# 4929             6 août 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On additionne les deux nombres.

· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 et 8 les nombres choisis. On fait : 3 + 8 = 11, 8 – 3 = 5, 11 × 5 = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 3² + 28² = 8² + 27² = 793.

# 4928             6 août 2019

Six carrés 

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : c’est la base de trois carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du quatrième carré.

• On élève au carré le nombre qui suit le dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 5 les nombres choisis. On fait : 2² + 4² + 5² = 45, 45 – 1 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Le carré de 23 est 529. On fait : 529 – 1 = 528, 528 ÷ 2 = 264 et 264 + 1 = 265. L’égalité est : 265² = 2² + 4² + 5² + 22² + 264².

# 4927             6 août 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On décompose la différence en deux facteurs.

• On additionne les deux facteurs.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait les deux facteurs l’un de l’autre.

• On divise par 2 : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des carrés est 245. On choisit un couple de facteurs : 5 et 49. On fait : 5 + 49 = 54, 54 ÷ 2 = 27, 49 – 5 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Les deux nombres sont 27 et 22. On pourrait choisir d’autres facteurs comme 7 et 35. Les deux nombres seraient 21 et 14.

# 4926             6 août 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par son successeur.

• On divise par 2.

• On soustrait le nombre choisi.

• On élève au carré chacun des deux résultats précédents.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 9 le nombre choisi. On fait : 9 × 10 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 – 9 = 36. On fait : 45² = 2025, 36² = 1296, 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est un cube, celui de 9.

# 4900             15 juin 2019

Multiplication par 21

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 21 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le résultat à lui-même.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le produit de 712 et de 21. On écrit 7120. On fait : 7120 + 7120 = 14 240 et 14 240 + 712 = 14 952. Le produit est 14 952.

# 4899             15 juin 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (6)

Étapes

• On choisit un carré impair : c’est le premier carré.

• On additionne les nombres impairs consécutifs inférieurs à ce carré : c’est le deuxième carré.

• On additionne les deux résultats précédents : c’est le troisième carré qui est la somme.

Soit 49 le carré choisi. La somme de 1, 3, 5, 7, …, 45, 47 est 576 qui est le carré de 24. On fait : 49 + 576 = 625 qui est le carré de 25. L’égalité est : 49 + 576 = 625 ou 7² + 24² = 25².

# 4898             15 juin 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ? (1)

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On effectue la différence des carrés des deux nombres.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 et 12 les nombres choisis. On fait : 12² - 5² = 119, 119 – 1 = 118, 118 ÷ 2 = 59 et 59 + 1 = 60. L’égalité est : 5² + 60² = 12² + 59² = 3625.

# 4897             15 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (2)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et  on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On élève au carré le successeur du dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7² + 24² = 25² le triplet choisi. On fait : 25² – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312. Le carré de 313 est 97 969. On fait : 97 969 – 1 = 97 968, 97 968 ÷ 2 = 48 984 et 48 984 + 1 = 48 985. L’égalité est : 48 985² = 7² + 24² +  312² +  48 984².

# 4896             15 juin 2019

Six carrés 

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (2)

Étapes

• On choisit quatre nombres dont la somme est impaire : c’est la base de quatre carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3, 6 et 10 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² + 10² = 149, 149 – 1 = 148, 148 ÷ 2 = 74 et 74 + 1 = 75. L’égalité est : 75² = 2² + 3² + 6² + 10² + 74².

# 4874             3 juin 2019

Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : la partie entière est un premier nombre.

• On additionne 1 à la partie entière : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 421. On fait : 421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et 14 + 1 = 15. Les deux nombres sont 14 et 15.

# 4873             3 juin 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une troisième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5² + 12² = 13² le triplet choisi. On fait : 13² – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 85² = 5² + 12² +  84².

# 4872             3 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une quatrième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3 et 6 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité est : 25² = 2² + 3² + 6² + 24².

# 4871             3 juin 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On le multiplie par lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On soustrait les deux premiers résultats l’un de l’autre.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On élève au carré chacun des deux résultats notés.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49, 49 + 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait : 28² = 784, 21² = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre 343 est le cube de 7.

# 4850          21 mai 2019

Multiples de 14

Comment trouver un multiple de 14 sans effectuer de multiplication par 14 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat noté.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 14 à partir de 57. On note 570. On fait : 570 ÷ 2 = 285, 285 + 570 = 855 et 855 – 57 = 798. Le nombre 798 est un multiple de 14.

# 4849          21 mai 2019

Nombre de carrés

Comment trouver combien il y a de carrés inférieurs à un nombre donné ?

Étapes

· On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Si non, on conserve la partie entière.

Soit à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait : √863 = 29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs à 863.

# 4848          21 mai 2019

Somme de deux carrés

Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons ?

Étapes

• On choisit deux carrés.

• On les additionne.

• On choisit deux autres carrés.

• On les additionne.

• On fait le produit des deux sommes précédentes.

• Si le produit est un carré, on accepte 0² comme un des carrés.

Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et 16. La somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 2² + 11² = 125 et 5² + 10² = 125.

# 4847          21 mai 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre non premier : c’est la base d’un premier carré.

• On le multiplie par lui-même.

• On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit est le résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au nombre choisi.

• Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième carré.

• On additionne les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2, 72), (4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72 – 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est : 12² + 35² = 37². On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs. On obtient : 12² + 16² = 20², 12² + 9² = 15² et 12² + 5² = 13². Si on ne trouve pas de couples de facteurs acceptables, on ne peut pas trouver de triplets de Pythagore par ce procédé.

# 4846          21 mai 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne les carrés des deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4² + 7² = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité est : 33² = 4² + 7² +  32².