# 4589          15 décembre 2018

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de quatre nombres consécutifs dont on connaît le plus petit sans effectuer d’addition ?

Étapes

• On multiplie le plus petit nombre par 2.

• On additionne 3.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme de quatre nombres consécutifs dont le plus petit est 36. On fait : 36 × 2 = 72, 72 + 3 = 75 et 75 × 2 = 150. La somme est 150.

# 4588          15 décembre 2018

Multiplication par 14

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 14 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

· On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

· On divise par 2.

· On additionne le nombre choisi. On note le résultat.

• On additionne à lui-même le résultat de la première ligne.

• On soustrait le résultat noté.

Soit à trouver le produit de 213 et de 14. On écrit 2130. On fait : 2130 ÷ 2 = 1065 et 1065 + 213 = 1278. On fait : 2130 + 2130 = 4260 et 4260 – 1278 = 2982. Le produit est 2982.

# 4587          15 décembre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 2, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 4.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 2.

• On divise par 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 2 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 483. On fait : 483 × 4  = 1932, 1932 + 4 = 1936 et √1936 = 44. On fait : 44 – 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 21 + 2 = 23. Les deux facteurs sont 21 et 23.

# 4586          15 décembre 2018

Division par 3

Un nombre formé de 8 étant donné, comment trouver le quotient de ce nombre divisé par 3 sans en effectuer la division ?

Étapes

• On compte combien il y a de 8 dans le dividende donné : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit les n premiers chiffres de 296296296 … : c’est le quotient.

• Du multiple de 3 égal ou supérieur à n, on soustrait n : c’est le reste.

Soit à trouver le quotient de 88 888 888 par 3. Le dividende est formé de huit 8. On écrit 29629629. Le multiple de 3 égal ou supérieur à 8 est 9. On fait : 9 – 8 = 1. Le reste est 1. Le résultat est 29 629 629 reste 1.

# 4569          3 décembre 2018

Conversion en nombre arabe

Comment convertir un nombre romain en un nombre arabe ?

Étapes

• On écrit le M ou les M et le signe d’addition. M est mis pour 1000.

• On écrit D ou CD et le signe d’addition. D est mis pour 500 et CD pour 400.

• On écrit le C, les C ou CM et le signe d’addition. C est mis pour 100 et CM pour 900.

• On écrit L ou XL et le signe d’addition. L est mis pour 50 et XL pour 40.

• On écrit le X, les X ou IX et le signe d’addition. X est mis pour 10 et IX pour 9.

• On écrit le V ou IV et le signe d’addition. V est mis pour 5 et IV pour 4.

• On écrit ce qui reste. I est mis pour 1.

Soit à convertir MCDXLIV en un nombre arabe. On écrit : M + CD + XL + IV = 1000 + 400 + 40 + 4 = 1444. Le nombre arabe est 1444.

Soit à convertir MCMLXXXIX en un nombre arabe. On écrit : M + CM + L + XXX + V + IX = 1000 + 900 + 50 + 30 + 9 = 1989. Le nombre arabe est 1989.

Soit à convertir MMDCCCLXXVI en un nombre arabe. On écrit : MM + D + CCC + L + XX + V + I = 2000 + 500 + 300 + 50 + 20 + 5 + 1 = 2876.

# 4568          3 décembre 2018

Multiplication par 13

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 13 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On divise par 2.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne à lui-même le résultat de la première ligne.

• On soustrait le résultat de la quatrième ligne.

Soit à trouver le produit de 316 et de 13. On écrit 3160. On fait : 3160 ÷ 2 = 1580 et 316 + 316 = 632. On fait : 1580 + 632 = 2212, 3160 + 3160 = 6320 et 6320 – 2212 = 4108. Le produit est 4108.

# 4567          3 décembre 2018

Différence de produits

Comment trouver la différence des produits de deux nombres de deux chiffres dont les dizaines sont interverties et dont les unités demeurent les mêmes ?

Étapes

• On soustrait les unités l’une de l’autre.

• On soustrait les dizaines l’une de l’autre.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

• On ajoute un 0 à la fin.

Soit à trouver la différence de 26 × 51 et de 56 × 21. On fait : 6 – 1 = 5, 5 – 2 = 3 et 5 × 3 = 15. On écrit 150. La différence est 150.

# 4566          3 décembre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1.

• On divise par 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 210. On fait : 210 × 4  = 840, 840 + 1 = 841 et √841 = 29. On fait : 29 – 1 = 28, 28 ÷ 2 = 14 et 14 + 1 = 15. Les deux facteurs sont 14 et 15.

# 4549          21 novembre 2018

Multiplication par un multiple

Comment trouver le produit d’un nombre et d’un multiple sans calculer le multiple ?

Étapes

• On multiplie le nombre par lui-même.

• On multiplie par le rang du multiple.

Soit à trouver le produit du quintuple de 7 et de 7. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 × 5 = 245. Le produit est 245.

# 4548          21 novembre 2018

Multiplication par 4

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 4 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On soustrait les deux résultats l’un de l’autre.

• On divise par 2.

Soit à trouver le produit de 367 et de 4. On écrit 3670. On fait : 367 + 367 = 734, 3670 – 734 = 2936 et 2936 ÷ 2 = 1468. Le produit est 1468.

# 4547          21 novembre 2018

Double opération

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît leur produit multiplié par leur somme ?

Étapes

• On cherche les facteurs du produit en commençant par 2.

• S’il y a lieu, on reprend le même facteur.

• On partage les facteurs en trois groupes : le produit des facteurs du premier groupe correspond au plus petit nombre, le produit des facteurs du deuxième groupe correspond au nombre qui suit, le produit des facteurs du troisième groupe correspond à la somme des deux produits précédents. Il peut y avoir un seul facteur par groupe.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont le produit multiplié par la somme est 10 710. On fait : 10 710 ÷ 2 = 5355, 5355 ÷ 3 = 1785, 1785 ÷ 3 = 595, 595 ÷ 5 = 119, 119 ÷ 7 = 17. Les facteurs sont 2, 3, 3, 5, 7 et 17. On peut avoir (17), (2 × 3 × 3) et (5 × 7), soit 17, 18 et 35. Les deux nombres consécutifs sont 17 et 18.

# 4546          21 novembre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On extrait la racine carrée du nombre.

• On retient la partie entière : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 3192. On fait : √3192 = 56,49. On retient 56. On fait : 56 + 1 = 57. Les deux facteurs sont 56 et 57.

# 4529          9 novembre 2018

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de trois nombres consécutifs sans en effectuer l’addition ?

Étapes

• On additionne 1 au plus petit nombre.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme de trois nombres consécutifs dont le plus petit est 59. On fait : 59 + 1 = 60 et 60 × 3 = 180. La somme est 180.

# 4528          9 novembre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres de deux chiffres ayant la même unité ?

Étapes

• On multiplie les deux dizaines l’une par l’autre.

• On ajoute deux 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les deux dizaines.

• On multiplie par l’unité.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On multiplie par elle-même l’unité commune. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver le produit de 48 et de 78. On fait : 4 × 7 = 28. On écrit 2800. On fait : 4 + 7 = 11 et 11 × 8 = 88. On écrit 880. On fait : 8 × 8 = 64. On fait : 2800 + 880 + 64 = 3744. Le produit est 3744.

# 4527          9 novembre 2018

Multiplication par 16

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 16 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

· On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

· On divise par 2.

· On additionne le nombre choisi.

• On additionne le résultat de la première ligne.

Soit à trouver le produit de 73 et de 16. On écrit 730. On fait : 730 ÷ 2 = 365, 365 + 73 = 438 et 438 + 730 = 1168. Le produit est 1168.

# 4526          9 novembre 2018

Division par 3

Comment trouver le quotient d’un nombre formé de 1 qui est divisé par 3, sans en effectuer la division ?

Étapes

• On compte le nombre de 1.

• On soustrait 1 : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit les n premiers chiffres de 370 370 370 … : c’est le quotient.

• Du nombre de 1 du dividende,  on soustrait le multiple de 3 inférieur au nombre de 1 : c’est le reste.

Soit à trouver le quotient de 11 111 111 par 3. On compte huit 1. On fait : 8 – 1 = 7 : c’est le nombre de chiffres du quotient. On écrit 3703703. Le multiple de 3 inférieur à 8 est 6. On fait : 8 – 6 = 2. Le reste est 2. Le quotient est 3 703 703 reste 2.

# 4509          28 octobre 2018

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de deux nombres consécutifs sans en effectuer l’addition ?

Étapes

• On multiplie le plus petit nombre par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme de deux nombres consécutifs dont le plus petit est 23. On fait : 23 × 2 = 46 et 46 + 1 = 47. La somme est 47.

# 4508          28 octobre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres qui sont à la dizaine près de 100, dont l’un est inférieur à 100 et l’autre supérieur à 100 ?

Étapes

• De chacun des deux nombres, on soustrait 100.

• On additionne les deux résultats.

• On ajoute deux 0  à la fin.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats de la première ligne.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne 10 000.

Soit à trouver le produit de 93 et de 104. On fait : 93 – 100 = -7 et 104 – 100 = 4. On fait : -7 + 4 = -3. On écrit -300. On fait : -7 × 4 = -28, – 300 – 28 = -328 et -328 + 10 000 = 9672. Le produit est 9672.

# 4507          28 octobre 2018

Multiples de 7

Comment trouver un multiple de 7 sans effectuer de multiplication par 7 ?

Étapes

• On choisit un nombre de trois chiffres. 

• On multiplie la centaine par 9.

• On multiplie la dizaine par 3.

• On additionne les deux derniers résultats et l’unité.

• On divise par 7 en retenant le reste.

• Du nombre choisi, on soustrait le reste.

Soit à trouver un multiple de 7 à partir de 857. On fait : 8 × 9 = 72, 5 × 3 = 15 et 72 + 15 + 7 = 94. On fait : 94 ÷ 3 = 13 reste 3 et 857 – 3 = 854. Le nombre 854 est un multiple de 7.

# 4506          28 octobre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1, comment trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On additionne 0,25 au nombre.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5 : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 272. On fait : 272 + 0,25 = 272,25 et √272,25 = 16,5. On fait : 16,5 – 0,5 = 16 et 16 + 1 = 17. Les deux facteurs sont 16 et 17.

# 4489          16 octobre 2018

Soustraction de nombres renversés

Comment trouver la différence d’un nombre de trois chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On soustrait le premier et le dernier chiffre du nombre donné.

• On ajoute le même chiffre au résultat.

• On multiplie par 9.

Soit à soustraire 823 et son renversé. On fait : 8 – 3 = 5. On ajoute 5 pour donner 55. On fait : 55 × 9 = 495. La différence est 495.

# 4488          16 octobre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres de trois chiffres ?

Étapes

• On prend deux entiers ayant le même nombre de chiffres.

• On choisit un multiple de 100 immédiatement supérieur au plus grand nombre.

• Du multiple, on soustrait chacun des deux nombres qu’on appelle compléments.

• On multiplie les deux compléments. On note le résultat.

• On trouve la différence entre un nombre et le complément de l’autre.

• On multiplie par le multiple choisi.

• On additionne le résultat noté.

Soit à multiplier 679 et 796. Le multiple choisi est 800. On fait : 800 – 679 = 121, 800 – 796 = 4 et 121 × 4 = 484. On fait : 679 – 4 = 675, 675 × 800 = 540 000 et 540 000 + 484 = 540 484. Le produit est 540 484.

# 4487          16 octobre 2018

Multiplication par 17

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 17 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute deux 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On divise par 6.

Soit à trouver le produit de 132 et de 17. On écrit 13 200. On fait : 132 + 132 = 264, 13 200 + 264 = 13 464 et 13 464 ÷ 6 = 2244. Le produit est 2244.

# 4486          16 octobre 2018

Deux facteurs

Comment savoir si un nombre peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1 ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un entier, le nombre initial peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1. Si non, il ne peut pas être décomposé ainsi.

Est-ce que 306 peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1 ? On fait : 306 × 4  = 1224, 1224 + 1 = 1225 et √1225 = 35. Le nombre 306 peut être décomposé en deux facteurs qui sont 17 et 18.

# 4464          1^er octobre 2018

Addition de nombres renversés

Comment trouver la somme d’un nombre de quatre chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On additionne le premier et le dernier chiffre du nombre donné.

• On ajoute trois 0 à la fin.

• On additionne les deux derniers résultats. On note le résultat.

• On additionne les deux chiffres du milieu.

• On multiplie par 11.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les deux résultats notés.

Soit à additionner 5362 et son renversé. On fait : 5 + 2 = 7. On écrit 7000. On fait : 7000 + 7 = 7007. On note 7007. On fait : 3 + 6 = 9 et 9 × 11 = 99. On note 990. On fait : 7007 + 990 = 7997. La somme est 7997.

# 4463          1^er octobre 2018

Soustraction d’un multiple

Comment trouver la différence d’un nombre et de son multiple sans avoir besoin du multiple ?

Étapes

• On soustrait 1 au nombre de fois du multiple.

• On multiplie par le nombre.

Soit à soustraire 9 de son quintuple. On fait : 5 – 1 = 4 et 4 × 9 = 36. La différence est 36.

# 4462          1^er octobre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres qui sont supérieurs à 100 et à la dizaine près de 100 ?

Étapes                                            

• On additionne les unités des deux nombres.

• On additionne 100 : c’est la première tranche.

• On multiplie les unités : c’est la deuxième tranche.

Soit à multiplier 103 et 108. On fait : 3 + 8 = 11, 11 + 100 = 111 et 3 × 8 = 24. Le produit est 11 124.

# 4461          1^er octobre 2018

Multiples de 33

Comment trouver un multiple de 33 sans effectuer de multiplication par 33 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute deux 0 à la fin.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit 47 le nombre choisi. On écrit 4700. On fait : 4700 – 47 = 4653. Le nombre 4653 est un multiple de 33.

# 4444          19 septembre 2018

Addition de nombres renversés

Comment trouver la somme d’un nombre de trois chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On additionne le premier et le dernier chiffre du nombre donné.

• On ajoute deux 0 à la fin.

• On additionne les deux derniers résultats. On note le résultat.

• On multiplie par 2 le deuxième chiffre du nombre donné.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les deux résultats notés.

Soit à additionner 354 et son renversé. On fait : 3 + 4 = 7. On écrit 700. On fait : 700 + 7 = 707. On fait : 5 × 2 = 10. On écrit 100. On fait : 707 + 100 = 807. La somme est 807.

# 4443          19 septembre 2018

Soustraction de deux nombres

Comment trouver la différence d’un multiple de 100 et d’un nombre qui lui est inférieur ?

Étapes

• Au besoin, on ajoute, au début du nombre à soustraire, un ou des 0 de façon que ce nombre ait un chiffre de moins que le multiple.

• De 9, on soustrait successivement chacun des chiffres sauf l’unité.

• De 10, on soustrait l’unité.

• On écrit les chiffres obtenus dans l’ordre

Soit à soustraire 376 de 1000. On fait : 9 – 3 = 6, 9 – 7 = 2 et 10 – 6 = 4. La différence est 624.

Soit à soustraire 742 de 10 000. On écrit 0742. On fait : 9 – 0 = 9, 9 – 7 = 2, 9 – 4 = 5 et 10 – 2 = 8. La différence est 9258.

# 4442          19 septembre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres qui sont inférieurs et à la dizaine près de 100 ?

Étapes

• De 100, on soustrait les deux nombres.

• On additionne les résultats.

• De 100, on soustrait le dernier résultat : c’est la première tranche.

• On multiplie les deux résultats de la première ligne : c’est la deuxième tranche.

• Quand on obtient seulement un chiffre, on ajoute un 0 au début.

• On place les deux tranches dans l’ordre.

Soit à multiplier 93 et 94. On fait : 100 – 93 = 7 et 100 – 94 = 6. On fait : 7 + 6 = 13, 100 – 13 = 87 et 7 × 6 = 42. Le produit est 8742.

# 4441          19 septembre 2018

Multiples de 12

Comment trouver un multiple de 12 sans effectuer de multiplication par 12 ?

Étapes

• On choisit un nombre de deux chiffres qui appartient à la suite 12, 16, 20, 24, 28, etc.

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• On choisit autant de chiffres que l’on veut à la seule condition que la somme des chiffres, y compris celle de la deuxième ligne, appartienne à la suite, 3, 6, 9, 12, 15, 18, etc.

• On place les derniers chiffres choisis dans l’ordre que l’on veut et on ajoute à la fin le nombre de la première ligne.

Soit 16 le nombre choisi. La somme des chiffres est 7. On choisit 0, 1, 2 et 5 pour qu’avec 7 la somme des chiffres soit 15. Le nombre 512 016 est un multiple de 12, tout comme 120 516 ou 201 516.

# 4419          4 septembre 2018

Addition de nombres renversés

Comment trouver la somme d’un nombre de deux chiffres et de son renversé sans avoir besoin d’utiliser le renversé ?

Étapes

• On additionne les deux chiffres du nombre donné.

• On multiplie par 11.

Soit à additionner 93 et son renversé. On fait : 9 + 3 = 12 et 12 × 11 = 132. La somme est 132.

# 4418          4 septembre 2018

Somme d’un nombre et de son multiple

Comment trouver la somme d’un nombre et de son multiple sans connaître le multiple ?

Étapes

• On additionne 1 au degré du multiple.

• On multiplie par le nombre.

Soit à additionner 7 et son quadruple. On fait : 4 + 1 = 5 et 5 × 7 = 35. La somme est 35.

# 4417          4 septembre 2018

Soustraction de nombres renversés

Comment trouver la différence d’un nombre de deux chiffres et de son renversé sans avoir besoin d’utiliser le renversé ?

Étapes

• On soustrait les deux chiffres du nombre donné.

• On multiplie par 9.

Soit à soustraire 62 et son renversé. On fait : 6 – 2 = 4 et 4 × 9 = 36. La différence est 36.

# 4416          4 septembre 2018

Multiplication par 3

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 3 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On soustrait le nombre choisi.

• On divise par 3.

Soit à multiplier 235 et 3. On écrit 2350. On fait : 2350 – 235 = 2115 et 2115 ÷ 3 = 705. Le produit est 705.

# 4414          22 juin 2018

Divisibilité par 37

Comment trouver un nombre de six chiffres qui est divisible par 37 ?

Étapes

• Vous mémorisez quelques nombres de trois chiffres divisibles par 37, comme 370, 407, 740, 999, etc.

• Vous demandez à une personne de vous donner un nombre de trois chiffres.

• Vous soustrayez le nombre donné d’un nombre que vous avez mémorisé.

• Vous ajoutez le résultat à gauche ou à droite du nombre que la personne a choisi,

La personne vous donne 241. Vous faites : 370 – 241 =  129. D’où, 129 241 et 241 129 sont des nombres divisibles par 37.

# 4413          22 juin 2018

Somme de deux carrés

Comment savoir si un nombre peut être la somme de deux carrés consécutifs ?

Étapes

· On divise le nombre donné par 2.

· On extrait la racine carrée.

· On additionne le carré de la partie entière du résultat et le carré du nombre suivant.

· Si le résultat est égal au nombre donné, ce dernier est la somme de deux carrés consécutifs.

· Si le résultat n’est pas égal au nombre donné, ce dernier ne peut pas être la somme de deux carrés consécutifs.

Le nombre 1556 est-il la somme de deux carrés consécutifs ? On fait : 1556 ÷ 2 = 778, √778 = 27,89 et 27² + 28² = 1513. Le nombre 1556 n’est pas la somme de deux carrés consécutifs.

Le nombre 2113 est-il la somme de deux carrés consécutifs ? On fait : 2113 ÷ 2 = 1056,5, √1056,5 = 32,5 et 32² + 33² = 2113. Le nombre 2113 est la somme de deux carrés consécutifs.

# 4412          22 juin 2018

Nombres pentagonaux

Comment décomposer un nombre pentagonal en deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

• Si le résultat est pair, on divise par 2 ; si non, on conserve le résultat : c’est le premier facteur.

• On divise le pentagonal par le premier facteur : c’est le deuxième facteur.

Soit le pentagonal 425. On fait : 425 × 24 = 10 200, 10 200 + 1 = 10 201, √10 201 = 101. On fait : 101 + 1 = 102 et 102 ÷ 6 = 17. On fait : 425 ÷ 17 = 25. Le pentagonal 425 peut être décomposé en deux facteurs, soit 17 et 25.

Soit le pentagonal 477. On fait : 477 × 24 = 11 448, 11 448 + 1 = 11 449, √11 449 = 107. On fait : 107 + 1 = 108, 108 ÷ 6 = 18 et 18 ÷ 2 = 9. On fait : 477 ÷ 9 = 53. Le pentagonal 477 peut être décomposé en deux facteurs, soit 9 et 53.

# 4411          22 juin 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire m × n où n est plus grand que m ?

Étapes

• On multiplie n par 3.

• On soustrait m.

• On additionne 1.

• On multiplie par m.

• On multiplie par (m + 1).

• On divise par 6.

Soit à trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire 8 × 10. On fait : 10 × 3 = 30, 30 – 8 = 22, 22 + 1 = 23, 23 × 8 = 184, 184 × 9 = 1656 et 1656 ÷ 6 = 276. Le nombre de carrés est 276.

# 4404          16 juin 2018

Deviner deux nombres

Comment deviner deux nombres inférieurs à 9 choisis par une personne ? (Boucheny)

Étapes

• On demande à la  personne de multiplier le premier nombre par 2.

• On demande d’additionner 1.

• On demande de multiplier par 5.

• On demande d’additionner le second nombre choisi.

• On demande le résultat.

• On retranche 5.

• La dizaine est le premier chiffre et l’unité, le second.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4 × 2 = 8, 8 + 1 = 9, 9 × 5 = 45 et 45 + 7 = 52. Le résultat est 52. On fait : 52 – 5 = 47.

# 4403          16 juin 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés c × c dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait (c – 1) à m.

• On soustrait (c – 1) à n.

• On multiplie des deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire 9 × 10. On fait : 9 – 3 = 6, 10 – 3 = 7 et 6 × 7 = 42. Le nombre de carrés est 42.

# 4402          16 juin 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de quatre carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement les deux éléments du milieu de la première ligne et les deux éléments extrêmes de la quatrième ligne de la grille.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement les deux éléments extrêmes de la première ligne et les deux éléments du milieu de la quatrième ligne

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 2, 3, 22 et 25. On écrit : 2² + 3² + 22² + 25² = 1122. On choisit 1, 4, 23 et 24. On écrit : 1² + 4² + 23² + 24² = 1122. L’égalité est : 2² + 3² + 22² + 25² = 1² + 4² + 23² + 24².

# 4401          16 juin 2018

Assemblage de pièces

Comment trouver le nombre possible de façons différentes d’assembler des pièces de 5 sous et de 25 sous pour un montant donné en dollars entiers, tout en ayant au moins une pièce de chaque valeur ?

Étapes

• On multiplie le montant donné par 4.

• On soustrait 1.

Soit un montant de 6 $. On fait : 6 × 4 = 24 et 24 - 1 = 23. On a 23 façons différentes.

# 4394          10 juin 2018

Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière. On note le résultat.

• On multiplie par 2.

• On multiplie par le triangulaire choisi.

• On élève au carré le résultat noté.

• On soustrait du résultat de la sixième ligne.

Le triangulaire choisi est 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48. On retient 7. On fait 7 × 2 = 14, 14 × 28 = 392 et 7² = 49. On fait 392 – 49 = 343. Le nombre 343 est un cube. Il est de rang 7.

# 4393          10 juin 2018

Aiguilles opposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont opposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11.

• On additionne 32 8/11.

• On multiplie la fraction par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11. On fait : 16 4/11 + 32 8/11 = 49 1/11 et 1/11 × 60 = 5,45. On arrondit à 5. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 49 minutes et 5 secondes.

# 4392          10 juin 2018

Un carré magique

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment composer un carré magique en déplaçant les éléments ?

Étapes

• On intervertit les éléments extrêmes d’une diagonale de la grille.

• On intervertit les éléments du milieu de la même diagonale.

• On intervertit les éléments extrêmes de l’autre diagonale.

• On intervertit les éléments du milieu de la même diagonale.

À partir de l’extrait du calendrier, voici comment on procède de gauche à droite :

# 4391          10 juin 2018

Assemblage de pièces

Comment trouver le nombre de façons différentes d’assembler des pièces de 5 sous et de 10 sous pour un montant donné en dollars entier, tout en ayant au moins un 5 sous et un 10 sous ?

Étapes

• On multiplie le montant donné par 10.

• On soustrait 1.

Soit un montant de 2 $. On fait : 2 × 10 = 20 et 20 – 1 = 19. On a 19 façons différentes.

# 4369          26 mai 2018

Triangulaires et pentagonaux

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On multiplie par 2.

Soit un triangulaire et un pentagonal de rang 5. On fait : 5² = 25 et 25 × 2 = 50. La somme du triangulaire et du pentagonal de rang 5 est 50.

# 4368          26 mai 2018

Combinaisons

Comment trouver les huit combinaisons de trois nombres dont la somme est 15 parmi les nombres de 1 à 9 sans faire de calculs ?

Étapes

• On trace une grille 3 × 3.

• On place 1 au centre de la première ligne.

• On place 2 et 3 selon le saut continu du cavalier.

• On place 4 sous le 3.

• On complète la diagonale avec 5 et 6.

• On place le 7 sous le 6.

• On place 8 et 9 selon le saut continu du cavalier.

• On écrit les nombres de chacune des huit rangées.

En remplissant la grille, on trouve ceci :

Les combinaisons sont : (1, 6, 8), (3, 5, 7), (2, 4, 9), (3, 4, 8), (1, 5, 9), (2, 6, 7), (2, 5, 8), (4, 5, 6).

# 4367          26 mai 2018

Somme des nombres

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des 16 nombres sans faire l’addition au long ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de la première ligne.

• On soustrait 6.

• On multiplie par 4.

• On additionne 168.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16, 16 – 6 = 10 et 10 × 4 = 40. On fait : 40 + 168 = 208. La somme des 16 nombres est 208.

# 4366          26 mai 2018

Somme des colonnes

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des colonnes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le troisième élément de la quatrième colonne de la grille.

• On soustrait 14 : c’est la somme des nombres de la quatrième colonne.

• On soustrait successivement  4 de droite à gauche : c’est la somme de la 3^e, 2^e et 1^e colonne.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 18 × 4 = 72, 72 – 14 = 58 : somme de la quatrième colonne. On fait : 58 – 4 = 54 : somme de la troisième colonne. On fait : 54 – 4 = 50 : somme de la deuxième colonne. On fait : 50 – 4 = 46 : somme de la première colonne.

# 4339          8 mai 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer le quotient quand on divise un triangulaire par un carré de même rang, sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On additionne 1 au rang : c’est le numérateur de la fraction.

• On multiplie le rang par 2 : c’est le dénominateur de la fraction.

• On simplifie la fraction au besoin.

Soit à calculer le quotient du triangulaire de rang 9 et du carré de même rang. On fait : 9 + 1 = 10, 9 × 2 = 18. La fraction est 10/18. En simplifiant, on obtient 5/9. En effet, le triangulaire de rang 9 est 45, le carré de même rang est 81 et 45/81 = 5/9.

# 4338          8 mai 2018

Nombres hexagonaux

Comment trouver la différence de deux hexagonaux successifs à partir du rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

Soit un hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 4 = 28 et 28 + 1 = 29. La différence du nombre hexagonal de rang 8 et celui de rang 7 est 29. En effet, le nombre hexagonal de rang 7 est 91 et celui de rang 8 est 120. Puis, 120 – 91 = 29.

# 4337          8 mai 2018

Nombres polygonaux

Comment obtenir un nombre polygonal d’un rang donné ?

Étapes (Bachet)

• On détermine le nombre de côtés du polygone correspondant au nombre.

• On choisit le rang du nombre polygonal.

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par le rang du polygonal. On note le résultat.

• On soustrait 4 au nombre de côtés.

• On soustrait ce résultat à celui qui a été noté.

• On multiplie par le rang du polygonal.

• On divise par 2.

Soit à trouver un nombre pentagonal (5 côtés) de rang 7. On fait : 5 – 2 = 3, 3 × 7 = 21, 5 – 4 = 1 et 21 – 1 = 20. On fait : 20 × 7 = 140 et 140 ÷ 2 = 70. Le nombre pentagonal de rang 7 est 70.

# 4336          8 mai 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et le premier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement le dernier élément de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 4, 12 et 17. On écrit : 4² + 12² + 17² = 449. On choisit 5, 10 et 18. On écrit : 5² + 10² + 18² = 449. L’égalité est : 4² + 12² + 17² = 5² + 10² + 18².

# 4319          26 avril 2018

Plus grand diviseur

Comment trouver le plus grand diviseur d’un nombre donné ?

Étapes

• On trouve le plus petit diviseur.

• On divise le nombre donné par le plus petit diviseur : c’est le plus grand diviseur.

Soit à trouver le plus grand diviseur de 135. Le plus petit diviseur est 3. On fait : 135 ÷ 3 = 45. Le plus grand diviseur de 135 est 45.

# 4318          26 avril 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer le produit d’un carré et d’un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On élève le rang à la quatrième puissance.

• On élève le rang au cube.

• On additionne les deux résultats

• On divise par 2.

Soit à calculer le produit du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7⁴ = 2401, 7³ = 343, 2401 + 343 = 2744 et 2744 ÷ 2 = 1372. En effet, le carré de rang 7 est 49 et le triangulaire de même rang est 28. Or, 49 × 28 = 1372.

# 4317          26 avril 2018

Nombres hexagonaux

Sachant qu’un nombre est hexagonal et connaissant son rang, comment trouver son successeur ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

• On additionne l’hexagonal donné.

Soit 120 l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 4 = 32, 32 + 1 = 33 et 33 + 120 = 153. Le successeur de 120 est 153.

# 4316          26 avril 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des lignes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de chaque ligne de la grille.

• On soustrait 6.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16, 16 – 6 = 10 : somme de la première ligne. On fait : 11 × 4 = 44, 44 – 6 = 38 : somme de la deuxième ligne. On fait : 18 × 4 = 72, 72 – 6 = 66 : somme de la troisième ligne. On fait : 25 × 4 = 100, 100 – 6 = 94 : somme de la quatrième ligne.

# 4299          17 avril 2018

Plus grand diviseur

Un diviseur d’un nombre pair étant donné, comment savoir si ce diviseur est le plus grand ?

Étapes

• On multiplie le diviseur par 2.

• Si le résultat est égal au nombre qui est divisé, ce diviseur est le plus grand.

• Si le résultat n’est pas égal au nombre qui est divisé, ce diviseur n’est pas le plus grand.

Soit 15 un diviseur de 30, le nombre 15 est-il le plus grand diviseur ? On fait : 15 × 2 = 30. Le nombre 15 est le plus grand diviseur.

Soit 48 un diviseur de 144, le nombre 48 est-il le plus grand diviseur ? On fait : 48 × 2 = 96. Le nombre 48 n’est pas le plus grand diviseur.

# 4298          17 avril 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer la différence entre un carré et un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

Soit à calculer la différence entre le carré de rang 7 et le triangulaire de même rang. On fait : 7 × 6 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. En effet, le carré de rang 7 est 49 et le triangulaire de même rang est 28. Or, 49 – 28 = 21. La différence est 21.

# 4297          17 avril 2018

Nombres pentagonaux

Comment trouver la différence de deux pentagonaux successifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 3.

• On additionne 1.

Soit un pentagonal de rang 7. On fait : 7 × 3 = 21 et 21 + 1 = 22. La différence du pentagonal de rang 8 et celui de rang 7 est 22.

# 4296          17 avril 2018

Nombres hexagonaux

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ?

Étapes

• On extrait la racine carrée.

• Du nombre, on trouve les deux facteurs qui entourent la racine.

• On prend le plus petit facteur qui est le rang de l’hexagonal.

Soit l’hexagonal 153. On fait : √153 = 12,4. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 9 et 17. Le nombre 153 est un hexagonal de rang 9.

# 4274           7 avril 2018

Différence de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs quand on connaît seulement le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 2 le rang connu.

• On additionne 3.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 × 2 = 18 et 18 + 3 = 21. La différence est 21. En effet, le triangulaire de rang 11 (66) moins celui de rang 9 (45) est 21.

# 4273           7 avril 2018

Nombres pentagonaux

Comment trouver la somme de deux pentagonaux successifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On élève le rang connu au carré.

• On multiplie par 3.

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On additionne 1.

Soit un pentagonal de rang 5. On fait : 5² = 25 et 25 × 3 = 75. On fait : 5 × 2 = 10. On fait : 75 + 10 = 85 et 85 + 1 = 86. La somme du pentagonal de rang 5 et celui de rang 6 est 86.

# 4272           7 avril 2018

Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Du nombre, on trouve les deux facteurs qui entourent la racine.

• On multiplie le plus petit facteur par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le plus petit facteur.

• Si le résultat est égal au nombre initial, ce nombre est hexagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à trouver si 190 est un hexagonal. On fait : √190 = 13,78. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 10 et 19. On fait : 10 × 2 = 20, 20 – 1 = 19 et 19 × 10 = 190. Le nombre 190 est hexagonal.

Soit à trouver si 240 est un hexagonal. On fait : √240 = 15,49. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 15 et 16. On fait : 15 × 2 = 30, 30 – 1 = 29 et 29 × 15 = 435. Le nombre 240 n’est pas hexagonal.

# 4271           7 avril 2018

Aiguilles superposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont superposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11 : la partie entière correspond aux minutes.

• On multiplie la fraction par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11 et 4/11 × 60 = 21,81. Ayant arrondi, on obtient 22. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 16 minutes et 22 secondes.

# 4254           25 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui diffèrent de deux rangs sans connaître les triangulaires et ce, à partir de 1 ?

Étapes

• On additionne 1 au rang du plus grand.

• On additionne 3 au rang du plus grand.

• On multiplie par 2 le rang du plus grand.

• On additionne 1.

• On multiplie les résultats, sauf celui de la troisième ligne.

• On divise par 24.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 1, 3, 5 et 7. On fait : 7 + 1 = 8, 7 + 3 = 10, 7 × 2 = 14 et 14 + 1 = 15. On fait : 8 × 10 × 15 = 1200 et 1200 ÷ 24 = 50. La somme est 50.

# 4253           25 mars 2018

Nombres pentagonaux

Sachant qu’un nombre est pentagonal et connaissant son rang, comment trouver son successeur ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On additionne le pentagonal donné.

Soit 51 le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 + 1 = 19 et 19 + 51 = 70. Le successeur de 51 est 70.

# 4252           25 mars 2018

Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat n’est pas un entier, le nombre donné n’est pas hexagonal.

• Si le résultat est un entier, on divise la racine par 4.

• Si le reste est 3, le nombre donné est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 77 est-il hexagonal ? On fait : 77 × 8 = 616, 616 + 1 = 617 et √617 = 24,8. Le nombre 77 n’est pas hexagonal.

Le nombre 120 est-il hexagonal ? On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 ÷ 4 = 7 reste 3. Le nombre 120 est hexagonal.

# 4251           25 mars 2018

Carrés magiques d’ordre 3

Comment former un carré magique d’ordre 3 quand on connaît seulement trois de ses éléments ?

Étapes

• On place le premier élément au centre de la première ligne.

• On place le deuxième élément dans le coin inférieur droit.

• On place le troisième élément dans le coin inférieur gauche.

• On soustrait le premier nombre donné du troisième.

• On additionne le deuxième nombre donné : c’est l’élément du centre.

• On multiplie l’élément du centre par 3 : c’est la somme des éléments dans chaque rangée.

• On complète par rapport à la somme trouvée.

Soit 5, 8 et 12 les trois éléments connus. On place les trois éléments dans le carré. On fait 12 – 5 = 7, 7 + 8 = 15 et 15 × 3 = 45. On obtient ce carré magique.

# 4229           15 mars 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 4 à m.

• On soustrait 4 à n.

• On multiplie des deux résultats précédents.

Soit à trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire 12 × 15. On fait : 12 – 4 = 8, 15 – 4 = 11 et 8 × 11 = 88. Le nombre de carrés est 88.

# 4228           15 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs sans connaître les deux triangulaires ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par 4.

• On élève ce rang au carré.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 6.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 8 et 11. On fait : 8 × 4 = 32 et 8² = 64. On fait : 32 + 64 = 96 et 96 + 6 = 102. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 11 (66) est 102.

# 4227           15 mars 2018

Différence de carrés

Comment trouver la différence des carrés de deux triangulaires consécutifs connaissant leurs bases ?

Étape

• On élève au cube la base du plus grand triangulaire.

Soit à trouver la différence de 5^D (triangulaire de rang 5) au carré et de 4^D (triangulaire de rang 4) au carré. On fait : 5³ = 125. La différence est 125. En effet, 5^D = 15 et 15² = 225. De plus, 4^D = 10 et 10² = 100. On fait : 225 – 100 = 125.

# 4226           15 mars 2018

Nombres pentagonaux

Comment savoir si un nombre donné est pentagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est pentagonal. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 51 est-il pentagonal ? On fait : 51 × 24 = 1224 et 1224 + 1 = 1225. Le nombre 1225 est un carré, celui de 35. Donc, 51 est pentagonal.

Le nombre 120 est-il pentagonal ? On fait : 120 × 24 = 2880 et 2880 + 1 = 2881. Le nombre 2881 n’est pas un carré. Donc, 120 n’est pas pentagonal.

# 4204            5 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs sans connaître les triangulaires ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par 3.

• On élève le même rang au carré.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 3.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 8 et 10. On fait : 8 × 3 = 24 et 8² = 64. On fait : 24 + 64 = 88 et 88 + 3 = 91. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 10 (55) est 91.

# 4203            5 mars 2018

Différence de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étape

• On additionne 1 au rang du plus petit.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 + 1 = 10. La différence est 10. En effet, le triangulaire de rang 10 (55) moins celui de rang 9 (45) est 10.

# 4202           5 mars 2018

Produit de deux triangulaires

Comment calculer le produit de deux triangulaires consécutifs dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On élève au carré le rang suivant du plus petit.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On additionne 2 au rang du plus petit.

• On multiplie la somme par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 4.

Soit à calculer le produit des triangulaires de rangs 6 et 7. On fait : 7² = 49 et 49 × 6 = 294. On fait : 6 + 2 = 8, 294 × 8 = 2352 et 2352 ÷ 4 = 588. Le produit est 588. En effet, le triangulaire de rang 6 est 21, celui de rang 7 est 28 et 21 × 28 = 588.

# 4201            5 mars 2018

Nombres hexagonaux

Comment obtenir un hexagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang donné par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par  le rang donné.

Soit à trouver l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 2 = 16, 16 – 1 = 15 et 15 × 8 = 120. L’hexagonal de rang 8 est 120.

# 4179            23 février 2018

Terme d’un rang donné

Comment trouver le terme d’un rang donné dans la suite 1, 3, 7, 14, 25, 41, 63 … ?

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On additionne 5.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 6.

Soit à trouver le terme de rang 11. On fait : 11 × 11 = 121, 121 + 5 = 126. On fait : 126 × 11 = 1386 et 1386 ÷ 6 = 231.

# 4178            23 février 2018

Nombres triangulaires

Comment trouver un nombre triangulaire élevé au carré ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par le suivant.

• On divise par 2.

• On élève au carré.

• On élève au cube le nombre suivant de celui choisi.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On extrait la racine carrée.

Soit 6 le nombre choisi. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 21² = 441. On fait : 7³ = 343, 441 + 343 = 784 et √784 = 28. Le nombre 784 est le carré de 28 qui est un nombre triangulaire.

# 4177            23 février 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires consécutifs quand on connaît les rangs des triangulaires ?

Étapes

• On prend le plus grand rang.

• On élève au carré.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 9² = 81. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 9 (45) est 81.

# 4176            23 février 2018

Nombres pentagonaux

Comment obtenir un pentagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang donné.

• On divise par 2.

Soit à trouver le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 – 1 = 17. On fait : 17 ×  6 = 102 et 102 ÷ 2 = 51. Le pentagonal de rang 6 est 51.

# 4149            11 février 2018

Différence de puissances

Ayant additionné deux nombres élevés au cube et au carré, comment trouver leur différence sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie la plus petite base par elle-même.

• On multiplie par la base inférieure à la plus petite.

• On multiplie la plus grande base par elle-même.

• On multiplie par la base inférieure à la plus grande.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à soustraire la somme de 7³ et de 3³ et la somme de 7² et de 3². On fait : 3 × 3 = 9 et 9 × 2 = 18. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 × 6 = 294. On fait : 294 + 18 = 312. La différence est 312.

# 4148            11 février 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme des termes d’une suite de carrés consécutifs qui commence par 1 et dont le rang du dernier nombre est donné ?

Étapes

• On multiplie le rang, son successeur et la somme des deux rangs.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 9 premiers nombres de la suite 1, 4, 9, 16, 25, ...  On fait : 9 × 10 × 19 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. La somme est 285.

# 4147            11 février 2018

Carrés et triangulaires

Comment trouver un carré à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait la partie entière du résultat de la deuxième ligne.

Le triangulaire choisi est 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48 et 56 – 7 = 49. Le nombre 49 est un carré. Il est de même rang que le triangulaire.

# 4146            11 février 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement le premier élément de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et le dernier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 3, 12 et 18. On écrit : 3² + 12² + 18² = 477. On choisit 4, 10 et 19. On écrit : 4² + 10² + 19² = 477. Le résultat est : 3² + 12² + 18² = 4² + 10² + 19².

# 4129            3 février 2018

Double suite

Comment trouver le terme de rang donné d’une suite qui commence par 1 et dont la raison est la suite des nombres consécutifs à partir de 1 ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver le terme de rang 12 de la suite : 1, 2, 4, 7, 11, 16, … On fait : 12 × 11 = 132, 132 ÷ 2 = 66 et 66 + 1 = 67. Le terme de rang 12 est 67.

# 4128            3 février 2018

Différence de sommes

Comment trouver la différence de la somme de deux cubes et des deux bases sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le premier nombre.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le deuxième nombre.

• On additionne le résultat de la troisième ligne.

Soit à soustraire la somme de 3³ et de 7³ et la somme de 3 et de 7. On fait : 3 × 3 = 9, 9 – 1 = 8 et 8 × 3 = 24. On fait : 7 × 7 = 49, 49 – 1 = 48 et 48 × 7 = 336. On fait : 336 + 24 = 360. La différence est 360.

# 4127            3 février 2018

Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 2.

• On additionne 0,25.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240 et 240 + 0,25 = 240,25. On fait : √240,25 = 15,5 et 15,5 – 0,5 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

# 4126            3 février 2018

Carré d’un triangulaire

Comment trouver le carré d’un triangulaire dont on connaît seulement le rang ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On élève le rang suivant au carré.

• On multiplie les deux résultats.

• On divise par 4.

Soit à trouver le carré du triangulaire de rang 4. On fait : 4² = 16, 5² = 25 et 16 × 25 = 400. On fait : 400 ÷ 4 = 100. Le triangulaire de rang 4 est 10. Son carré est 100.

# 4104            24 janvier 2018

Somme de carrés et de cubes

Comment trouver la somme de deux nombres élevés au carré et au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre qui suit le premier.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre qui suit le deuxième.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à additionner 5² et 8², de même que 5³ et 8³. On fait : 5 × 5 = 25 et 25 × 6 = 150. On fait : 8 × 8 = 64 et 64 × 9 = 576. On fait : 576 + 150  = 726. La somme est 726.

# 4103            24 janvier 2018

Conversion en chiffres romains

Comment transposer un nombre arabe en chiffres romains ?

Étapes

• On décompose le nombre en multiples d’une puissance de 10.

• On fait correspondre les chiffres romains en regard de chaque nombre.

Soit à transposer 1743 en chiffres romains. On écrit : 1000 + 700 + 40 + 3. On écrit : M, DCC, XL et III. Le nombre romain est MDCCXLIII.

# 4102            24 janvier 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme d’une suite de carrés consécutifs dont on connaît le rang du premier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On additionne le rang du premier terme et le nombre de termes.

• On soustrait 1.

• On multiplie ce nombre, son successeur et la somme des deux nombres.

• On soustrait 1 au rang du premier terme.

• On multiplie ce nombre, son successeur et la somme des deux nombres.

• On soustrait le résultat de la troisième ligne.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme de cinq carrés consécutifs à partir du septième carré dans la suite 1, 4, 9, 16, 25, .... On fait : 7 + 5 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 × 12 × 23 = 3036. On fait : 7 – 1 = 6, 6 × 7 × 13 = 546. On fait : 3036 – 546 = 2490 et 2490 ÷ 6 = 415. La somme des carrés est 415.

# 4101            24 janvier 2018

Nombres triangulaires

Comment savoir si un nombre donné est triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 40 est-il triangulaire ? On fait : 40 × 8 = 320, 320 + 1 = 321 et √321 = 17,9. Le nombre 40 n’est pas triangulaire.

Le nombre 91 est-il triangulaire ? On fait : 91 × 8 = 728, 728 + 1 = 729 et √729 = 27. Le nombre 91 est triangulaire.

# 4079            14 janvier 2018

Reste de la division par 99

Comment obtenir le reste d’une division par 99 sans effectuer de division ?

Étapes

• On retient le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• À partir de la droite vers la gauche, en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les chiffres de rangs impairs.

• Toujours en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les autres chiffres et on multiplie le résultat par 10.

• On additionne les trois résultats.

• Si la somme est égale ou supérieure à 99, on soustrait 99 jusqu’à ce qu’on obtienne un nombre inférieur à 99.

Soit 746 823 ÷ 99. On retient 23. On fait : 8 + 4 = 12,  6 + 7 = 13 et 13 × 10 = 130. On fait : 23 + 12 + 130  = 165 et 165 – 99 = 66. Le reste de la division est 66.

Soit 6 498 127 ÷ 99. On retient 27. On fait : 1 + 9 + 6 = 16, 8 + 4 = 12 et 12 × 10 = 120. On fait : 27 + 16 + 120 = 163 et 163 – 99 = 64. Le reste de la division est 64.

# 4078            14 janvier 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs dont on connait seulement le plus petit ?

Étapes

• On choisit un carré qui est le plus petit.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne les deux résultats.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

Soit le carré 49. On fait : √49 = 7 et 49 + 7 = 56. Om fait : 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. La somme des deux carrés est 113.

# 4077            14 janvier 2018

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On soustrait 1.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus grande base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 6³ – 5³. On fait : 6 + 5 = 11, 11 – 1 = 10 et 10² = 100. On fait : 100 + 10 = 110 et 110 ÷ 2 = 55. On fait : 6² = 36 et 55 + 36 = 91. La différence des deux cubes est 91.

# 4076            14 janvier 2018

Conversion en binaire

Comment convertir un nombre arabe en binaire ?

Étapes

• On divise le nombre par 2. On note le reste.

• On divise successivement le quotient par 2. On note les restes.

• On forme un nombre en écrivant les restes à partir de la fin.

Soit à convertir 53 en binaire. On fait : 53 ÷ 2 = 26 reste 1, 26 ÷ 2 = 13 reste 0, 13 ÷ 2 = 6 reste 1, 6 ÷ 2 = 3 reste 0, 3 ÷ 2 = 1 reste 1 et 1 ÷ 2 = 0 reste 1. Les restes successifs sont 1, 0, 1, 0, 1, 1. Le nombre binaire est 110 101.

# 4044            10 décembre 2017

Quatre carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre : c’est la base du premier carré.

• On additionne 1 : c’est la base du deuxième carré.

• On multiplie le nombre choisi et le suivant : c’est la base du troisième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du quatrième carré.

Soit 7 le nombre choisi : c’est la base d’un premier carré. On fait : 7 + 1 = 8 : c’est la base du deuxième carré. On fait 7 × 8 = 56 : c’est la base du troisième carré. On fait : 56 + 1 = 57 : c’est la base du quatrième carré. L’égalité est : 7² + 8² + 56² = 57².

# 4043            10 décembre 2017

Multiples de 37

Comment trouver un multiple de 37 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On compose des tranches de trois chiffres. Ces tranches sont formées par trois chiffres identiques ou encore un multiple de 37. Dans ce dernier cas, on ajoute un 0 lorsque requis pour avoir une tranche de trois chiffres.

• On dispose les tranches comme on le veut.

Les nombres suivants sont divisibles par 37 : 111 074 148, 222 555 185, 259 296 370.

# 4042            10 décembre 2017

Division par 99

Soit un nombre de cinq chiffres divisible par 99, comment trouver le quotient de ce nombre quand on le divise par 99 sans effectuer de division ?

Étapes

• Si l’unité du dividende est 0, l’unité du quotient est 0.

• On additionne 1 aux deux premiers chiffres du dividende.

• On place le résultat devant 0.

• Si l’unité du dividende n’est pas 0, on soustrait de 10 l’unité du dividende : c’est l’unité du quotient.

• On place les deux premiers chiffres du dividende devant l’unité du quotient.

Soit à diviser 51 480 par 99. L’unité du quotient est 0. On fait 51 + 1 = 52.  Le quotient est 520.

Soit à diviser 54 252 par 99. On fait : 10 – 2 = 8 : c’est l’unité du quotient. Les deux premiers chiffres du dividende sont 54.  Le quotient est 548.

# 4041            10 décembre 2017

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la première ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus petite base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 7³ – 6³. On fait : 7 + 6 = 13, 13² = 169, 169 + 13 = 182 et 182 ÷ 2 = 91. On fait : 6² = 36 et 91 + 36 = 127. La différence des deux cubes est 127.

# 4014            28 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 5 ?

Étapes

• On choisit un multiple impair de 5 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 10.

• On additionne 2,5 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 5 : c’est la base du deuxième carré.

Par exemple, on choisit 25 : c’est la base du premier carré. On fait : 25² = 625, 625 ÷ 10 = 62,5 et 62,5 + 2,5 = 65 : c’est la base du troisième carré. On fait : 65 – 5 = 60 : c’est la base du deuxième carré. On peut écrire : 25² + 60² = 65².

# 4013            28 novembre 2017

Somme de nombres et de cubes

Comment trouver la somme de deux nombres et de leurs cubes sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le premier nombre. (*)

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le deuxième nombre. (*)

• On additionne les résultats des lignes marquées d’un astérisque.

Soit à additionner 5 et 8, de même que 5³ et 8³. On fait : 5 × 5 = 25, 25 + 1 = 26 et 26 × 5 = 130. On fait : 8 × 8 = 64, 64 + 1 = 65 et 65 × 8 = 520. On fait : 130 + 520 = 650. La somme est 650.

# 4012            28 novembre 2017

Différence de produits

Comment trouver la différence des produits de deux nombres de deux chiffres dont les unités sont interverties et dont les dizaines demeurent les mêmes ?

Étapes

• On soustrait les unités.

• On soustrait les dizaines.

• On multiplie les deux résultats.

• On ajoute un zéro à la fin.

Soit à trouver la différence de 36 × 84 et de 34 × 86. On fait : 6 – 4 = 2 et 8 – 3 = 5. On fait : 2 × 5 = 10. On ajoute un 0 : cela donne 100. La différence est 100.

# 4011            28 novembre 2017

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme d’une suite de carrés consécutifs à partir de 1 dont on connaît le nombre de termes ?

Étapes

• On multiplie le nombre de termes donné par son successeur.

• On additionne les deux nombres précédents.

• On multiplie par le résultat de la première ligne.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 10 plus petits carrés dans la suite 1, 4, 9, 16, 25, ... On fait : 10 × 11 = 110 et 10 + 11 = 21. On fait : 21 × 110 = 2310 et 2310 ÷ 6 = 385. La somme est 385.

# 3994            20 novembre 2017

Reste de la division par 13

Comment trouver le reste de la division par 13 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On écrit la dizaine de mille.

• On multiplie l’unité de mille par 4.

• On multiplie la centaine par 3.

• On additionne les trois résultats.

• On multiplie par 3.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 13 qui est égal ou immédiatement inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 93 520 par 13. On écrit 9. On fait : 3 × 4 = 12, 5 × 3 = 15. On fait : 9 + 12 + 15 = 36, 36 × 3 = 108 et 108 + 20 = 128. On fait : 128 – 117 = 11. Le reste est 11.

# 3993            20 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 4 ?

 Étapes

• On choisit un multiple de 4 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré. 

• On soustrait 16.

• On divise par 8 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 4 : c’est la base du troisième carré.

On choisit 16 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 16² = 256, 256 – 16 = 240 et 240 ÷ 8 = 30 : c’est la base d’un deuxième carré. On fait : 30 + 4 = 34 : c’est la base du troisième carré. L’égalité est : 16² + 30² = 34².

# 3992            20 novembre 2017

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On multiplie par la plus grande.

• On élève au carré la plus petite base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 6³ – 5³. On fait : 6 + 5 = 11, 11 × 6 = 66. On fait : 5² = 25 et 66 + 25 = 91. La différence des deux cubes est 91.

# 3991            20 novembre 2017

Suites de termes

Comment insérer un certain nombre de termes dans une suite dont on connaît le premier et le dernier terme ?

Étapes

• On soustrait les deux termes.

• On additionne 1 au nombre donné de termes.

• On divise le résultat de la première ligne par celui de la deuxième ligne.

• On additionne successivement le résultat à partir du premier terme.

Soit à insérer trois termes entre 2 et 14. On fait : 14 – 2 = 12, 3 + 1 = 4 et 12 ÷ 4 = 3. On fait : 2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8 et 8 + 3 = 11. Les trois termes à insérer sont 5, 8 et 11.

# 3969            10 novembre 2017

Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division par 11 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On ajoute un zéro à la fin de l’unité de mille.

• On additionne le résultat, la dizaine de mille, la centaine et le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 11 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 11 de 82 519. On ajoute un 0 à 2, ce qui donne 20. On fait : 20 + 8 + 5 + 19 = 52 et 52 – 44 = 8. Le reste est 8.

# 3968             10 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 4 ?

Étapes

• On choisit un multiple de 4 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 8.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 4 : c’est la base du deuxième carré.

On choisit 20 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 20² = 400, 400 ÷ 8 = 50 et 50 + 2 = 52 : c’est la base du troisième carré. On fait : 52 – 4 = 48 : c’est la base du deuxième carré. L’égalité est : 20² + 48² = 52².

# 3967             10 novembre 2017

En puissances

Comment trouver la somme d’un nombre et de ses puissances 2, 3 et 4 sans élever au cube et à la quatrième puissance ?

Étapes

• On additionne 1 au nombre de départ.

• On additionne 1 au carré du nombre de départ.

• On multiplie les deux résultats.

• On multiplie par le nombre de départ.

Soit à faire la somme de 5, 5², 5³ et 5⁴. On fait : 5 + 1 = 6 et 1 + 25 = 26. On fait : 6 × 26 = 156 et 156 × 5 = 780. La somme est 780.

# 3966             10 novembre 2017

Conversion d’un nombre décimal

Comment convertir un nombre décimal en binaire ?

Étapes

• On additionne les puissances de 2 qui donnent le nombre décimal.

• On écrit à nouveau le résultat en remplaçant par 0 une puissance non dans la liste.

• On remplace chaque nombre qui n’est pas 0 par 1.

Soit à convertir 53 en binaire. On écrit : 53 = 32 + 16 + 4 + 1, puis 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1. On obtient 110 101. Le nombre 53 est 110 101 dans le système binaire.

# 3949             2 novembre 2017

Preuve par 9

Comment vérifier si un produit est exact ?

Étapes

• On additionne les chiffres du multiplicande.

• On additionne les chiffres du multiplicateur.

• On multiplie les deux résultats.

• On divise par 9 en retenant le reste.*

• On additionne les chiffres du produit.

• On divise par 9 en retenant le reste.*

• Si les restes des lignes marquées par un astérisque sont identiques, le produit semble exact. Dans le cas contraire, il y a erreur.

Après avoir trouvé que le produit de 465 et 213 est 99 235, on fait : 4 + 6 + 5 = 15 et 2 + 1 + 3 = 6. On fait : 15 × 6 = 90 et 90 ÷ 9 = 10 reste 0. On fait : 9 + 9 + 2 + 3 + 5 = 28 et 28 ÷ 9 = 3 reste 1. Les restes ne sont pas identiques. D’où, il y a erreur. En réalité, le produit est 99 045.

Note. Ce truc est fiable seulement si on a fait une erreur sur un seul chiffre.

# 3948             2 novembre 2017

Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 11  sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les chiffres de rang impair à partir de la droite.

• On additionne les chiffres de rang pair.

• On soustrait les deux sommes. Si le résultat est négatif, on additionne 11 ou 22.

Soit le nombre 87 469. On fait : 9 + 4 + 8 = 21, 6 + 7 = 13 et 21 – 13 = 8. Le reste de la division par 11 de 87 469 est 8.

Soit le nombre 27 164. On fait : 4 + 1 + 2 = 7, 6 + 7 = 13 et 7 – 13 = -6. On fait : -6 + 11 = 5. Le reste de la division par 11 de 27 164 est 5.

# 3947             2 novembre 2017

Multiplication de deux carrés

Comment trouver le produit de deux carrés dont les racines diffèrent de trois rangs sans se servir du plus grand carré ?

Étapes

• On additionne 6 à la racine du plus petit carré.

• On multiplie le plus petit carré par sa racine.

• On multiplie les deux résultats.

• On additionne le dernier résultat et celui de la deuxième ligne.

Soit à multiplier 81 et 144. La racine du premier carré est 9 et celle du deuxième est 12, soit une différence de 3. On fait : 9 + 6 = 15, 81 × 9 = 729, 729 × 15 = 10 935. On fait : 10 935 + 729 = 11 664. Le produit des carrés de 9 et de 12 est 11 664.

# 3946             2 novembre 2017

Des allumettes

Comment trouver le nombre d’allumettes nécessaires pour construire une grille m × n ?

Étapes

• On multiplie m par (n + 1).

• On multiplie n par (m + 1).

• On additionne les deux résultats.

Pour une grille 4 × 6, on fait 4 × 7 = 28,  6 × 5 = 30 et 28 + 30 = 58. On a besoin de 58 allumettes pour construire une grille 4 × 6.

# 3924               23 octobre 2017

Reste de la division par 8

Comment obtenir le reste de la division par 8 sans effectuer la division au long ?

Étapes

• On décompose le nombre selon sa valeur de position.

• On trouve le reste de la division par 8 pour chacun des nombres.

• On additionne les restes.

• Si la somme est égale ou supérieure à 8, on soustrait 8 autant de fois que nécessaire pour arriver à un nombre inférieur à 8 : c’est le reste.

Soit à trouver le reste de 3477 ÷ 8. On fait : 3000 + 400 + 70 + 8. Le reste pour 3000 est 0. Le reste pour 400 est 0. Le reste pour 70 est 6. Le reste pour 7 est 7. On fait : 0 + 0 + 6 + 7 = 13 et 13 – 8 = 5. Le reste de la division est 5.

# 3923               23 octobre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 3 ?

 Étapes

• On choisit un multiple de 3 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré. 

• On soustrait 9.

• On divise par 6 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 3 : c’est la base du troisième carré.

On choisit 21 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 21² = 441, 441 – 9 = 432 et 432 ÷ 6 = 72 : c’est la base d’un deuxième carré. On fait : 72 + 3 = 75 : c’est la base du troisième carré. L’égalité est : 21² + 72² = 75².

# 3922               23 octobre 2017

Terme de rang d’une suite
Comment trouver un terme de rang donné dans une suite dont la différence est identique entre chaque nombre voisin ?

Étapes

• On trouve la différence entre chaque nombre voisin.

• On écrit cinq nombres sur une première ligne.

• On écrit le terme suivant sur la deuxième ligne.

• On trouve la différence entre les deux premiers termes des deux lignes.

• On additionne successivement ce résultat aux nombres de la première colonne.

• On additionne la différence entre chaque nombre voisin pour atteindre le rang donné.

Soit à trouver le 19^e terme de la suite 4, 7, 10, 13, … La différence entre chaque nombre voisin est 3. On écrit les cinq premiers termes sur la première ligne. On écrit 19 au début de la deuxième ligne. On fait : 19 – 4 = 15. On additionne successivement 15 dans la première colonne : ce qui donne 4, 19, 34, 49. On fait 49 + 3 + 3 + 3 = 58. Le 19^e terme est 58. Voici le tableau :

                                                 4   7  10  13 16

                                              19 ……….............

                                              34 ……….............

                                              49 ……….............

# 3921               23 octobre 2017

Nombres triangulaires

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On additionne le rang

• On divise par 2.

Soit à trouver le triangulaire de rang 11. On fait : 11² = 121, 121 + 11 = 132 et 132 ÷ 2 = 66. Le triangulaire de rang 11 est 66.

# 3904               15 octobre 2017

Divisibilité par 15

Comment savoir si un nombre est divisible par 15 sans effectuer de division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• Si le dernier chiffre n’est pas 0 ou 5, il n’est pas divisible.

• Si le dernier chiffre est 0 ou 5, on additionne les chiffres sauf le dernier.

• On multiplie par 10.

• On additionne le dernier chiffre.

• Si la somme est un multiple de 15, le nombre est divisible par 15. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 1325 est-il divisible par 15 ? On fait : 1 + 3 + 2 = 6, 6 × 10 = 60 et 60 + 5 = 65. Comme 65 n’est pas un multiple de 15, le nombre 1325 n’est pas divisible par 15.

# 3903               15 octobre 2017

Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division par 7 d’un nombre de trois chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On soustrait un nombre qui est un multiple de 100 immédiatement inférieur au résultat.

• On multiplie la centaine du nombre initial par 2.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit le nombre 478. On fait : 478 – 400 = 78, 4 × 2 = 8 et 78 + 8 = 86. On fait : 86 – 84 = 2. Le reste est 2.

# 3902               15 octobre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 3 ?

Étapes

• On choisit un multiple impair de 3 : c’est la base d’un premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 6.

• On additionne 1,5 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 3 : c’est la base d’un deuxième carré.

On choisit 15 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 15² = 225, 225 ÷ 6 = 37,5 et 37,5 + 1,5 = 39 : c’est la base du troisième carré. On fait : 39 – 3 = 36 : c’est la base d’un deuxième carré. L’égalité est : 15² + 36² = 39².

# 3901               15 octobre 2017

Somme de deux carrés

Comment savoir si un nombre premier est la somme de deux carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre premier.

• On divise le nombre par 4.

• Si la décimale est 0,25, le nombre est la somme de deux carrés.

Le nombre 61 est-il la somme de deux carrés ? On fait : 61 ÷ 4 = 15,25. Le nombre 61 est la somme de deux carrés. On peut écrire : 5² + 6² = 61.

# 3849               23 septembre 2017

Divisibilité par 18

Comment savoir si un nombre est divisible par 18 sans effectuer de division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• Si la somme est un multiple de 6, le nombre est divisible par 18. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 12 604 est-il divisible par 18 ? On fait : 1 + 2 + 6 + 0 = 9, 9 × 4 = 36 et 36 + 4 = 40. Comme 40 n’est pas un multiple de 6, le nombre 12 604 n’est pas divisible par 18.

# 3848                23 septembre 2017

Reste de la division par 6

Comment obtenir le reste de la division par 6 sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les premiers chiffres, sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• On soustrait le multiple de 6 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de 6539 quand on divise par 6. On fait : 6 + 5 + 3 = 14, 14 × 4 = 56 et 56 + 9 = 65. On fait : 65 – 60 = 5. Le reste est 5.

# 3847                23 septembre 2017

Reste de la division par 14

Comment trouver le reste de la division par 14 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie la dizaine de mille par 2.

• On multiplie l’unité de mille par 3.

• On additionne les deux résultats et la centaine.

• On multiplie par 2.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 14 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 14 de 54 721. On fait : 5 × 2 = 10, 4 × 3 = 12. On fait : 10 + 12 + 7 = 29, 29 × 2 = 58 et 58 + 21 = 79. On fait : 79 – 70 = 9. Le reste est 9.

# 3846                23 septembre 2017

Terme général d’une suite

Comment trouver le terme général d’une suite arithmétique dont on connaît les deux premiers termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre les deux premiers termes.

• On multiplie par n qui correspond au rang du terme général.

• Du premier terme, on soustrait le résultat de la première ligne.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à établir la règle de la suite 1, 3, 5, 7, 9, ... dont n est le rang du terme. La différence est 2. On multiplie 2 par n, ce qui donne 2n. On fait 1 – 2 = -1 et 2n + (-1) = 2n – 1. Le terme général est (2n – 1). En effet, si on remplace successivement n par 1, 2, 3, 4, …, on obtient 1, 3, 5, 7, 9, ...

# 3814                7 septembre 2017

Multiples de 25

Comment trouver un multiple de 25 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute 00, 25, 50 ou 75 à la fin du nombre.

On choisit 369. Par exemple, on ajoute 75. Le nombre 36 975 est un multiple de 25.

# 3813                7 septembre 2017

Divisibilité par 9

Comment savoir si un nombre est divisible par 9 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres.

• Si la somme est égale ou supérieure à 9, on soustrait le multiple de 9 qui est égal ou inférieur au résultat.

• Si le résultat est 0, le nombre est divisible par 9. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 46 287 est-il divisible par 9 ? On fait : 4 + 6 + 2 + 8 + 7 = 27, 27 – 27 = 0. Comme le reste est 0, le nombre 46 287 est divisible par 9.

Le nombre 31 254 est-il divisible par 9 ? La somme des chiffres est 15. On fait : 15 – 9 = 6. Le nombre 31 254 n’est pas divisible par 9.

# 3812                7 septembre 2017

Reste de la division par 8

Comment obtenir le reste de la division par 8 d’un nombre sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie la centaine par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne le dernier chiffre.

• On soustrait le multiple de 8 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de 6589. On fait : 5 × 4 = 20 et 8 × 2 = 16. On fait : 20 + 16 = 36 et 36 + 9 = 45. On fait : 45 – 40 = 5. Le reste est 5.

# 3811                7 septembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 2 ?

 Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est la base d’un premier carré.

• On élève ce nombre au carré. 

• On soustrait 4.

• On divise par 4 : c’est la base d’un deuxième carré.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré.

On choisit 14 : c’est la base d’un premier carré. On fait : 14² = 196, 196 – 4 = 192 et 192 ÷ 4 = 48 : c’est la base d’un deuxième carré. On fait : 48 + 2 = 50 : c’est la base du troisième carré. L’égalité est : 14² + 48² = 50².

# 3779                1^er juillet 2017

Multiples de 13

Comment trouver un multiple de 13 sans effectuer une multiplication directe ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On divise par 4.

• On multiplie le reste par 3.

• On soustrait de 13, sauf si le résultat est 0.

• On additionne le quotient entier.

• Si le résultat est égal ou supérieur à 13, on soustrait du multiple de 13 supérieur au résultat.

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi et on additionne le résultat.

Le nombre choisi est 154. On fait : 154 ÷ 4 = 38 reste 2, 2 × 3 = 6 et 13 – 6 = 7. On fait : 7 + 38 = 45 et 52 – 45 = 7. On ajoute un 0 à la fin de 154 : ce qui donne 1540. On fait : 1540 + 7 = 1547. Le nombre 1547 est un multiple de 13.

# 3778                1^er juillet 2017

Division par 125

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 125 sans effectuer de division ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On place une virgule après l’unité de mille.

Soit à diviser 3246 par 125. On fait : 3246 × 8 = 25 968. Le quotient est 25,968.

# 3777                1^er juillet 2017

Reste de la division par 4

Comment obtenir le reste d’une division par 4 sans effectuer de division ?

Étapes

• On retient les deux derniers chiffres.

• Lorsque la dizaine est impaire, on additionne 2 à l’unité. Si le résultat est 4 ou supérieur à 4, on soustrait 4 jusqu'à ce que le résultat soit 0, 1, 2 ou 3.

• Lorsque la dizaine est paire, on choisit l’unité. Si le résultat est 4 ou supérieur à 4, on soustrait 4 jusqu'à ce que le résultat soit 0, 1, 2 ou 3.

Soit à trouver le reste de la division de 65 479. On retient 79. L’unité est 9. On fait : 9 + 2 = 11, 11 – 4 = 7 et 7 – 4 = 3. Le reste de la division est 3.

# 3776                1^er juillet 2017

Reste de la division par 15

Comment trouver le reste de la division par 15 sans effectuer de division ?

Étapes

• On additionne les chiffres sauf les deux derniers.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne le résultat et le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 15 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 15 de 51 237. On fait : 5 + 1 + 2 = 8. On ajoute un 0, ce qui donne 80. On fait : 80 + 37 = 117 et 117 – 105 = 12. Le reste est 12.

# 3764                25 juin 2017

Des diviseurs communs

Comment trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres ?

Étapes

• On divise les deux nombres. Si le reste est 0, le plus petit nombre est le plus grand commun diviseur. Si non, on continue.

• On divise le plus petit nombre par le reste précédent. Si le reste est 0, le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur. Si non, on continue.

• On fait de même jusqu’à ce que le reste soit 0. Le plus petit diviseur est le plus grand commun diviseur.

Soit à trouver le plus grand commun diviseur de 442 et de 170. On fait : 442 ÷ 170 = 2 reste 102, 170 ÷ 102 = 1 reste 68. On fait : 102 ÷ 68 = 1 reste 34 et 68 ÷ 34 = 2. Le plus grand commun diviseur est 34.