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Les charleries Bienvenue sur mon blogue, Ce blogue contient des souvenirs, des anecdotes, des opinions, de la fiction, des bribes d’histoire, des récréations et des documents d’archives. Charles-É. Jean
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Trucs mathématiques |
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5804
18 février
2021 Somme de nombres
Trois chiffres étant donnés, comment
trouver la somme des six nombres différents formés de deux de ces
chiffres sans repérer les six nombres ?
Étapes
• On additionne les chiffres.
• On multiplie par 22.
Soit les chiffres 2, 3 et 8. On fait : 2 + 3 + 8 =
13 et 13
×
22 = 286.
Vérification. Les six nombres sont 23, 28, 32, 38,
82, 83. Leur somme est 286. |
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5803
18 février
2021
Double soustraction Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ?
Étapes
• On multiplie par
2 la différence des triangulaires.
• On soustrait la
différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.
• On multiplie A
par son successeur.
• Du résultat de
la première ligne, on soustrait le résultat précédent.
• On multiplie A
par 2.
• On divise l’un
par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.
• On additionne
A : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la différence des triangulaires est 21 et dont la
différence des carrés est 39. On fait : 21 × 2 = 42, 42 – 39 = 3, A = 3
et 3 × 4 = 12. On fait : 42 – 12 = 30, 3 × 2 = 6, 30 ÷ 6 = 5 et 5 + 3 =
8. Les deux nombres sont 5 et 8. |
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#
5802
18 février
2021
Triangulaires
et cubes Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ?
Étapes
• On soustrait le triangulaire et son rang.
• On élève au carré.
• On élève le triangulaire donné au carré.
• On soustrait
l’un de l’autre
les deux résultats précédents.
Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On
fait : 36 – 8 = 28, 282 = 784, 362 = 1296 et 1296
– 784 = 512. Le nombre 512 est un cube. C’est le cube de 8. |
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#
5801
18 février
2021
Rang d’un
hexagonal Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ?
Étapes
• On multiplie le nombre par 8.
• On additionne 1.
• On extrait la racine carrée.
• On additionne 1.
• On divise par 4.
Soit à trouver le rang de l’hexagonal 120. On fait : 120 × 8 = 960,
960 + 1 = 961, √961 = 31, 31 + 1 = 32 et 32 ÷ 4 = 8. L’hexagonal 120 est
de rang 8. |
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# 5769
27 janvier 2021
Seize puissances 7
Comment trouver huit nombres
élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à celle de huit autres
nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On
additionne successivement
1,
13, 28, 70, 82, 124, 139, 151
au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
• On
additionne successivement
4,
7, 34, 61, 91, 118, 145, 148 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 7 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi. Les
sommes sont
6,
18, 33, 75, 87, 129, 144, 156, puis
9,
12, 39, 66, 96, 123, 150, 153. On écrit :
67
+ 187 + 337
+ 757 + 877
+ 1297 + 1447
+ 1567
=
97
+ 127 + 397
+ 667 + 967
+ 1237 + 1507
+ 1537 =
4 177 895 679 571 212. |
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# 5768
27 janvier 2021
Double soustraction Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ?
Étapes
• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.
• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la
valeur de A.
• On divise la différence des carrés par A.
• On additionne A.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait A : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence des
triangulaires est 30 et dont la différence des carrés est 56. On fait :
30 × 2 = 60, 60 – 56 = 4, A = 4, 56 ÷ 4 = 14, 14 + 4 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et
9 – 4 = 5. Les deux nombres sont 5 et 9. |
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# 5767
27 janvier 2021
Huit
triangulaires
Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie successivement 1,
8, 9, 10 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On multiplie successivement 4,
5, 6, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant
D à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 le nombre choisi. Les produits sont 3,
24, 27, 30, puis 12, 15, 18 et 39. L’égalité est :
3D
+ 24D
+ 27D
+ 30D
= 12D
+ 15D
+ 18D
+ 39D
= 1149. |
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# 5766
27 janvier 2021
Nombres hexagonaux Comment savoir si un nombre est hexagonal ?
Étapes
• On multiplie le
nombre par 32.
• On additionne 4.
• On extrait la racine
carrée.
• Si le résultat est
un entier, le nombre choisi est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.
Soit à savoir si 35 est hexagonal.
On fait : 35 × 32 = 1120, 1120 + 4 = 1124 et √1124 = 33,5. Le nombre 35
n’est pas hexagonal.
Soit à savoir si 66 est hexagonal.
On fait : 66 × 32 = 2112, 2112 + 4 = 2116 et √2116 = 46. Le nombre 66
est hexagonal. |
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# 5739
9 janvier 2021
Dix puissances 4 Comment trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On ajoute successivement ce
nombre après 1, 5, 9, 17 et 18 : ce sont les bases d’un premier membre
de l’égalité.
• On ajoute successivement ce
nombre après 2, 3, 11, 15 et 19 : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 4 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 9 le nombre choisi. On
obtient 19, 59, 99, 179 et 189, puis 29, 39, 119, 159 et 199. L’égalité
est :
194
+ 594 + 994 + 1794 + 1894 =
294 + 394 + 1194 + 1594 +
1994 = 2 410 922 805. |
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# 5738
9 janvier 2021
Double soustraction
Comment trouver deux nombres dont
on connaît leur différence et la différence de leurs triangulaires ?
Étapes
• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.
• On multiplie la différence donnée des deux nombres par
son successeur.
• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats
précédents.
• On multiplie la différence donnée des deux nombres par
2.
• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents
: c’est un premier nombre.
• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième
nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence est 7 et
dont la différence des triangulaires est 49. On fait : 49 × 2 = 98, 7 ×
8 = 56, 98 – 56 = 42, 7 × 2 = 14, 42 ÷ 14 = 3 et 3 + 7 = 10. Les deux
nombres sont 3 et 10. |
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# 5737
9 janvier 2021
Huit triangulaires Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
4, 6, 7 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On additionne successivement 2,
3, 5, 8 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.
• On ajoute l’exposant
D à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi. Les
sommes sont 6, 9, 11, 12, puis 7,
8, 10, 13. L’égalité est :
6D
+ 9D
+ 11D
+ 12D
= 7D
+ 8D
+ 10D
+ 13D
=
210. |
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# 5736
9 janvier 2021
Addition de pentagonaux
Comment trouver la somme de trois
pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang de celui du centre ?
Étapes
• On multiplie le rang
par 3.
• On multiplie par le
prédécesseur du résultat.
• On additionne 6.
• On divise par 2.
Soit à trouver la
somme de trois pentagonaux consécutifs dont celui du centre est de rang
5. On fait : 5 × 3 = 15, 15 × 14 = 210, 210 + 6 = 216 et 216 ÷ 2 = 108.
La somme est 108. Les pentagonaux de rangs 4, 5 et 6 sont respectivement
22, 35 et 51. |
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# 5699
15 décembre 2020
Chiffre exclu Comment deviner un chiffre exclu ? (Boucheny)
Étapes
•
Vous demandez
à une personne de choisir un nombre de trois ou de quatre chiffres,
•
d’écrire un
autre nombre formé des mêmes chiffres dans le désordre,
•
de soustraire
les deux nombres,
•
d’exclure un
chiffre sauf 0,
•
de vous
donner les chiffres qui restent dans le désordre.
• Vous lui dites que
vous allez deviner le chiffre exclu.
Vous additionnez les chiffres donnés. Du multiple de 9
supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le
chiffre exclu.
La personne choisit 7853. Elle écrit 5837. Elle fait :
7853 – 5837 = 2016. Elle
vous donne 0, 2 et 6. La somme est 8. Le multiple de 9 supérieur à 8 est
9. Vous faites : 9 – 8 = 1. Le chiffre
exclu est 1. |
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# 5698
15 décembre 2020
Double opération
Comment trouver deux nombres dont
on connaît leur différence et la somme de leurs triangulaires ?
Étapes
• On multiplie la différence par son successeur.
• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.
• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats
précédents.
• On multiplie par 2.
• On élève au carré le successeur de la différence donnée.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On extrait la racine carrée.
• On soustrait le successeur de la différence donnée.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième
nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence est 5 et
dont la somme des triangulaires est 42. On fait : 5 × 6 = 30, 42 × 2 =
84, 84 – 30 = 54, 54 × 2 = 108 et 62 = 36. On fait : 108 + 36
= 144, √144 = 12, 12 – 6 = 6, 6 ÷ 2 = 3 et 3 + 5 = 8. Les deux nombres
sont 3 et 8. |
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# 5697
15 décembre 2020
Huit
triangulaires
Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?
Étapes
• On choisit une suite de quatre
nombres de même raison.
• On choisit un nombre qu’on
additionne à chaque terme de la suite.
• On prend le premier et le
quatrième élément de la première suite, ainsi que le deuxième et le
troisième élément de la deuxième suite : ce sont les bases du premier
membre de l’égalité.
• On prend les autres éléments des
deux suites : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant
D
à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 2, 5, 8, 11 la suite choisie. On choisit
36. La deuxième suite est : 38, 41, 44, 47. On prend 2, 11, 41, 44. Il
reste 5, 8, 38, 47. L’égalité est : 2D + 11D + 41D + 44D = 5D + 8D + 38D + 47D = 1920. |
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# 5696
15 décembre 2020
Rang d’un pentagonal
Comment trouver le rang d’un
nombre qu’on sait pentagonal ?
Étapes
• On multiplie le
pentagonal par 24.
• On additionne 1.
• On extrait la racine
carrée.
• On additionne 1.
• On divise par 6.
Soit à trouver le rang du
pentagonal 117. On fait : 117 × 24 = 2808, 2808 + 1 = 2809 et √2809 =
53. On fait : 53 + 1 = 54 et 54 ÷ 6 = 9. Le pentagonal 117 est de rang
9. |
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# 5659
21 novembre 2020
Double opération Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un carré ?
Étapes
• On choisit deux
carrés de même parité.
• On additionne les
deux carrés.
• On divise par 2 :
c’est un premier nombre.
• On soustrait le plus
petit carré : c’est un deuxième nombre.
Soit 81 et 289 les carrés choisis.
On fait : 81 + 289 = 370, 370 ÷ 2 = 185 et 185 – 81 = 104. Les deux
nombres sont 185 et 104. |
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# 5658
21 novembre 2020
Seize puissances 7
Comment trouver huit nombres
élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à celle de huit autres
nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On
additionne successivement
1,
5, 10, 24, 28, 42, 47, 51
au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
• On
additionne successivement
2,
3, 12, 21, 31, 40, 49, 50
au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 7 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. Les
sommes sont
5,
9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis
6,
7, 16, 25, 35, 44, 53, 54. On écrit : 57 + 97
+ 147 + 287 + 327 + 467 + 517
+ 557 = 67 + 77 + 167 + 257
+ 357 + 447 + 537 + 547 =
2 903 626 510 920. |
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# 5657
21 novembre 2020
Addition de deux triangulaires
Comment trouver la somme de deux
triangulaires qui diffèrent de quatre rangs et
dont on connaît le rang du plus petit ?
Étapes
• On multiplie le rang
du plus petit triangulaire par 5.
• On multiplie le rang
du plus petit par lui-même.
• On additionne les
deux résultats.
• On additionne 10.
Soit à
trouver la somme des
triangulaires de rangs 7 et 11. On fait : 7 × 5 = 35, 7 × 7 = 49, 35 +
49 = 84 et 84 + 10 = 94. La somme est 94. Les triangulaires sont 28 et
66. |
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# 5656
21 novembre 2020
Nombres pentagonaux Comment savoir si un nombre est pentagonal ?
Étapes
• On cherche, pour ce
nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le triple moins 1
de l’autre.
• S’il y a un couple
de facteurs possible, le nombre est
pentagonal.
Si non, il ne l’est pas.
Soit à savoir si
70 est pentagonal.
Le couple de facteurs possible est
(5, 14). Le nombre 70 est pentagonal.
Soit à savoir si
135 est pentagonal.
Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 135 n’est pas
pentagonal. |
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# 5619
27 octobre 2020
Douze
carrés
Comment trouver six carrés dont la somme est égale à celle de six autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre A qu’on
additionne successivement à 0, 5 et 7 : ce sont des bases du premier
membre de l’égalité.
• On choisit un nombre B qu’on
additionne à chaque résultat précédent : ce sont des bases du deuxième
membre.
• On additionne A à 1, 3 et
8 : ce sont des bases du deuxième membre.
• On additionne B à chaque
résultat précédent : ce sont des bases du premier membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit A = 7 le nombre choisi. Les
sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Le sommes sont 16, 21, 23. On
additionne A. Les sommes sont 8, 10, 15. On additionne B. Les sommes
sont 17, 19, 24. L’égalité est : 72 + 122 + 142
+ 172 + 192 + 242 = 82 + 102
+ 152 + 162 + 212 + 232 =
1615. |
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# 5618
27 octobre 2020
Double soustraction Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs carrés ?
Étapes
• On multiplie par elle-même la différence des deux
nombres.
• De la différence de leurs carrés, on soustrait le
résultat précédent.
• On divise par la différence donnée des deux nombres.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième
nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence est 5 et
dont la différence des carrés est 95. On fait : 5 × 5 = 25, 95 – 25 =
70, 70 ÷ 5 = 14, 14 ÷ 2 = 7 et 7 + 5 = 12. Les deux nombres sont 7 et
12. |
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# 5617
27 octobre 2020
Seize puissances 6
Comment trouver huit nombres
élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à celle de huit autres
nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On
additionne successivement
0,
4, 9, 23, 27, 41, 46, 50
au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
• On
additionne successivement
1,
2, 11, 20, 30, 39, 48, 49
au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 6 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 le nombre choisi. Les
sommes sont
3,
7, 12, 26, 30, 44, 49, 53, puis
4,
5, 14, 23, 33, 42, 51, 52. On écrit : 36 + 76
+ 126 + 266 + 306 + 446 + 496
+ 536 = 46 + 56 + 146 + 236
+ 336 + 426 + 516 + 526 =
44 302 982 324. |
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# 5616
27 octobre 2020
Addition de deux triangulaires Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont on connait le rang du plus petit ?
Étapes
• On multiplie le rang
du plus petit triangulaire par 2.
• On multiplie le rang
du plus petit par lui-même.
• On additionne les
deux résultats.
• On additionne 1.
Soit à
trouver la somme des
triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 8 × 2 = 16, 8 × 8 = 64, 16 + 64
= 80 et 80 + 1 = 81. La somme est 81. Les triangulaires sont 36
et 45. |
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# 5584
6 octobre 2020
Différence de carrés Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?
Étapes
· On multiplie par lui-même chacun
des chiffres du nombre choisi.
· On soustrait l’un de l’autre les
deux résultats. On note le résultat.
· On ajoute deux 0 à la fin.
· On soustrait le résultat noté.
Soit à trouver la différence du carré de 85 et de celui de
son renversé. On fait : 8 × 8 = 64, 5 × 5 = 25 et 64 – 25 = 39. On écrit
3900. On fait : 3900 – 39 = 3861. La différence est 3861. |
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# 5583
6 octobre 2020
Douze puissances 5
Comment trouver six nombres élevés
à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de six autres nombres
élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0,
5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi : ce sont les bases du premier
membre de l’égalité.
• On additionne successivement 1,
2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute l’exposant 5 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 4,
9, 10, 20, 21, 26, puis 5, 6, 14, 16, 24, 25. On
écrit : 45 + 95 + 105 + 205
+ 215 + 265 = 55 + 65 + 145
+ 165 + 245 + 255 = 19 325 550. |
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# 5582
6 octobre 2020
Double opération Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ?
Étapes
• On additionne la somme et la différence des
triangulaires.
• On multiplie par 4.
• On additionne 1.
• On extrait la racine carrée.
• On soustrait 1.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On divise par 2 le résultat de la première ligne.
• On soustrait la
différence donnée.
• On multiplie par 2.
• On extrait la racine
carrée. La partie entière est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la somme des
triangulaires est 76 et dont la différence des triangulaires est 56. On
fait : 76 + 56 = 132, 132 × 4 = 528, 528 + 1 = 529 et √529 = 23. On
fait : 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11, 132 ÷ 2 = 66, 66 – 56 = 10, 10 × 2 = 20
et √20 = 4,47. La partie entière est 4. Les deux nombres sont 4 et 11. |
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# 5581
6 octobre 2020
Six
triangulaires
Comment trouver trois triangulaires
dont la somme est égale à celle de trois autres triangulaires ?
Étapes
• On choisit une suite de neuf
nombres de même raison.
• On prend le premier, le sixième
et le huitième nombre : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
• On prend le deuxième, le
quatrième et le neuvième nombre : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant
D
à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 la suite
choisie. On prend 1, 11, 15, puis 3, 7, 17. L’égalité est : 1D + 11D + 15D = 3D + 7D + 17D = 187. |
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# 5554
18 septembre 2020
Dix puissances 4 Comment trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
5, 9, 17 et 18 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre
de l’égalité.
• On additionne successivement 2,
3, 11, 15 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 4 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi. Les
sommes sont 6, 10, 14, 22, 23, puis 7,
8, 16, 20, 24. L’égalité est :
64
+ 104 + 144 + 224 + 234 = 74
+ 84 + 164 + 204 + 244 =
563 809. |
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# 5553
18 septembre 2020
Double opération Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ?
Étapes
• On additionne la somme et la différence des
triangulaires.
• On extrait la racine
carrée. La partie entière est un premier nombre.
• On soustrait la somme et la différence des
triangulaires.
• On extrait la racine
carrée. La partie entière est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la somme des
triangulaires est 93 et dont la différence est 63. On fait : 93 + 63 =
156 et √156 = 12,49. La partie entière est 12. On fait : 93 – 63 = 30 et
√30 = 5,48. La partie entière est 5. Les deux nombres sont 5 et 12. |
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# 5552
18 septembre 2020
Addition de deux triangulaires Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ?
Étapes
• On multiplie le plus
petit rang par lui-même. On note le résultat.
• On soustrait les
rangs l’un de l’autre.
• On additionne 1.
• On multiplie par le
plus petit rang. On note le résultat.
• On multiplie l’un
par l’autre les résultats de la deuxième et de la troisième ligne.
• On divise par 2.
• On additionne les
deux résultats notés et le dernier résultat.
Soit à
trouver la somme des
triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 4 = 16, 10 – 4 = 6, 6 + 1
= 7 et 7 × 4 = 28. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 16 + 28 + 21 =
65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55.
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# 5551
18 septembre 2020
Huit
triangulaires
Comment décomposer un triangulaire
en la somme de sept triangulaires ?
Étapes
• On choisit trois nombres dont la
somme est impaire et dont la différence entre les nombres est au moins
2 : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.
• On soustrait 1 à chacune des
bases : ce sont d’autres bases du deuxième membre.
• On additionne le carré des
nombres choisis.
• On soustrait 3 et on divise par
2 : c’est la septième base du deuxième membre.
• On additionne 2 : c’est la base
du triangulaire qui est la somme.
• On ajoute l’exposant
D à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 2, 4 et 7 les nombres
choisis. La différence est 1, 3, 6. On fait : 22 + 42
+ 72 = 69, 69 – 3 = 66, 66 ÷ 2 = 33 et 33 + 2 = 35. L’égalité
est : 35D =
1D + 2D + 3D + 4D + 6D + 7D + 33D
= 630. |
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# 5519
27 août 2020
Dix
carrés
Comment
trouver cinq carrés dont la somme est égale à celle de cinq autres
carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du second membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17 et 24, puis 6, 7,
14, 20 et 23. L’égalité est : 52 + 82 +
162 + 172 + 242 = 62 + 72
+ 142 + 202 + 232 = 1210. |
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# 5518
27 août 2020
Quatorze puissances 6
Comment trouver sept nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est
égale à celle de sept autres nombres élevés à la même puissance?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement
0, 18, 27, 58, 64, 89, 101
au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement
1, 13, 38, 44, 75, 84, 102
au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont
4, 22, 31, 62, 68, 93, 105,
puis
5, 17, 42, 48, 79, 88, 106.
On écrit : 46 + 226 + 316 + 626
+ 686 + 936 + 1056 = 56 + 176
+ 426 + 486 + 796 + 886 +
1066 = 2 143 754 429 963. |
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# 5517
27 août 2020
Double addition
Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs
triangulaires et la somme de leurs carrés ?
Étapes
• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.
• On soustrait la somme des carrés. On note le résultat.
• On élève au carré. On note le résultat.
• On soustrait la somme de leurs carrés.
• On multiplie par 2.
• Du second résultat noté, on soustrait le précédent.
• On extrait la racine carrée.
• On additionne le premier résultat noté.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• Du premier résultat noté, on soustrait le précédent : c’est un
deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 51 et
dont la somme des carrés est 89. On fait : 51 × 2 = 102, 102 – 89 = 13,
132 = 169, 169 – 89 = 80
et 80 × 2 = 160. On fait : 169 – 160 = 9, √9 = 3, 3 + 13 = 16, 16 ÷ 2 =
8 et 13 – 8 = 5. Les deux nombres sont 5 et 8. |
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# 5516
27 août 2020
Six
triangulaires
Comment
décomposer un triangulaire en la somme de cinq triangulaires ?
Étapes
• On choisit un nombre pair : c’est une base du deuxième membre de
l’égalité.
• On additionne 1 : c’est une autre base du deuxième membre.
• On multiplie par lui-même le successeur du nombre choisi.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième
membre.
• On soustrait 1 : c’est
une autre base du deuxième membre.
• On additionne 2.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième
membre.
• On additionne 2: c’est la base du triangulaire qui est la somme.
• On ajoute l’exposant
D
à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. On fait : 4 + 1 = 5, 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24,
24 ÷ 2 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 + 2 = 13. On fait : 13 × 13 = 169, 169 –
3 = 166, 166 ÷ 2 = 83 et 83 + 2 = 85. L’égalité est : 85D
=
4D
+ 5D
+ 11D
+ 12D
+ 83D
= 3655. |
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# 5474
30 juin 2020
Huit
carrés
Connaissant deux couples de carrés dont la somme est identique, comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On choisit une égalité de deux
couples de deux carrés dont la somme est identique.
• On choisit un nombre supérieur
à la plus grande base : c’est
l’opérateur.
• Pour chaque base, on soustrait
et on additionne l’opérateur.
• On place les quatre premiers
résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le
deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre
numérique.
Soit 42 + 172
= 72 + 162 l’égalité choisie. On choisit 18 comme
opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1, 18 + 17 =
35, 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité
est : 12 + 142 + 222 + 352 =
22 + 112 + 252 + 342 = 1906. |
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# 5473
30 juin 2020
Puissance 5 d’un nombre
Comment trouver la
puissance 5 d’un nombre sans élever à cette puissance ?
Étapes
• On choisit un
nombre.
• On multiplie le
nombre par son successeur.
• On multiplie le
nombre choisi par son prédécesseur.
• On additionne 1.
• On multiplie par le
résultat de la deuxième ligne.
• On soustrait le
nombre choisi.
• On multiplie par le
nombre choisi.
Soit à élever 4 à la
puissance 5. On fait : 4
× 5 = 20,
4 × 3 = 12, 12 + 1 = 13, 13 × 20 = 260,
260 – 4 = 256 et 256 × 4 = 1024. Le nombre 1024 est la puissance 5 de 4. |
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# 5472
30 juin 2020
Double opération
Comment trouver deux nombres dont
on connaît leur somme et la différence de leurs triangulaires ?
Étapes
• On multiplie la somme par son successeur.
• On soustrait le double de la différence des
triangulaires. On note le résultat.
• On multiplie par 2 le successeur de la somme donnée des
deux nombres.
• On divise le résultat noté par le résultat précédent :
c’est un premier nombre.
• De la somme donnée, on soustrait le résultat précédent :
c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la somme est 11 et dont
la différence des triangulaires est 42. On fait : 11 × 12 = 132, 132 –
84 = 48, 12 × 2 = 24, 48 ÷ 24 = 2 et 11 – 2 = 9. Les deux nombres sont 2
et 9. |
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# 5471
30 juin 2020
Triangulaires et cubes Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ?
Étapes
• On additionne le triangulaire et son rang.
• On additionne 1.
• On additionne le triangulaire donné.
• On mutiplie
l’un par
l’autre le successeur du rang et le résultat précédent.
Soit à trouver un cube à partir du
triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 + 8 = 44, 44 + 1 = 45,
45 + 36 = 81 et 9 × 81 = 729. Le nombre 729 est un cube. C’est le cube
de 9. |
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#
5444
12 juin 2020
Huit
carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On choisit un triplet de
Pythagore.
• On écrit + 02 comme
deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.
• On choisit un nombre supérieur à
la plus grande base : c’est l’opérateur.
• Pour chaque base, on soustrait
et on additionne l’opérateur.
• On place les quatre premiers
résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le
second membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre
numérique.
Soit 32 + 42
= 52 le triplet choisi. On écrit : 32 + 42
= 52 + 02. On choisit 8 comme opérateur. On fait :
8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 4 = 4, 8 + 4 = 12, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 –
0 = 8 et 8 + 0 = 8. L’égalité est : 42 + 52 + 112
+ 122 = 32 + 82 + 82 + 132
= 306. |
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#
5443
12 juin 2020
Douze puissances 4
Comment trouver six nombres élevés
à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six autres nombres
élevés à la même puissance?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0,
5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier
membre de l’égalité.
• On additionne successivement 1,
2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute l’exposant 4 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 le nombre choisi. Les sommes sont 3,
8, 9, 19, 20, 25, puis 4, 5, 13, 15, 23, 24. On
écrit : 34 + 84 + 94 + 194 +
204 + 254 = 44 + 54 + 134
+ 154 + 234 + 244 = 691 684. |
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#
5442
12 juin 2020
Double addition
Comment trouver deux nombres dont
on connaît leur somme et la somme de leurs triangulaires ?
Étapes
• On élève au carré la somme donnée des deux nombres.
• On soustrait le double de
la somme des triangulaires.
• On additionne la somme donnée des deux nombres.
• On divise par 2.
• On cherche un couple de facteurs dont la somme est celle
des deux nombres.
Soit à trouver deux nombres dont la somme est 14 et dont
la somme des triangulaires est 60. On fait : 142 = 196, 196 –
120 = 76, 76 + 14 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Les deux nombres sont 5 et 9. |
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#
5441
12 juin 2020
Addition de deux triangulaires Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ?
Étapes
• On multiplie le plus
petit rang par son successeur.
• On multiplie le plus
grand rang par son successeur.
• On additionne les
résultats.
• On divise par 2.
Soit à trouver la
somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 5 = 20, 10 × 11
= 110, 20 + 110 = 130 et 130 ÷ 2 = 65. La somme est 65. Les
triangulaires sont 10 et 55. |
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# 5399
15 mai 2020
Huit
carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On écrit une suite de quatre nombres dont la raison est identique.
• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la
suite.
• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la
première suite, le deuxième et le troisième de la deuxième suite, puis
le quatrième de la première suite.
• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit 12, 15, 18, 21 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les
sommes sont 17, 20, 23, 26. Le
premier groupe est formé de 12, 20, 23, 21. Le deuxième groupe est formé
de 17, 15, 18, 26. L’égalité est : 122 + 202 + 212
+ 232 = 152 + 172 + 182 + 262
= 1514. |
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# 5398
15 mai 2020
Douze
cubes
Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?
Étapes
• On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est
égale à la somme de trois autres carrés.
• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est
l’opérateur.
• Pour chacune des bases de l’égalité, on soustrait et on additionne
l’opérateur.
• On place les six premiers résultats dans le premier membre de
l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chacun des nombres tout en plaçant les
éléments en ordre numérique.
Soit 62 + 72 + 112 = 52 + 92
+ 102 l’égalité choisie. On choisit 12 comme opérateur. On
fait : 12 – 6 = 6, 12 + 6 = 18, 12 – 7 = 5, 12 + 7 = 19, 12 – 11 = 1 et
12 + 11 = 23. On fait de même pour le deuxième membre. On obtient 7, 17,
3, 21, 2 et 22. L’égalité est : 13 + 53 + 63
+ 183 + 193 + 233 = 23 + 33
+ 73 + 174 + 213 + 223 = 25
200. |
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# 5397
15 mai 2020
Suite de raison 4
Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme
est 1, dont la raison est 4 et dont on connaît le dernier terme ?
Étapes
• On additionne 3 au dernier terme.
• On divise par 4.
• On additionne 1 au dernier terme.
• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.
• On divise par 2.
Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est
53. On fait : 53 + 3 = 56, 56 ÷ 4 = 14, 53 + 1 = 54, 54
× 14 = 756 et
756 ÷ 2 = 378. La somme est 378. |
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# 5396
15 mai 2020
Double opération
Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune
un triangulaire ?
Étapes
• On choisit deux triangulaires de même parité.
• On les additionne.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait le plus petit nombre choisi : c’est un deuxième nombre.
Soit 66 et 120 les triangulaires choisis. On
fait : 66 + 120 = 186, 186 ÷ 2 = 93 et 93 – 66 = 27. Les deux nombres
sont 27 et 93. |
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# 5364
24 avril 2020
Huit
carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On écrit une suite de trois nombres dont la raison est identique.
• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la
suite.
• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la
première suite, le deuxième de la deuxième suite qu’on répète et le
troisième de la première suite.
• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent tout en
répétant le nombre du milieu de la première suite.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit 12, 15, 18 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes
sont 17, 20, 23. Le premier groupe est formé de 12, 20, 20, 18. Le
deuxième groupe est formé de 17, 15, 15, 23. L’égalité est : 122
+ 182 + 202 + 202 = 152 + 152
+ 172 + 232 = 1268. |
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# 5363
24 avril 2020
Douze
cubes
Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?
Étapes
• On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 :
ce sont des bases du premier membre de l’égalité.
• On choisit un autre nombre B qu’on additionne à chaque résultat
précédent : ce sont des bases du deuxième membre.
• On additionne A successivement à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du
deuxième membre.
• On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du
premier membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B =
9. Les sommes sont 16, 21 et 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10
et 15. On additionne B. Les sommes sont 17, 19 et 24. L’égalité est : 73
+ 123 + 143 + 173 + 193 + 243
= 83 + 103 + 153 + 163 + 213
+ 233 = 30 411. |
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# 5362
24 avril 2020
Puissance 6 d’un nombre
Comment trouver un nombre élevé à la puissance 6 sans élever à cette
puissance ?
Étapes
• On choisit un cube.
• On soustrait 1.
• On additionne 1 au nombre choisi.
• On multiplie les deux derniers résultats.
• On additionne 1.
Soit 27 le nombre choisi. On fait : 27 – 1 = 26, 27 + 1 = 28, 26
× 28 = 728 et 728 + 1 = 729. Le nombre 729 est une puissance 6, soit 36. |
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# 5361
24 avril 2020
Triangulaires et carrés Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ?
Étapes
• On choisit un carré.
• On calcule sa racine.
• On additionne le carré.
• On divise par 2.
Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 81. On fait : √81 = 9,
9 + 81 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Le nombre 45 est triangulaire. Il est de
rang 9. |
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# 5330
2 avril 2020
Huit
carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente. Le
premier est une base du premier membre de l’égalité, l’autre une base du
second membre.
• On fait la différence des carrés de ces deux nombres.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de
l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre.
• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des nombres choisis
au départ : le premier résultat est une base du premier membre de
l’égalité, l’autre est une base du second membre.
• On fait la différence des carrés des deux derniers résultats.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de
l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit 2 et 7 les nombres choisis. On fait : 72 – 22 = 45, 45 – 1 = 44, 44 ÷ 2 = 22. On a 22 et 23. On choisit 3. On fait : 2 + 3 = 5, 7 + 3 = 10, 102 – 52 = 75, 75 – 1 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. On a 37 et 38. L’égalité est : 22 + 52 + 232 + 382 = 72 + 102 + 222 + 372 = 2002. |
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# 5329
2 avril 2020
Différence de carrés Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?
Étapes
·
On additionne les chiffres du nombre choisi.
·
On soustrait les chiffres du nombre choisi.
·
On multiplie l’un par l’autre les deux résultats. On note le résultat.
·
On ajoute deux 0 à la fin.
·
On soustrait le résultat noté.
Soit à trouver la différence du carré de 72 et de celui de son renversé.
On fait : 7 + 2 = 9, 7 – 2 = 5 et 9 × 5 = 45. On écrit 4500. On fait :
4500 – 45 = 4455. La différence est 4455. |
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# 5328
2 avril 2020
Dix
cubes
Comment trouver cinq cubes dont la somme est égale à celle de cinq
autres cubes ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17, 24, puis 6, 7,
14, 20, 23. On écrit : 53 + 83 + 163
+ 173 + 243 = 63 + 73 + 143
+ 203 + 233 = 23 470. |
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# 5327
2 avril 2020
Addition mixte Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ?
Étapes
• On multiplie le rang par 2.
• On additionne 1.
• On multiplie par le rang.
• On additionne 1.
• On multiplie par le rang.
• On divise par 2.
Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 7 et du cube de même
rang. On fait : 7 × 2 = 14, 14 + 1 = 15, 15 × 7 = 105 et 105 + 1 = 106.
On fait : 106 × 7 = 742 et 742 ÷ 2 = 371. La somme est 371. Le
triangulaire est 28 et le cube est 343. |
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# 5326
2 avril 2020
Quatre
triangulaires
Comment
décomposer un triangulaire en la somme de trois triangulaires ?
Étapes
• On choisit un nombre impair : c’est une base du deuxième membre de
l’égalité.
• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.
• On multiplie par lui-même le nombre choisi.
• On additionne 1.
• On divise par 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.
• On soustrait 2 : c’est la
troisième base du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant
D
à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 – 1 = 6 et 7 × 7 = 49. On fait : 49
+ 1 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et 25 – 2 = 23. L’égalité est : 25D
=
6D
+ 7D
+ 23D
= 325.
Note. 25D
se lit triangulaire de rang 25. |
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#
5294
12 mars 2020
Huit
carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie successivement 1,
7, 8 et 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre
de l’égalité.
• On multiplie successivement 2,
4, 11 et 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 6 le nombre choisi. Les produits sont 6,
42, 48 et 84, puis 12, 24, 66 et 78. L’égalité est : 62 + 422
+ 482 + 842 = 122 + 242 + 662
+ 782 = 11 160. |
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#
5293
12 mars 2020
Huit
cubes
Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?
Étapes
On choisit une égalité dans
laquelle la somme de deux carrés est égale à la somme de deux autres
carrés.
• On choisit un nombre supérieur à
la plus grande base : c’est l’opérateur.
• Pour chaque base, on soustrait
et on additionne l’opérateur.
• On place les quatre premiers
résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le
deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chacun
des nombres pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre
numérique.
Soit 42 + 172
= 72 + 162 l’égalité choisie. On choisit 18 comme
opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1 et 18 + 17 =
35. On fait : 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34.
L’égalité est : 13 + 143 + 223 + 353
= 23 + 113 + 253 + 343 = 56
268. |
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#
5292
12 mars 2020
Puissance 5 d’un nombre
Comment trouver la puissance 5
d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
• On écrit 9 autant de fois, moins
1, que le nombre contient de 9.
• On écrit un 5.
• On écrit 0 autant de fois, moins
1, que le nombre contient de 9.
• On écrit 9 autant de fois que le
nombre contient de 9.
• On écrit 0 autant de fois que le
nombre contient de 9.
• On écrit un 4.
• On écrit 0 autant de fois que le
nombre contient de 9.
Soit à élever 9999 à la puissance
5. On écrit trois 9, un 5, trois 0, quatre 9, quatre 0, un 4, quatre 9.
Le résultat est 99 950 009 999 000 049 999. |
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#
5291
12 mars 2020
Nombres triangulaires Comment savoir si un nombre est triangulaire ?
Étapes
• On cherche, pour ce
nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double plus 1 ou
moins 1 de l’autre.
• S’il y a un couple
de facteurs possible, le nombre est
triangulaire.
Si non, il ne l’est pas.
Soit à savoir si
105 est triangulaire.
Le couple de facteurs possible est (7, 15). Le nombre 105 est
triangulaire puisque 7 × 2 + 1 = 15.
Soit à savoir si
176 est triangulaire.
Aucun couple de facteurs correspondant aux exigences n’est possible. Le
nombre 240 n’est pas triangulaire. |
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#
5259
18 février 2020
Huit carrés
Comment décomposer un carré en une
somme de sept carrés ?
Étapes
• On choisit six nombres dont la
somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.
• On additionne le carré de ces
nombres.
• On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est une base du deuxième membre.
• On additionne 1 : c’est la base
du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 1, 2, 3,
4, 5, 6 les nombres choisis. On fait : 12 + 22 + 32
+ 42 + 52 + 62 = 91, 91 – 1 = 90, 90 ÷
2 = 45 et 45 + 1 = 46. L’égalité est : 462 = 12 +
22 + 32 + 42 + 52 + 62
+ 452. |
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#
5258
18 février 2020
Différence de carrés
Comment trouver deux carrés dont la différence est égale à
la différence de deux autres carrés ?
Étapes
· On choisit deux nombres non
consécutifs et de parité différente : ce sont les bases du premier
membre de l’égalité.
· On additionne les deux nombres.
· On soustrait l’un par l’autre les
deux nombres.
· On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
· On additionne 1 et on divise par
2 : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.
· On soustrait 1 : c’est une base
du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4 + 7 = 11, 7 –
4 = 3, 11 × 3 = 33, 33 + 1 = 34, 34 ÷ 2 = 17 et 17 – 1 = 16. L’égalité
est : 72 – 42 = 172 – 162 =
33. |
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#
5257
18 février 2020
Huit
cubes
Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?
Étapes
• On choisit un triplet de
Pythagore.
• On ajoute + 02 comme
deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.
• On choisit un nombre supérieur à
la plus grande base : c’est l’opérateur.
• Pour chaque base, on soustrait
et on additionne l’opérateur.
• On place les quatre premiers
résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le
deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque
base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre
numérique.
Soit 32 + 42
= 52 le triplet choisi. On écrit : 32 + 42
= 52 + 02. On choisit 9 comme opérateur. On fait :
9 – 3 = 6, 9 + 3 = 12, 9 – 4 = 5 et 9 + 4 = 13. On fait : 9 – 5 = 4, 9 +
5 = 14, 9 – 0 = 9 et 9 + 0 = 9. L’égalité est : 53 + 63
+ 123 + 133 = 43 + 93 + 93
+ 143 = 4266. |
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#
5256
18 février 2020
Six
puissances 4
Comment trouver trois nombres
élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de trois autres
nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On écrit 1 : c’est une base du premier
membre de l’égalité.
• On multiplie le nombre choisi par 7.
• On additionne 2 : c’est une base du premier
membre.
• On additionne les deux bases précédentes :
c’est une base du premier membre.
• On multiplie le nombre choisi par 3.
• On additionne 2 : c’est une base du deuxième
membre.
• On multiplie le nombre choisi par 5.
• On additionne 1 : c’est une base du deuxième
membre.
• On additionne les deux bases précédentes :
c’est une base du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 4 à chaque
base pour former une égalité tout en plaçant les éléments en ordre
numérique.
Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait :
3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 1 + 23 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11,
3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 14 +
234 + 244 = 114 + 164 + 274
= 611 618. |
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#
5224
27 janvier 2020
Sept carrés
Comment décomposer un carré en une somme de six carrés ?
Étapes
• On choisit cinq nombres dont la somme est impaire : ce sont des
bases base du deuxième membre de l’égalité.
• On additionne le carré de ces nombres.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième
membre.
• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1, 2, 3,
4, 5 les nombres choisis. On fait : 12 + 22 + 32
+ 42 + 52 = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1
= 28. L’égalité est : 282 = 12 + 22 + 32
+ 42 + 52 + 272. |
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#
5223
27 janvier 2020
Double soustraction Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs carrés ?
Étapes
• On divise la différence des carrés par la différence des
deux nombres.
• On additionne la différence des deux nombres.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait la différence donnée des deux nombres :
c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence est 4 et
dont la différence des carrés est 88. On fait : 88 ÷ 4 = 22, 22 + 4 =
26, 26 ÷ 2 = 13 et 13 – 4 = 9. Les deux nombres sont 13 et 9. |
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#
5222
27 janvier 2020
Huit
cubes
Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie successivement 1,
7, 8, 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On multiplie successivement 2,
4, 11, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7,
49, 56, 98, puis 14, 28, 77, 91.
L’égalité est : 73 + 493 + 563 + 983
= 143 + 283 + 773 + 913 =
1 234 800. |
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#
5221
27 janvier 2020
Raison d’une suite
Étapes
•
On trouve la différence entre le premier et le
dernier terme.
•
On divise par le prédécesseur du nombre de
termes.
Soit à trouver la raison d’une
suite de 15 termes dont le premier terme est 3 et le dernier 59. On
fait : 59 – 3 = 56 et 56 ÷ 14 = 4. La raison est 4. |
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# 5185
3 janvier 2020
Six carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
• On multiplie le nombre choisi par 7 et on additionne 2 : c’est une
base du premier membre.
• On additionne 1 : c’est une base du premier membre.
• On multiplie le nombre choisi par 3 et on additionne 2 : c’est une
base du deuxième membre.
• On multiplie le nombre choisi par 5 et on additionne 1 : c’est une
base du deuxième membre.
• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième
membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour former une égalité.
Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 23 + 1 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 12 + 232 + 242 = 112 + 162 + 272 = 1106. |
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# 5184
3 janvier 2020
Différence
de carrés Comment trouver deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ?
Étapes
·
On choisit un nombre impair : c’est la base du troisième carré.
·
On additionne 1 au nombre choisi.
·
Du nombre choisi, on soustrait 1.
·
On multiplie
l’un par l’autre
les deux résultats précédents.
·
On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.
·
On additionne 1 : c’est la base du premier carré.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 + 1 = 6, 5 – 1 = 4, 6 × 4 = 24, 24
÷ 2 = 12 et 12 + 1 = 13. L’égalité est : 132 – 122
= 52. |
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# 5183
3 janvier 2020
Double opération
Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la somme
de leurs carrés ?
Étapes
• On multiplie la différence par elle-même.
• De la somme des carrés, on soustrait le résultat précédent.
• On multiplie par 2.
• On additionne le résultat de la première ligne.
• On extrait la racine carrée.
• On additionne la différence donnée.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait la différence donnée : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence est 9 et dont la somme
des carrés est 221. On fait : 9 × 9 = 81, 221 – 81 = 140, 140 × 2 = 280,
280 + 81 = 361 et √361 = 19. On fait : 19 + 9 = 28, 28 ÷ 2 = 14 et 14 –
9 = 5. Les deux nombres sont 5 et 14. |
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# 5182
3 janvier 2020
Huit
cubes
Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1, 7, 8, 14 au nombre choisi : ce sont
les bases d’un premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 2, 4, 11, 13 au nombre choisi : ce sont
les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 6 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis
8, 10, 17, 19. L’égalité est : 73
+ 133 + 143 + 203 = 83 + 103
+ 173 + 193 = 13 284. |
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# 5181
3 janvier 2020
Puissance 4 d’un nombre
Comment trouver la puissance 4 d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
• On écrit un 6.
• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
• On écrit un 5.
• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
• On écrit un 6.
• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
• On écrit un 1.
Soit à élever 9999 à la puissance 4. On écrit trois 9, un 6, trois 0, un
5, trois 9, un 6, trois 0 et un 1. Le résultat est 9 996 000 599 960
001. |
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#
5135
3 décembre 2019
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On ajoute successivement ce
nombre après 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On ajoute successivement ce
nombre après 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 14 le nombre choisi. On obtient 114, 514, 614, puis 214, 314 et 714. L’égalité est : 1142 + 5142 + 6142 = 2142 + 3142 + 7142 = 654 188. |
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#
5134
3 décembre 2019
Huit
cubes
Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0,
6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On additionne successivement 1,
3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 5,
11, 12, 18, puis 6, 8, 15, 17.
L’égalité est : 53 + 113 + 123 + 183
= 63 + 83 + 153 + 173 =
9016. |
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#
5133
3 décembre 2019
Double opération
Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de
leurs cubes et la différence de leurs cubes ?
Étapes
• On additionne la somme et la différence de leurs cubes.
• On divise par 2.
• On extrait la racine cubique : c’est un premier nombre.
• On soustrait la somme et la différence de leurs cubes.
• On divise par 2.
• On extrait la racine cubique: c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la somme des cubes est
468 et dont la différence des cubes est 218. On fait : 468 + 218 = 686
et 686 ÷ 2 = 343. La racine cubique de 343 est 7. On fait : 468 – 218 =
250 et 250 ÷ 2 = 125. La racine cubique de 125 est 5. Les nombres sont 5
et 7. |
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#
5132
3 décembre 2019
Puissance 4 d’un nombre
Comment trouver la
puissance 4 d’un nombre sans élever à cette puissance ?
Étapes
• On choisit un
nombre.
• On multiplie le
nombre par lui-même.
• On additionne 1.
• On multiplie par le
nombre choisi.
• On soustrait le
nombre choisi.
• On multiplie par le
nombre choisi.
Soit 7 le nombre
choisi. On fait : 7
× 7 = 49, 49
+ 1 = 50, 50 × 7 = 350, 350 – 7 = 343 et 343 × 7 = 2401. Le nombre 2401
est la puissance 4 de 7. |
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#
5131
3 décembre 2019
Terme d’une suite
Étapes
•
On trouve la différence entre le premier et le
dernier terme.
•
On divise par le prédécesseur du nombre de
termes.
•
On multiplie par le rang qui précède celui du
terme cherché.
• On additionne le
premier terme.
Soit à trouver le 10e
terme de la suite de 14 termes dont le premier terme est 2 et dont le
dernier est 67. On fait : 67 – 2 = 65, 65 ÷ 13 = 5, 5 × 9 = 45 et 45 + 2
= 47. Le 10e terme est 47. |
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#
5104
15 novembre 2019
Six
carrés Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On ajoute successivement ce
nombre devant 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On ajoute successivement ce
nombre devant 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 13 le nombre choisi. On obtient 131, 135,
136, puis 132, 133 et 137. L’égalité est : 1312 + 1352
+ 1362 = 1322 + 1332 + 1372
= 53 882. |
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#
5103
15 novembre 2019
Huit
carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0,
6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On additionne successivement 1,
3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7,
13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité est : 72 + 132
+ 142 + 202 = 82 + 102 + 172
+ 192 = 814. |
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#
5102
15 novembre 2019
Différence de carrés
Comment trouver deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ?
Étapes
· On choisit un carré impair.
· On additionne 1 et on divise par
2 : c’est la base du premier carré.
· On soustrait 1 : c’est la base du
deuxième carré.
· On extrait la racine carrée du
nombre choisi : c’est la base du troisième carré.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 81 le carré choisi. On fait : 81 + 1 = 82, 82 ÷ 2 =
41, 41 – 1 = 40 et √81 = 9. L’égalité est : 412 – 402
= 92. |
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#
5101
15 novembre 2019
Cinq cubes Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?
Étapes
• On trouve une valeur de m telle
que 6m est un cube.
• On extrait la racine cubique de
6m. On note le résultat.
• On remplace la variable m par la
valeur choisie : (m – 1), -m, -m et (m + 1).
• On place les résultats positifs
dans le premier membre de l’égalité, les négatifs sans signe et le
résultat noté dans l’autre membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit m = 36. La racine cubique de
6m est 6. On obtient successivement 35, -36, -36 et 37. L’égalité est :
353 + 373
= 63 + 363 + 363 =
93 528. |
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#
5075
1er novembre 2019
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie successivement 1, 5
et 6 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On multiplie successivement 2, 3
et 7 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 35 et 42, puis 14, 21 et 49. L’égalité est : 72 + 352 + 422 = 142 + 212 + 492 = 3038. |
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#
5074
1er novembre 2019
Double opération
Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de
leurs carrés et la différence de leurs carrés ?
Étapes
• On additionne la somme et la différence de leurs carrés.
• On divise par 2.
• On extrait la racine carrée : c’est un premier nombre.
• On soustrait la somme et la différence de leurs carrés.
• On divise par 2.
• On extrait la racine carrée : c’est un deuxième nombre.
Soit à
trouver deux nombres dont la somme des carrés est 169 et dont la
différence des carrés est 119. On fait : 169 + 119 = 288, 288 ÷ 2 = 144,
√144 = 12. On fait : 169 – 119 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et √25 = 5. Les nombres
sont 12 et 5. |
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# 5073 1er novembre 2019
Douze
carrés
Connaissant deux couples de trois carrés chacun dont la somme est identique, comment trouver six carrés dont la somme est égale à celle de six autres carrés ?
Étapes
• On choisit une égalité dans
laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres
carrés.
• On choisit un nombre supérieur à
la plus grande base : c’est l’opérateur.
• Pour chaque base, on soustrait
et on additionne l’opérateur.
• On place les six premiers
résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le
second membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre
numérique.
Soit 22 + 32
+ 72 = 12 + 52 + 62
l’égalité choisie. On choisit 8
comme opérateur. On fait : 8 – 2 = 6, 8 + 2 = 10, 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11,
8 – 7 = 1 et 8 + 7 = 15. On fait : 8 – 1 = 7, 8 + 1 = 9, 8 – 5 = 3, 8 +
5 = 13, 8 – 6 = 2 et 8 + 6 = 14. L’égalité est : 12 + 52
+ 62 + 102 + 112 + 152 = 22
+ 32 + 72 + 92 + 132 + 142
= 508. |
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#
5072
1er novembre 2019
Différence de carrés Comment trouver deux carrés dont la différence est un carré ?
Étapes
· On choisit un carré.
· On additionne 1 : c’est une base
du premier membre de l’égalité.
· On soustrait 2 : c’est la base du
carré qui est soustrait.
· On multiplie la racine du carré
choisi par 2 : c’est la base du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 25 le carré choisi dont la racine est 5. On fait : 25
+ 1 = 26, 26 – 2 = 24 et 5 × 2 = 10. L’égalité est : 262 – 242
= 102. |
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#
5071
1er novembre 2019
Cinq cubes Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?
Étapes
• On donne des valeurs à a, b et c
telles que 3abc est un cube.
• On remplace chaque variable par
le facteur choisi : (a + b + c), (a + b – c), (a – b + c), (b + c – a).
• On place le plus grand résultat dans le premier membre de l’égalité,
les autres dans l’autre membre. Si un résultat est négatif, on le place
dans le premier membre
• On extrait la racine cubique de
24abc. On place le résultat dans le second membre.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit a = 3, b = 4 et c = 6. On
obtient successivement 13, 1, 5 et 7. La racine cubique de 24abc est 12.
L’égalité est : 133 =
13 + 53 + 73 + 123 =
2197.
Soit a = 2, b = 3 et c = 12. On
obtient successivement 17, -7, 11 et 13. La racine cubique de 24abc est
12. L’égalité est : 173 +
73 = 113 + 123 + 133
= 5256. |
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# 5044
15 octobre 2019
Cinq carrés
Comment trouver trois carrés dont
la somme est égale à celle de deux autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 4
de façon à trouver trois autres nombres.
• Le deuxième et le troisième
nombre sont les bases du premier membre de l’égalité.
• Le premier et le quatrième
nombre sont les bases du deuxième membre de l’égalité.
• On ajoute 8 dans le premier
membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 11 le nombre choisi. On
fait : 11 + 4 = 15, 15 + 4 = 19 et 19 + 4 = 23. On ajoute 8 dans le
premier membre. L’égalité est : 82 + 152 + 192
= 112 + 232 = 650. |
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#
5043
15 octobre 2019
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
5 et 6 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de
l’égalité.
• On additionne successivement 2,
3 et 7 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 8 le nombre choisi. Les sommes sont 9,
13, 14, puis 10, 11, 15. L’égalité est : 92 + 132
+ 142 = 102 + 112 + 152 =
446. |
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#
5042
15 octobre 2019
Différence de carrés Comment trouver deux carrés dont la différence est un carré ?
Étapes
• On choisit un carré
impair.
• On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
• On soustrait 1 : c’est la base du carré qui est
soustrait.
• On extrait la racine du carré choisi : c’est la base du
deuxième membre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 121 le carré choisi. On fait : 121 + 1 = 122, 122 ÷ 2
= 61 et 61 – 1 = 60. L’égalité est : 612 – 602 = 112.
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#
5041
15 octobre 2019
Cinq cubes Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?
Étapes
• On décompose 576 en trois
facteurs a, b et c.
• On remplace chaque variable par
le facteur choisi : (a + b + c), (a – b – c), (b – a – c), (c – a – b).
• On place les résultats positifs
dans un membre de l’égalité, les négatifs sans signe dans l’autre
membre.
• On écrit 24 dans le membre des
négatifs sans signe.
• On ajoute l’exposant 3 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit a = 4, b = 9 et c = 16. On
obtient successivement 29, -21, -11 et 3. L’égalité est : 293
+ 33 = 113
+ 213 + 243 = 24 416. |
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#
5009
24 septembre 2019
Triplets de Pythagore
Comment trouver deux carrés dont
la somme est un carré à partir d’un triplet de Pythagore ?
Étapes
• On choisit un triplet de
Pythagore.
• On multiplie chacune des bases
par un même nombre.
Soit le triplet : 52 +
122 = 132. Par exemple, on choisit 5 comme
multiplicateur. L’égalité est : 252
+ 602 = 652. |
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#
5008
24 septembre 2019
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit un nombre pair.
• On multiplie ce nombre par 1,5.
• On choisit deux nombres dont l’un est
inférieur à la moitié du nombre donné et
l’autre supérieur à la moitié du même nombre
: ce sont deux bases du premier membre de l’égalité.
• Du nombre choisi au départ, on soustrait
chacun des deux derniers nombres choisis : ce sont deux bases du
deuxième membre.
• Du résultat de la deuxième ligne, on
soustrait la somme des deux éléments connus de chaque membre : c’est la
troisième base de chaque membre dans l’ordre.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 16 le nombre choisi. On fait : 16 × 1,5 =
24. On choisit 7 et 11. On fait : 16 – 7 = 9, 16 – 11 = 5, 24 – (7 + 11)
= 6 et 24 – (5 + 9) = 10. L’égalité est : 62 + 72
+ 112 = 52 + 92 + 102 = 206. |
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#
5007
24 septembre 2019
Différence de carrés
Comment trouver la
différence de deux nombres élevés au carré, dont la différence est n,
sans
effectuer le carré de ces nombres
?
Étapes
• On additionne les
deux nombres.
• On multiplie par n.
Soit
à trouver la
différence de
152 et de 72 dont la
différence des bases est 8. On fait : 15 + 7 =
22 et 22 × 8 = 176. La différence est 176. |
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#
5006
24 septembre 2019
Double addition Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs cubes ?
Étapes
• On divise la somme des cubes par la somme des deux
nombres.
• Du carré de la somme des nombres, on soustrait le
résultat précédent.
• On divise par 3 : c’est le produit des deux nombres
cherchés.
• On cherche deux
diviseurs du produit dont la somme est celle donnée.
Soit à trouver deux nombres dont la somme est 8 et dont la
somme des cubes est 152. On fait : 152 ÷ 8 = 19, 64 – 19 = 45 et 45 ÷ 3
= 15. Les diviseurs possibles sont 3 et 5. Les nombres sont 3 et 5. |
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4974
3 septembre 2019
Addition de carrés Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?
Étapes
• On soustrait 1 à la somme.
• On multiplie par 2.
• On additionne 1.
• On extrait la racine carrée.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est un premier
nombre.
• On additionne 1 : c’est un second nombre.
Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des
carrés est 265. On fait : 265 – 1 = 264, 264 × 2 = 528, 528 + 1 = 529,
√529 = 23, 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11 et 11 + 1 = 12. Les deux nombres
sont 11 et 12. |
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#
4973
3 septembre 2019
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?
Étapes
• On choisit
deux triplets de Pythagore.
• On forme un
premier membre de l’égalité avec les deux premiers carrés du premier
triplet et la somme de l’autre triplet.
• On forme un
deuxième membre avec les carrés qui restent.
Soit 72
+ 242 = 252 et
122 + 352 = 372
les deux triplets choisis. Pour le premier
membre, on prend
72,
242 et 372.
Pour le deuxième membre, il reste
122, 352 et 252. L’égalité est : 72
+ 242 + 372 = 122 + 252 + 352
= 1994. |
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#
4972
3 septembre 2019
Différence de carrés
Comment trouver le nombre de couples de carrés dont la
différence est identique ?
Étapes
• On décompose la
différence en ses facteurs premiers.
• On additionne 1 à
chacun des exposants, considérant que l’absence d’exposant correspond à
l’exposant 1.
• On multiplie les
résultats précédents.
• On divise par 2.
Soit à trouver le nombre de couples de carrés dont la
différence des carrés est 315.
On écrit : 315 = 32 × 5 × 7. On fait : 2 + 1 = 3, 1 + 1 = 2,
1 + 1 = 2, 3 × 2 × 2 = 12 et 12 ÷ 2 = 6. On compte six couples de
nombres dont la différence des carrés est 315 : (158, 157), (54, 51),
(34, 29), (26, 19), (22, 13), (18, 3). |
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4971
3 septembre 2019
Carré et cube
Comment trouver la
somme du carré d’un nombre et de son cube
sans élever à
une puissance ?
Étapes
• On multiplie le
nombre par 2.
• On multiplie par le
nombre donné.
• On multiplie par la
moitié du successeur du nombre donné.
Soit à
trouver la
somme du
carré de 14 et du cube
de 14. On fait : 14 × 2 = 28, 28 × 14 = 392 et 392 × 7,5 = 2940. La
somme est 2940. |
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#
4954
21 août 2019
Multiples de 16
Comment trouver un multiple de 16 sans
effectuer de multiplication par 16 ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On ajoute un 0 à la fin.
• On divise par 2.
• On additionne le résultat de la deuxième ligne.
• On additionne le nombre choisi.
Soit à trouver un multiple de 16 à partir de
33. On écrit 330. On fait : 330 ÷ 2 = 165, 165
+ 330 = 495 et 495 + 33 = 528. Le nombre 528
est un multiple de 16. |
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4953
21 août 2019
Quatre carrés Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?
Étapes
• On choisit deux nombres a et b
où a < b.
• On choisit deux nombres c et d
où c < d.
• On fait (ac + bd) et (bc – ad) :
ce sont les bases d’un membre de l’égalité.
• On fait (ad + bc) et (bd – ac) :
ce sont les bases de l’autre membre de l’égalité.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit a = 2, b = 5, c = 3 et d = 4.
On fait : ac + bd = 2 × 3 + 5 × 4 = 26 et bc – ad = 5 × 3 – 2 × 4 = 7.
On fait : ad + bc = 2 × 4 + 5 × 3 = 23 et bd – ac = 5 × 4 – 2 × 3 = 14.
L’égalité est : 262 + 72 = 232 + 142
= 725. |
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#
4952
21 août 2019
Fête des Mères
Connaissant le quantième de mai
qui est la fête des Mères d’une année, comment trouver le quantième de
celle de l’année suivante ?
Étapes
• Si l’année suivante est
ordinaire, on soustrait 1 au quantième donné.
• Si l’année suivante est
bissextile, on soustrait 2 au quantième donné.
• Si le résultat est plus petit
que 8, on additionne 7 : c’est le quantième cherché.
• Si le résultat est plus grand ou
égal à 8, c’est le quantième cherché.
En 1999, la fête de Mères a lieu
le 9 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2000. On fait : 9 –
2 = 7 et 7 + 7 = 14. En 2000, cette fête a lieu le 14 mai.
En 2017, la fête de Mères a lieu
le 14 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2018. On fait : 14
– 1 = 13. En 2018, la fête a lieu le 13 mai. |
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#
4951
21 août 2019 Tracé d’un angle
Un angle droit étant tracé,
comment obtenir trois autres angles droits adjacents ?
Étapes
• Avec
une règle, on prolonge un côté de l’angle droit à partir du point
d’intersection.
• On
prolonge l’autre côté à partir du même point.
L’angle opposé est droit de même que les deux autres angles latéraux. |
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#
4929
6 août 2019
Quatre carrés
Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?
Étapes
· On choisit deux nombres non
consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de
chacun des membres de l’égalité.
· On additionne les deux nombres.
· On soustrait l’un par l’autre les
deux nombres.
· On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
· On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du
plus grand nombre choisi.
· On additionne 1 : c’est la base
d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre
choisi.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 et 8 les nombres choisis. On fait : 3 + 8 = 11, 8 –
3 = 5, 11 × 5 = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité
est : 32 + 282 = 82 + 272 =
793. |
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4928
6 août 2019
Six
carrés
Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ?
Étapes
• On choisit trois nombres dont la
somme est impaire : c’est la base de trois carrés du deuxième membre de
l’égalité.
• On additionne le carré de ces
nombres.
• On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est la base du quatrième carré.
• On élève au carré le nombre qui
suit le dernier résultat.
• On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est la base du cinquième carré.
• On additionne 1 : c’est la base
du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 2, 4 et 5 les nombres
choisis. On fait : 22 + 42 + 52 = 45,
45 – 1 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Le carré de 23 est 529. On fait : 529 – 1 =
528, 528 ÷ 2 = 264 et 264 + 1 = 265. L’égalité est : 2652 = 22
+ 42 + 52 + 222 + 2642. |
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#
4927
6 août 2019
Différence de carrés
Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence
de leurs carrés ?
Étapes
• On décompose la différence en deux facteurs.
• On additionne les deux facteurs.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait les deux facteurs
l’un de l’autre.
• On divise par 2 : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la différence des carrés
est 245. On choisit un couple de facteurs : 5 et 49. On fait : 5 + 49 =
54, 54 ÷ 2 = 27, 49 – 5 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Les deux nombres sont 27 et
22. On pourrait choisir d’autres facteurs comme 7 et 35. Les deux
nombres seraient 21 et 14. |
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#
4926
6 août 2019
Cube d’un nombre Comment trouver un cube sans élever au cube ?
Étapes
• On choisit un
nombre.
• On multiplie le
nombre par son successeur.
• On divise par 2.
• On soustrait le
nombre choisi.
• On élève au carré
chacun des deux résultats précédents.
• On soustrait les
deux carrés
l’un de l’autre.
Soit 9 le nombre
choisi. On fait : 9
× 10 = 90, 90
÷ 2 = 45 et 45 – 9 = 36. On fait : 452 = 2025, 362
= 1296, 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est un cube, celui de 9. |
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#
4900
15 juin 2019
Multiplication par 21
Comment
trouver le produit
d’un nombre multiplié par
21 sans effectuer de multiplication ?
Étapes
• On ajoute un 0 à la
fin du nombre choisi.
• On additionne le
résultat à lui-même.
• On additionne le
nombre choisi.
Soit à trouver le produit de 712 et de 21. On écrit 7120. On fait : 7120 + 7120 = 14 240 et 14 240 + 712 = 14 952. Le produit est 14 952. |
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#
4899
15 juin 2019
Triplets de Pythagore
Comment trouver deux carrés dont
la somme est un carré ? (6)
Étapes
• On choisit un carré impair :
c’est le premier carré.
• On additionne les nombres
impairs consécutifs inférieurs à ce carré : c’est le deuxième carré.
• On additionne les deux résultats
précédents : c’est le troisième carré qui est la somme.
Soit 49 le carré
choisi. La somme de
1, 3, 5, 7, …, 45, 47 est 576 qui est le carré de 24. On fait : 49 + 576
= 625 qui est le carré de 25. L’égalité est : 49 + 576 = 625 ou 72 + 242 = 252.
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# 4898
15 juin 2019
Quatre carrés
Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à
celle de deux autres carrés ? (1)
Étapes
· On choisit deux nombres non
consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de
chacun des membres de l’égalité.
· On
effectue la
différence des carrés des deux nombres.
· On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du
plus grand nombre choisi.
· On additionne 1 : c’est la base
d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre
choisi.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 et 12 les nombres choisis. On fait : 122
- 52 = 119, 119 – 1 = 118, 118 ÷ 2 = 59 et 59 + 1 = 60.
L’égalité est : 52 + 602 = 122 + 592
= 3625. |
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#
4897
15 juin 2019
Cinq carrés
Comment décomposer un carré en la
somme de quatre carrés ? (2)
Étapes
• On choisit un triplet de
Pythagore.
• Les deux premières bases sont
des bases du deuxième membre de l’égalité.
• Du troisième carré du triplet,
on soustrait 1 et on divise
par 2 : c’est une base du deuxième membre.
• On élève au carré le successeur
du dernier résultat.
• On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est une base du deuxième membre.
• On additionne 1 : c’est la base
du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 72
+ 242 = 252 le triplet choisi.
On fait : 252 – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312. Le carré de 313 est
97 969. On fait : 97 969 – 1 = 97 968, 97 968 ÷ 2 = 48 984 et 48 984 + 1
= 48 985. L’égalité est : 48 9852 = 72 + 242
+ 3122 +
48 9842. |
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#
4896
15 juin 2019
Six
carrés
Comment décomposer un carré en une
somme de cinq carrés ? (2)
Étapes
• On choisit quatre nombres dont
la somme est impaire : c’est la base de quatre carrés du deuxième membre
de l’égalité.
• On additionne le carré de ces
nombres.
• On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est la base du cinquième carré.
• On additionne 1 : c’est la base
du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 2, 3, 6
et 10 les nombres choisis. On fait : 22 + 32 + 62
+ 102 = 149, 149 – 1 = 148, 148 ÷ 2 = 74 et 74 + 1 = 75.
L’égalité est : 752 = 22 + 32 + 62
+ 102 + 742. |
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#
4874
3 juin 2019
Addition de carrés
Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît
la somme de leurs carrés ?
Étapes
• On soustrait 1 à la somme.
• On divise par 2.
• On extrait la racine carrée : la partie entière est un
premier nombre.
• On additionne 1 à la partie entière : c’est un second
nombre.
Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des
carrés est 421. On fait : 421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et
14 + 1 = 15. Les deux nombres sont 14 et 15. |
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#
4873
3 juin 2019
Quatre carrés
Comment décomposer un carré en la
somme de trois carrés ?
Étapes
• On choisit un triplet de
Pythagore.
• Les deux premières bases sont
des bases du deuxième membre de l’égalité.
• Du troisième carré du triplet,
on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une troisième base du deuxième
membre.
• On additionne 1 : c’est la base
du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 52
+ 122 = 132 le triplet choisi. On fait : 132
– 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 852 =
52 + 122 +
842. |
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#
4872
3 juin 2019
Cinq carrés
Comment décomposer un carré en la
somme de quatre carrés ?
Étapes
• On choisit trois nombres dont la
somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.
• On additionne le carré de ces
nombres.
• On soustrait 1 et on divise par
2 : c’est une quatrième base du deuxième membre.
• On additionne 1 : c’est la base
du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque
base pour obtenir l’égalité.
Soit 2, 3 et 6 les nombres
choisis. On fait : 22 + 32 + 62 = 49,
49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité est : 252
= 22 + 32 + 62 + 242. |
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#
4871
3 juin 2019
Cube d’un nombre
Comment trouver un
cube sans élever au cube ?
Étapes
• On choisit un
nombre.
• On le multiplie par
lui-même.
• On additionne les
deux résultats précédents.
• On divise par 2. On
note le résultat.
• On soustrait les
deux premiers résultats
l’un de
l’autre.
• On divise par 2. On
note le résultat.
• On élève au carré
chacun des deux résultats notés.
• On soustrait les
deux carrés
l’un de l’autre.
Soit 7 le nombre
choisi. On fait : 7
× 7 = 49, 49
+ 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait : 282
= 784, 212 = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre 343 est le
cube de 7. |
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# 4850
21 mai 2019
Multiples de 14
Comment trouver un multiple de 14 sans
effectuer de multiplication par 14 ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.
• On divise par 2.
• On additionne le résultat noté.
• On soustrait le nombre choisi.
Soit à trouver un multiple de 14 à partir de 57. On note 570. On fait : 570 ÷ 2 = 285, 285 + 570 = 855 et 855 – 57 = 798. Le nombre 798 est un multiple de 14. |
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# 4849
21 mai 2019
Nombre de carrés
Comment trouver combien il y a de carrés inférieurs à un nombre donné ?
Étapes
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On extrait la racine carrée du nombre donné.
• Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Si non,
on
conserve la partie entière.
Soit à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait : √863 =
29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs à 863. |
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# 4848
21 mai 2019
Somme de deux carrés
Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés d’au
moins deux façons ?
Étapes
• On choisit deux carrés.
• On les additionne.
• On choisit deux autres carrés.
• On les additionne.
• On fait le produit des deux sommes précédentes.
• Si le produit est un carré, on accepte 02 comme un des
carrés.
Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et 16. La
somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être la somme
de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 22 +
112 = 125 et 52 + 102 = 125. |
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# 4847
21 mai 2019
Triplets de Pythagore
Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ?
Étapes
• On choisit un nombre non premier : c’est la base d’un premier carré.
• On le multiplie par lui-même.
• On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit
est le résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au
nombre choisi.
• Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et
on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième
carré.
• On additionne les deux facteurs et on divise par 2 :
c’est la base d’un troisième carré qui
est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 12 le nombre choisi.
On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2, 72),
(4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72 – 2 =
70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est : 122
+ 352
= 372.
On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs.
On obtient : 122
+ 162
= 202,
122
+ 92
= 152
et
122
+ 52
= 132.
Si on ne trouve pas de couples de facteurs acceptables, on ne peut pas
trouver de triplets de Pythagore par ce procédé. |
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# 4846
21 mai 2019
Quatre carrés
Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?
Étapes
• On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont
les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.
• On additionne les carrés des deux nombres.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré
du même membre.
• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 42
+ 72 = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité
est : 332 = 42 + 72 +
322. |
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