# 4874             3 juin 2019

Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : la partie entière est un premier nombre.

• On additionne 1 à la partie entière : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 421. On fait : 421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et 14 + 1 = 15. Les deux nombres sont 14 et 15.

# 4873             3 juin 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une troisième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5² + 12² = 13² le triplet choisi. On fait : 13² – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 85² = 5² + 12² +  84².

# 4872             3 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une quatrième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3 et 6 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité est : 25² = 2² + 3² + 6² + 24².

# 4871             3 juin 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On le multiplie par lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On soustrait les deux premiers résultats l’un de l’autre.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On élève au carré chacun des deux résultats notés.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49, 49 + 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait : 28² = 784, 21² = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre 343 est le cube de 7.

# 4850          21 mai 2019

Multiples de 14

Comment trouver un multiple de 14 sans effectuer de multiplication par 14 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat noté.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 14 à partir de 57. On note 570. On fait : 570 ÷ 2 = 285, 285 + 570 = 855 et 855 – 57 = 798. Le nombre 798 est un multiple de 14.

# 4849          21 mai 2019

Nombre de carrés

Comment trouver combien il y a de carrés inférieurs à un nombre donné ?

Étapes

· On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Si non, on conserve la partie entière.

Soit à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait : √863 = 29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs à 863.

# 4848          21 mai 2019

Somme de deux carrés

Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons ?

Étapes

• On choisit deux carrés.

• On les additionne.

• On choisit deux autres carrés.

• On les additionne.

• On fait le produit des deux sommes précédentes.

• Si le produit est un carré, on accepte 0² comme un des carrés.

Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et 16. La somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 2² + 11² = 125 et 5² + 10² = 125.

# 4847          21 mai 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre non premier : c’est la base d’un premier carré.

• On le multiplie par lui-même.

• On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit est le résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au nombre choisi.

• Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième carré.

• On additionne les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2, 72), (4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72 – 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est : 12² + 35² = 37². On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs. On obtient : 12² + 16² = 20², 12² + 9² = 15² et 12² + 5² = 13². Si on ne trouve pas de couples de facteurs acceptables, on ne peut pas trouver de triplets de Pythagore par ce procédé.

# 4846          21 mai 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne les carrés des deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4² + 7² = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité est : 33² = 4² + 7² +  32².