On calcule 5 % en prenant la moitié du résultat précédent.

• On additionne les deux résultats.

Soit un montant de 22,86 $. Les 10 % reviennent à 2,28 $. La moitié est 1,14 $. On fait : 2,28 + 1,14 = 3,42. Le pourboire est de 3,42 $.

# 3729                8 juin 2017

Multiples de 9

Comment trouver un multiple de 9 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit des couples de nombres dont la somme est 9.

• On forme un nombre avec les éléments de ces couples, qu’on entremêle à sa guise.

Par exemple, on écrit : (3, 6), (2, 7), (4, 5). On peut former les nombres 364 527 ou 536 742 et plus encore.

3728                8 juin 2017

Division par 49

Comment trouver le quotient d’un nombre de cinq chiffres divisé par 49 lorsque le quotient est un entier et ce, sans effectuer de division ?

Étapes

• On soustrait le dernier chiffre du dividende de 10 : c’est l’unité du quotient.

• On insère une virgule avant la centaine du dividende.

• On multiplie par 2.

• On écrit la partie entière devant d’unité du quotient.

Soit à diviser 17 052 par 49. On fait : 10 – 2 = 8 : c’est l’unité du quotient. Ayant inséré la virgule, on écrit 17,052. On fait : 17,052 × 2 = 34,104. La partie entière est 34. On ajoute 8 comme unité. Le quotient est 348.

# 3727                8 juin 2017

Nombre pensé

Comment deviner la différence de deux nombres de trois chiffres sont l’un est le renversé de l’autre ?

Étapes

• On demande à une personne de choisir un nombre,

• d’écrire le renversé de ce nombre

• de soustraire les deux nombres

• de vous donner l’unité

 • La dizaine est toujours 9. La centaine est la différence de 9 et de l’unité.

La personne choisit 764. Elle écrit 467. Elle fait : 764 – 467 = 297. Elle vous donne 7 comme unité. Vous faites : 9 – 7 = 2. La différence est 297.

# 3726                8 juin 2017

Mains de jetons

Une personne a un nombre impair de jetons dans une main et un nombre pair de jetons dans l’autre main. Comment deviner quelle main contient un nombre impair ou pair de jetons ?

Étapes

• La personne multiplie par 3 le nombre de jetons de la main gauche.

• Elle multiplie par 2 le nombre de jetons de la main droite.

• Elle additionne les deux résultats et énonce la somme.

Si le résultat est pair, la main gauche contient le nombre pair de jetons et l’autre main, le nombre impair de jetons. Si le résultat est impair, la main gauche contient le nombre impair de jetons et l’autre main, le nombre pair de jetons.

# 3709                30 mai 2017

Multiples de 9

Comment trouver un multiple de 9 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin du nombre.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit 762 le nombre choisi. On ajoute un 0 : ce qui donne 7620. On fait : 7620 – 762 = 6858. Le nombre 6858 est un multiple de 9.

# 3708                30 mai 2017

Division par 37

Comment trouver le quotient d’un nombre de trois chiffres identiques divisé par 37 sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie le chiffre commun par 3.

Soit à diviser 444 par 37. On fait : 4 × 3 = 12. Le quotient est 12.

# 3707                30 mai 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 2 ?

Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 4.

• On additionne 1 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 2 : c’est la base d’un deuxième carré.

On choisit 10 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 10² = 100, 100 ÷ 4 = 25 et 25 + 1 = 26 : c’est la base du troisième carré. On fait : 26 – 2 = 24 : c’est la base d’un deuxième carré. L’égalité est : 10² + 24² = 26².

# 3706                30 mai 2017

Carré et cube

Comment trouver la somme d’un nombre, de son carré et de son cube sans élever au carré et au cube ?

Étapes

• On multiplie le nombre et son suivant.

• On additionne 1.

• On multiplie le nombre.

Soit à additionner 6, 6² et 6³. On fait : 6 × 7 = 42, 42 + 1 = 43 et 43 × 6 = 258. La somme est 258.

# 3689                22 mai 2017

Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division par 7 d’un nombre de quatre chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie l’unité de mille par 6.

• On multiplie la centaine par 2.

• On multiplie la dizaine par 3.

• On additionne les trois résultats.

• On additionne l’unité.

• On soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de 5479. On fait : 5 × 6 = 30, 4 × 2 = 8, 7 × 3 = 21. On fait : 30 + 8 + 21 = 59 et 59 + 9 = 68. On fait : 68 – 63 = 5. Le reste est 5.

# 3688                22 mai 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 1 ?

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On soustrait 1.

• On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du troisième carré.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11² = 121, 121 – 1 = 120, 120 ÷ 2 = 60 et 60 + 1 = 61. L’égalité est : 11² + 60² = 61².

# 3687                22 mai 2017

Somme de nombres et de carrés

Comment trouver la somme de deux nombres et de leur carré sans élever au carré ?

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On multiplie le premier nombre par son suivant.

• On multiplie le deuxième nombre par son suivant.

• On additionne les deux résultats.

Soit 5 et 8 les deux nombres choisis. On fait : 5 × 6 = 30, 8 × 9 = 72 et 30 + 72 = 102. La somme de 5, 8, 5² et 8² est 102.

# 3686                22 mai 2017

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes dont les bases diffèrent de 4 sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le plus grand nombre par 12.

• On multiplie par le plus petit nombre.

• On additionne 64.

Soit à calculer 9³ – 5³. On fait : 9 × 12 = 108, 108 × 5 = 540 et 540 + 64 = 604. D’où, 9³ – 5³ = 604. La différence des deux cubes est 604.

# 3674                16 mai 2017

Multiples de 8

Comment trouver un multiple de 8 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre de trois chiffres.

• On l’additionne à lui-même.

• On additionne le résultat à lui-même.

• On additionne le résultat à lui-même.

• Avant ce résultat, on écrit autant de chiffres que l’on veut.

Par exemple, on écrit 314. On fait 314 + 314 = 628, 628 + 628 = 1256 et 1256 + 1256 = 2512. On décide d’écrire 8297. On peut former 82 972 512. Ce nombre est un multiple de 8.

# 3673                16 mai 2017

Division par 25

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 25 sans effectuer de division ?

Étapes

• On biffe les deux derniers chiffres.

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 1 si les deux derniers chiffres du nombre à diviser sont de 25 à 49, 2 si les deux derniers chiffres sont de 50 à 74, 3 si les deux derniers chiffres sont de 75 à 99 : c’est le quotient.

 • On soustrait aux deux derniers chiffres 0, 25, 50 ou 75 en choisissant parmi eux le nombre plus petit le plus proche : c’est le reste.

Soit à diviser 2372 par 25. On retient 23. On fait : 23 × 4 = 92. Comme 72 est dans l’intervalle 50 à 74, on fait 92 + 2 = 94 : c’est le quotient. On fait : 72 – 50 = 22 : c’est le reste. Le résultat de la division est 94, reste 22.

# 3672                16 mai 2017

Divisibilité par 7

Comme savoir si un nombre de six chiffres est divisible par 7 sans effectuer de division ?

Étapes

• On partage le nombre en deux tranches ayant chacune trois chiffres.

• On soustrait les deux tranches.

• On biffe la centaine.

 • On additionne le double de la centaine biffée.

• On soustrait par le nombre inférieur ou égal au résultat dans la suite 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, etc.

• Si le résultat est 0, le nombre est divisible par 7. Si non, il ne l’est pas.

Soit à vérifier si 862 526 est divisible par 7. On fait : 862 – 526 = 336. On retient 36. On fait : 36 + 6 = 42. Comme 42 est dans la suite, le nombre 862 526 est divisible par 7.

# 3671                16 mai 2017

Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division par 11 d’un nombre relativement petit sans effectuer de division ?

Étapes

• On soustrait successivement par un nombre ayant deux chiffres identiques et inférieur à ce nombre.

• Le reste est la dernière différence.

Soit à diviser 375 par 11. On fait : 375 – 99 = 276 et 276 – 99 = 177. On fait : 177 – 99 = 78 et 78 – 77 = 1. Le reste est 1.

# 3644                 2 mai 2017

Multiples de 15

Comment trouver un multiple de 15 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre dont l’unité est 0.

• On divise par 2.

• On additionne le nombre choisi.

Le nombre choisi est 420. On fait : 420 ÷ 2 = 210 et 210 + 420 = 630. Le nombre 630 est un multiple de 15.

# 3643                 2 mai 2017

Division par 25

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 25 sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On place une virgule après la centaine.

Soit à diviser 246 par 25. On fait : 246 × 4 = 984. Le quotient est 9,84.

# 3642                 2 mai 2017

Divisibilité par 6

Comme savoir si un nombre est divisible par 6 sans effectuer de division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• Si la somme est un multiple de 6, le nombre est divisible par 6. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 32 708 est-il divisible par 6 ? On fait : 3 + 2 + 7 + 0 = 12, 12 × 4 = 48 et 48 + 8 = 56. Comme 56 n’est pas un multiple de 6, le nombre 32 708 n’est pas divisible par 6.

Le nombre 55 284 est-il divisible par 6 ? On fait : 5 + 5 + 2 + 8 = 20, 20 × 4 = 80 et 80 + 4 = 84. Comme 84 est un multiple de 6, le nombre 55 284 est divisible par 6.

# 3641                 2 mai 2017

Des carrés impairs

Comment trouver le carré d’un nombre impair sans élever au carré ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par le nombre qui précède.

• On multiplie par 4.

• On additionne 1.

Par exemple, on choisit 11. On fait : 11 × 10 = 110, 110 × 4 = 440 et 440 + 1 = 441. Le nombre 441 est un carré, soit celui de 21.

# 3619                 22 avril 2017

Multiples de 8

Comment trouver un multiple de 8 d’au moins trois chiffres sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre divisible par 4 et inférieur à 40. On note le nombre.

• On choisit un nombre divisible par 2 et inférieur à 20. On note le nombre.

• On additionne les deux nombres.

• On additionne un nombre inférieur à 10 qui rend la somme divisible par 8. On note le nombre.

• On divise par 4 le nombre de la première ligne : c’est la centaine du nombre à trouver.

• On divise par 2 le nombre de la deuxième ligne : c’est la dizaine du nombre à trouver.

• On prend le nombre de la quatrième ligne : c’est l’unité du nombre à trouver.

• On choisit n’importe lequel nombre qu’on place devant le nombre trouvé.

Soit 20 et 14 les deux nombres choisis. On fait : 20 + 14 = 34. En additionnant 6 à 34, on obtient 40 qui est divisible par 8. On fait : 20 ÷ 4 = 5 : c’est la centaine du nombre à trouver. On fait : 14 ÷ 2 = 7 : c’est la dizaine du nombre à trouver. L’unité est 6 qui résulte de (6 + 34). Le nombre est 576. Par exemple, on place 453 devant 576. Le nombre 453 576 est un multiple de 8.

# 3618                 22 avril 2017

Multiples de 12

Comment trouver un multiple de 12 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne le nombre choisi.

• On additionne le nombre choisi.

Soit 759 le nombre choisi. On écrit 7590. On fait : 7590 + 759 = 8349 et 8349 + 759 = 9108. Le nombre 9108 est un multiple de 12.

# 3617                 22 avril 2017

Division par 11

Comment trouver le quotient d’un nombre de trois chiffres quand on le divise par 11 ?

Étapes

• On soustrait successivement par un nombre de deux chiffres identiques le plus près possible du nombre antérieur. On note le chiffre commun.

• On additionne les chiffres notés.

• Le reste est la dernière différence.

Soit à diviser 375 par 11. On fait : 375 – 99 = 276. On note 9. On fait : 276 – 99 = 177. On note 9. On fait : 177 – 99 = 78. On note 9. On fait : 78 – 77 = 1. On note 7. On fait : 9 + 9 + 9 + 7 = 34. Le quotient est 34 et le reste est 1.

# 3616                 22 avril 2017

Divisibilité par 3

Comme savoir si un nombre est divisible par 3 sans effectuer de division ?

Étapes

• S’ils sont présents, on biffe les chiffres 0, 3, 6 et 9 du nombre donné.

• On biffe les nombres dont la somme est un multiple de 3.

• S’il y a lieu, on additionne les chiffres qui restent et on soustrait 3 successivement jusqu’à ce que le résultat soit inférieur à 3.

• Si le résultat final est 0, le nombre de départ est divisible par 3. Sinon, il ne l’est pas.

Le nombre 43 682 est-t-il divisible par 3 ? On biffe le 3 et le 6. On conserve 482. On biffe 4 et 8, car 4 + 8 = 12, un multiple de 3. Il reste 2. Le nombre 43 682 n’est pas divisible par 3.

Le nombre 405 675 est-t-il divisible par 3 ? On biffe le 6. On conserve 40 575. On biffe 4 et 5, car 4 + 5 = 9. On biffe 7 et 5, car 7 + 5 = 12. Il reste 0. Le nombre 45 672 est divisible par 3.

# 3584                 8 avril 2017

Multiples de 8

Comment trouver un multiple de 8 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre supérieur à 12.

• On l’additionne à lui-même.

• On additionne le résultat à lui-même.

• On additionne le résultat à lui-même.

• On choisit n’importe lequel nombre qu’on place devant le nombre trouvé.

Soit 57 le nombre choisi. On fait : 57 + 57 = 114, 114 + 114 = 228 et 228 + 228 = 456. Par exemple, on place 235 devant 456. Le nombre 235 456 est un multiple de 8.

# 3583                 8 avril 2017

Multiples de 11

Comment trouver un multiple de 11 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre renversé.

• On forme un nombre en accolant ces deux derniers nombres.

Soit 432 le nombre choisi. On écrit 234, puis 432 234 ou 234 432. Ces deux nombres sont divisibles par 11.

# 3582                 8 avril 2017

Reste de la division par 5

Comment obtenir le reste d’une division par 5 sans effectuer de division ?

Étapes

• On prend l’unité du nombre.

• Si l’unité est inférieure à 5, c’est le reste.

• Si l’unité est égale ou supérieure à 5, on soustrait 5.

Soit à trouver le reste de la division de 63 464. Le reste de la division est 4.

Soit à trouver le reste de la division de 63 468. On fait : 8 – 5 = 3. Le reste de la division est 3.

# 3581                 8 avril 2017

Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par le suivant.

• On multiplie le nombre choisi par 3.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On additionne 4.

On choisit 10. On fait : 10 × 11 = 110, 10 × 3 = 30, 110 + 30 = 140 et 140 + 4 = 144. Le nombre 144 est un carré, soit celui de 12.

# 3559                 29 mars 2017

Multiplication par 125

Comment trouver le produit d’un nombre et de 125 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute trois zéros au nombre à multiplier.

• On divise par 8.

Soit à multiplier 821 par 125. On ajoute trois zéros : cela donne 821 000. On fait : 821 000 ÷ 8 =. Le produit est 102 625.

# 3558                 29 mars 2017

Multiples de 7

Comment trouver un multiple de 7 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit deux nombres de trois chiffres.

• On soustrait les deux nombres.

• On divise par 7.

• On additionne le reste au plus petit nombre choisi ou on soustrait le reste au plus grand nombre.

• On écrit à la suite le résultat et l’autre nombre choisi qui n’a pas été transformé dans l’ordre que l’on veut.

Soit 853 et 526 les deux nombres choisis. On fait : 853 – 526 = 327 et 327 ÷ 7 = 46, reste 5. On fait : 526 + 5 = 531. On accole 853 et 531. Le nombre 853 531 est un multiple de 7.

# 3557                 29 mars 2017

Division de deux nombres

Comment trouver le quotient de deux nombres sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie successivement le diviseur par 1, 2, 3, 4, etc.

• Quand on a dépassé le dividende, on compte le nombre de produits en excluant le dernier : c’est le quotient.

• On soustrait le dividende et le produit avant celui qui a été exclu : c’est le reste.

Soit à diviser 140 par 52. On fait : 1 × 52 = 52, 2 × 52 = 104, 3 × 52 = 156. Il y a deux produits avant 156 : c’est le quotient. On fait : 140 – 104 = 36 : c’est le reste. Le résultat est 2, reste 36.

# 3556                 29 mars 2017

Reste de la division par 4

Comment obtenir le reste de la division par 4 d’un nombre sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie la centaine par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne l’unité du nombre choisi.

• On soustrait le multiple de 4 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de 6589. On fait : 5 × 4 = 20 et 8 × 2 = 16. On fait : 20 + 16 = 36 et 36 + 9 = 45. On fait : 45 – 44 = 1. Le reste est 1.

# 3529                 17 mars 2017

Multiplication par 49

Comment trouver le produit d’un nombre et de 49 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute deux zéros au multiplicande.

• On divise par 2.

• On soustrait le multiplicande.

Soit à multiplier 258 par 49. On ajoute deux zéros à 258 : cela donne 25 800. On fait : 25 800 ÷ 2 = 12 900 et 12 900 – 258 = 12 642. Le produit est 12 642.

# 3528                 17 mars 2017

Multiples de 7

Comment trouver un multiple de 7 ?

Étapes

• On choisit un chiffre : c’est l’unité.

• On multiplie par 2.

• On soustrait 0, 7 ou 14 au résultat pour obtenir un nombre d’un seul chiffre : c’est la dizaine.

• On recommence au début autant de fois que l’on veut.

• On assemble les nombres trouvés dans l’ordre que l’on veut.

Soit à trouver un nombre de six chiffres. On choisit 3. On fait : 3 × 2 = 6 et 6 – 0 = 6. Le nombre est 63. On choisit 5. On fait : 5 × 2 = 10 et 10 – 7 = 3. Le nombre est 35. On choisit 8. On fait : 8 × 2 = 16 et 16 – 14 = 2. Le nombre est 28. Un des multiples de 7 est 633 528.

# 3527                 17 mars 2017

Multiples de 9

Comment trouver un multiple de 9 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le renversé de ce dernier.

• On soustrait le nombre et son renversé.

Soit 8453 le nombre choisi. Le renversé est 3548. On fait : 8453 – 3548 = 4905. Le nombre 4905 est un multiple de 9.

# 3526                 17 mars 2017

Somme de deux carrés

Connaissant la somme de deux nombres élevés au carré, comment trouver deux autres carrés dont la somme est identique quand les deux carrés existent ?

Étapes

• On soustrait 1 à la plus grande base.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On soustrait de la somme.

Soit 3² + 14² = 205. On fait : 14 – 1 = 13, 13 × 13 = 169 et 205 – 169 = 36. Les deux autres carrés sont 169 et 36. On peut écrire : 6² + 13² = 205.

# 3509                 9 mars 2017

Multiplication par 15

Comment trouver le produit d’un nombre et de 15 sans effectuer la multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On divise par 2.

• On additionne les deux résultats.

Soit à multiplier 32 par 15. On ajoute un 0 à 32 : cela donne 320. On fait : 320 ÷ 2 = 160 et 320 + 160 = 480. Le produit est 480.

# 3508                 9 mars 2017

Multiplication par 33

Comment trouver le produit d’un nombre et de 33 sans effectuer la multiplication ?

Étapes

• On ajoute deux zéros à la fin du nombre choisi.

• On soustrait le nombre choisi.

• On divise par 3.

Soit à multiplier 71 par 33. On écrit 7100. On fait : 7100 – 71 = 7029 et 7029 ÷ 3 = 2343. Le produit est 2343.

# 3507                 9 mars 2017

Multiples de 11

Comment trouver un multiple de 11 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit deux nombres de deux chiffres.

• On additionne les deux nombres.

• On divise par 11 en retenant le reste.

• On soustrait le reste à un des deux nombres.

• On écrit à la suite le résultat et l’autre nombre choisi qui n’a pas été transformé.

Soit 31 et 72 les deux nombres choisis. On fait : 31 + 72 = 103. On fait : 103 ÷ 11 = 9, reste 4. On fait : 72 – 4 = 68. On accole 31 et 68. Le nombre 3168 est un multiple de 11.

# 3506                 9 mars 2017

Somme d’une suite

Comment trouver la somme d’une suite dont on connaît les deux premiers termes et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre les deux premiers termes.

• On multiplie par le nombre de termes.

• Du premier terme, on soustrait le résultat de la première ligne.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On additionne le premier terme.

• On multiplie par le nombre de termes.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des 10 termes d’une suite dont les deux premiers termes sont 5 et 8. On fait : 8 – 5 = 3 et 3 × 10 = 30. On fait : 5 – 3 = 2 et 30 + 2 = 32. On fait : 32 + 5 = 37, 37 × 10 = 370 et 370 ÷ 2 = 185. La somme est 185.

# 3484                 27 février 2017

Multiplication par 11

Comment trouver le produit d’un nombre et de 11 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un zéro au nombre à multiplier.

• On additionne le nombre à multiplier.

Soit à multiplier 432 par 11. On ajoute un 0 à 432 : cela donne 4320. On fait : 4320 + 432 = 4752. Le produit est 4752.

# 3483                 27 février 2017

Multiples de 7

Comment trouver un multiple de 7 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne le nombre à lui-même.

• On additionne le nombre choisi. On note le résultat.

• On ajoute un 0 à la fin du nombre initial.

• On soustrait le nombre noté.

Soit 61 le nombre choisi. On fait : 61 + 61 = 122 et 122 + 61 = 183. Le résultat noté est 183. On ajoute un 0 à 61 : ce qui donne 610. On fait : 610 – 183 = 427. Le nombre 427 est un multiple de 7.

# 3482                 27 février 2017

Multiples de 11

Comment trouver un multiple de 11 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne le nombre choisi.

Soit 453 le nombre choisi. On écrit 4530. On fait : 4530 + 453 = 4983. Le nombre 4983 est un multiple de 11.

# 3481                 27 février 2017

Nombre binaire

Comment convertir un nombre binaire dans le système décimal ?

Étapes

• On compte le nombre de chiffres.

• On soustrait 1.

• On élève 2 à la puissance correspondant au dernier résultat.

• De gauche à droite, à partir du deuxième chiffre, on multiplie successivement le chiffre en binaire et le résultat divisé par 2.

• On additionne les résultats.

Soit à convertir 110 101 en un nombre décimal. On fait : 6 – 1 = 5. On écrit 2⁵ = 32, 1 × 2⁴ = 16, 0 × 2³ = 0, 1 × 2¹ = 4, 0 × 2¹ = 0 et 1 × 2⁰ = 1. On fait : 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53. Le nombre 110 101 est 53 dans le système décimal.

# 3464                 19 février 2017

Plus grande différence

Comment trouver la plus grande différence entre deux nombres de trois chiffres, formés de six chiffres différents ?

Étapes

• On écrit les six chiffres en ordre croissant.

• On forme le premier nombre avec les trois plus grands chiffres en ordre décroissant.

• On forme le deuxième nombre avec les trois plus petits chiffres en ordre croissant.

• On fait la soustraction des deux nombres.

Soit à soustraire deux nombres formés de 1, 2, 4, 5, 8 et 9. Le premier nombre est 985. Le deuxième nombre est 124. On fait : 985 – 124 = 861. La plus grande différence est 861.

# 3463                 19 février 2017

Preuve par 9

Comment vérifier si une différence est exacte ?

Étapes

• On additionne les chiffres du plus grand nombre.

• On additionne les chiffres jusqu’à ce qu’on ait un seul chiffre. On note le résultat.

• On additionne les chiffres des deux autres nombres.

• On additionne les chiffres jusqu’à ce qu’on ait un seul chiffre. On note le résultat.

• Si les résultats notés sont identiques, la différence est exacte. Dans le cas contraire, il y a erreur.

Après avoir trouvé que la différence de 845 et de 637 est 228, on fait : 8 + 4 + 5 = 17 et 1 + 7 = 8. On note 8. On fait : 6 + 3 + 7 + 2 + 2 + 8 = 28, 2 + 8 = 10 et 1 + 0 = 1. On note 1. Comme les résultats ne sont pas identiques, il y a erreur. En réalité, la différence est 208.

Note. Ce truc est fiable seulement si on a fait une erreur sur un seul chiffre.

# 3462                 19 février 2017

Chiffres renversés

Comment trouver le produit de deux nombres de deux chiffres dont les chiffres sont renversés ?

Étapes

• On multiplie les deux chiffres.

• On ajoute deux 0 à la fin. On note le résultat.

• On élève chacun des chiffres au carré.

• On additionne les deux carrés.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On multiplie les deux chiffres. On note le résultat.

• On additionne les résultats notés.

Soit à multiplier 47 par 74. On fait : 4 × 7 = 28. On ajoute deux 0 : cela donne 2800. On note 2800. Le carré de 4 est 16. Le carré de 7 est 49. On fait : 16 + 49 = 65. On ajoute un 0 : cela donne 650. On note 650. On fait : 4 × 7 = 28. On note 28. On fait : 2800 + 650 + 28 = 3478. Le produit est 3478.

# 3461                 19 février 2017

Multiplication de nombres

Comment trouver le produit de deux nombres de trois chiffres sans effectuer leur multiplication ?

Étapes

• On prend l’un des nombres qui est considéré de rang 1.

• On additionne le nombre à lui-même. Le résultat est considéré de rang 2.

• On additionne le résultat à lui-même. Le résultat est considéré de rang 4.

• On additionne le résultat à lui-même. Le résultat est considéré de rang 8.

• On prend chacun des chiffres du nombre qui multiplie. Si le rang existe, on prend le résultat correspondant à ce rang. Si le rang n’existe pas, on additionne les résultats qui correspondent à la somme des rangs. Par exemple, si le chiffre est 2, on prend le résultat de rang 2. Si le chiffre est 6, on additionne les résultats de rangs 2 et 4.

• Pour le chiffre des centaines, on ajoute deux 0 à la fin. On note le résultat.

• Pour le chiffre des dizaines, on place un 0 à la fin. On note le résultat.

• Pour le chiffre des unités, on écrit le résultat tel quel. On note le résultat.

• On additionne les résultats notés.

Soit à multiplier 132 par 865. On écrit 132 (rang 1), 264 (rang 2), 528 (rang 4) et 1056 (rang 8). Pour le 8, on écrit 1056. On ajoute deux 0. On note 105 600. Pour le 6, on fait : 264 + 528  = 792. On ajoute un 0. On note 7920. Pour le 5, on fait : 132 + 528 = 660. On note 660. On fait : 105 600 + 7920 + 660 = 114 180. Le produit est 114 180.

# 3439                 9 février 2017

Plus petite différence

Comment trouver la plus petite différence entre deux nombres de trois chiffres, formés de six chiffres différents ?

Étapes

• On choisit un couple de chiffres voisins en ordre qui deviennent les centaines.

• On forme le premier nombre avec la centaine la plus grande et les deux autres plus petits chiffres en ordre croissant.

• On forme le deuxième nombre avec la centaine la plus petite et les deux autres plus grands chiffres en ordre décroissant.

• On fait la soustraction des deux nombres.

• On procède de la même façon en choisissant, s’il y a lieu, tout autre couple de chiffres voisins qui deviennent les centaines.

• On choisit le plus petit résultat.

Soit à soustraire deux nombres formés de 1, 2, 4, 5, 8 et 9. On choisit le couple (1, 2). Le premier nombre est 245. Le deuxième nombre est 198. On fait : 245 – 198 = 47. On choisit le couple (4, 5). Le premier nombre est 512. Le deuxième nombre est 498. On fait : 512 – 498 = 14. On choisit le couple (8, 9). Le premier nombre est 912. Le deuxième nombre est 854. On fait : 912 – 854 = 58. La plus petite différence est 14.

# 3438                 9 février 2017

Preuve par 11

Comment vérifier si une somme est exacte ?

Étapes

• On additionne les chiffres de rang impair du premier nombre à partir de la gauche.

• On soustrait le ou les autres chiffres.

• Si le résultat est négatif, on additionne 11 : c’est le reste du premier nombre.

• On fait de même pour chacun des autres nombres à additionner : ce sont les restes des autres nombres.

• On additionne les restes.

• Si la somme est égale ou supérieure à 11, on soustrait 11.

• On refait les trois premières étapes pour la somme trouvée : c’est le reste de la somme.

• Si les restes des deux dernières lignes sont identiques, la somme est exacte. Si non, elle ne l’est pas.

Après avoir additionné 459, 581 et 872, on trouve que la somme est 1935. On fait : 9 + 4 = 13 et 13 – 5 = 8. Le reste est 8. On fait : 1 + 5 = 6, 6 – 8 = –2 et –2 + 11 = 9. Le reste est 9. On fait : 2 + 8 = 10 et 10 – 7 = 3. Le reste est 3. On fait : 8 + 9 + 3 = 20 et 20 – 11 = 9. La somme des restes est 9. On fait : 5 + 9 = 14, 14 – 3 – 1 = 10. Le reste est 10. Comme les restes sont différents, il y a erreur. En réalité, la somme est 1912.

Note. Ce truc est fiable seulement si on a fait une erreur sur un seul chiffre.

# 3437                 9 février 2017

Différence de nombres

Comment trouver la différence de deux nombres de deux chiffres sans effectuer leur soustraction ?

Étapes

• On soustrait les centaines.

• On ajoute deux zéros à la fin. On note le résultat.

• On soustrait les dizaines.

• On ajoute un zéro. On note le résultat.

• On soustrait les unités. On note le résultat.

• On additionne les résultats notés.

Soit à effectuer 841 – 367. On fait : 8 – 3 = 5. On ajoute deux zéros : cela donne 500. On fait : 4 – 6 = – 2. On ajoute un zéro : cela donne –20. On fait : 1 – 7 = –6. On fait : 500 – 20 – 6 = 474. La différence est 474.

# 3436                 9 février 2017

Exactitude d’une soustraction

Comment vérifier si une différence est exacte ?

Étapes

• On additionne le résultat avec le plus petit de l’un des deux autres nombres.

• Si on obtient l’autre nombre, la différence est exacte. Si non, elle ne l’est pas.

Après avoir soustrait 891 et 245, on trouve 636. On fait : 636 + 245 = 881. La différence est inexacte.

# 3424                 3 février 2017

Addition de nombres

Comment trouver la somme de nombres de deux chiffres sans utiliser de retenue ?

Étapes

• On arrondit les nombres à la dizaine près.

• On additionne les résultats.

• On décompose les nombres donnés en partant du nombre arrondi.

• On additionne les excès et on soustrait les défauts.

Soit à additionner 64 et 87. Pour 64, cela donne 60. Pour 87, cela donne 90. On fait : 60 + 90 = 150. On fait : 60 + 4 = 64 et 90 – 3 = 87. On fait : 150 + 4 – 3 = 151.

# 3423                 3 février 2017

Nombre de sommes

Comment trouver le nombre de sommes possibles quand on additionne quatre nombres de deux chiffres comportant huit chiffres différents ?

Étapes

• On additionne les quatre plus petits chiffres (P).

• On additionne les quatre plus grands chiffres (G).

• On additionne P et la dizaine de G.

• On ajoute l’unité de G à la fin: c’est la plus petite somme.

• On additionne G et la dizaine de P.

• On ajoute l’unité de P à la fin: c’est la plus grande somme.

• On soustrait la plus petite somme de la plus grande.

• On divise par 9.

• On additionne 1.

Soit à trouver le nombre de sommes lorsqu’on utilise les chiffres de 1 à 8. On fait : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (P), puis 5 + 6 + 7 + 8 = 26 (G). On fait : 10 + 2 = 12. On ajoute 6 à la fin. La plus petite somme est 126. On fait : 26 + 1 = 27. On ajoute 0 à la fin. La plus grande somme est 270. On fait : 270 – 126 = 144, 144 ÷ 9 = 16 et 16 + 1 = 17. Il y a 17 sommes possibles.

# 3422                 3 février 2017