# 4794          18 avril 2019

Multiples de 5

Comment trouver un multiple de 5 sans effectuer de multiplication par 5 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute 0 ou 5 à la fin du nombre.

Soit à trouver un multiple de 5 à partir de 27. On écrit 270. Les nombres 270 et 275 sont des multiples de 5.

# 4793          18 avril 2019

Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On additionne le nombre choisi et son unité.

• On multiplie la dizaine du nombre choisi par celle du résultat précédent.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On multiplie la dizaine du nombre choisi par l’unité du résultat de la première ligne.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On multiplie l’unité du nombre choisi par elle-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

Soit à trouver le carré de 57. On fait : 57 + 7 = 64. On fait : 5 × 6 = 30. On écrit 300. On fait : 5 x 4 = 20, 300 + 20 = 320. On écrit 3200. On fait : 7 x 7 = 49 et 3200 + 49 = 3249. Le carré est 3249.

# 4792          18 avril 2019

Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux nombres de deux chiffres, élevés au carré sans effectuer le carré de ces nombres ?

Étapes

• On choisit un nombre qui n’a pas de 0 entre 10 et 59.

• On soustrait 1 à l’unité du nombre choisi : c’est la dizaine du second nombre.

• De 10, on soustrait la dizaine du nombre choisi : c’est l’unité du second nombre.

• On compose ce nombre.

• On élève au carré chacun des chiffres du nombre choisi et on fait la somme.

• On accole le même nombre.

Soit à trouver la somme des carrés de 39 et d’un second nombre. On fait : 9 – 1 = 8 et 10 – 3 = 7. Le second nombre est 87. On fait : 3² + 9² = 90. La somme est 9090. En effet, 39² + 87² = 9090.

# 4791          18 avril 2019

Addition de trois carrés

Comment trouver la somme de trois carrés consécutifs quand on connaît seulement les bases des carrés ?

Étapes

· On multiplie la première base par la dernière.

· On additionne 1.

· On multiplie par 3.

· On additionne 2.

Soit à trouver la somme des carrés de 12, 13 et 14. On fait : 12 × 14 = 168, 168 + 1 = 169, 169 × 3 = 507 et 507 + 2 = 509. La somme est 509.

# 4769          3 avril 2019

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de quatre nombres consécutifs dont on connaît le plus petit sans effectuer leur addition ?

Étapes

• On multiplie le plus petit nombre par 4.

• On additionne 6.

Soit à trouver la somme de quatre nombres consécutifs dont le plus petit est 52. On fait : 52 × 4 = 208 et 208 + 6 = 214. La somme est 214.

# 4768          3 avril 2019

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 4, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le  nombre par 4.

• On additionne 16.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 4.

• On divise par 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 4 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 285. On fait : 285 × 4  = 1140, 1140 + 16 = 1156 et √1156 = 34. On fait : 34 – 4 = 30, 30 ÷ 2 = 15 et 15 + 4 = 19. Les deux facteurs sont 15 et 19.

# 4767          3 avril 2019

Diviseurs avec reste

Comment trouver le plus petit entier qui est divisé successivement par des nombres donnés avec un même reste ?

Étapes

• On trouve le plus petit commun multiple des diviseurs.

• On additionne le reste donné.

Soit à trouver le plus petit entier qu’on divise successivement par 4, 5 et 6 avec un reste de 2. Le plus petit commun multiple est 60. On fait : 60 + 2 = 62. Le plus petit entier est 62.

# 4766          3 avril 2019

Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On multiplie par elle-même la dizaine du nombre donné.

• On ajoute deux 0. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les deux chiffres du nombre donné.

• On multiplie par 2.

• On ajoute un 0. On note le résultat.

• On multiplie l’unité par elle-même. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver le carré de 93. On fait : 9 × 9 = 81. On note 8100. On fait : 9 x 3 = 27 et 27 x 2 = 54. On note 540. On fait : 3 x 3 = 9. On note 9. On fait : 8100 + 540 + 9 = 8649. Le carré de 93 est 8649.

# 4739          15 mars 2019

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de trois nombres consécutifs dont on connaît le deuxième sans effectuer leur addition ?

Étape

• On multiplie le deuxième nombre par 3.

Soit à trouver la somme de trois nombres consécutifs : 47, 48 et 49. On fait : 48 × 3 = 144. La somme est 144.

# 4738          15 mars 2019

Soustraction de nombres renversés

Comment trouver la différence d’un nombre de quatre chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• Du premier chiffre, on soustrait le dernier en conservant le signe.

• On ajoute deux chiffres identiques à la différence. On note le résultat.

• Du deuxième chiffre, on soustrait le troisième en conservant le signe.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne ce résultat et celui qui a été noté.

• On multiplie par 9 sans tenir compte du signe.

Soit à trouver la différence de 9286 et de son renversé. On fait : 9 – 6 = 3. On ajoute deux 3 pour obtenir 333. On note 333. On fait : 2 – 8 = -6. On écrit -60. On fait : -60 + 333 = 273 et  273 × 9 = 2457. La différence est 2457.

# 4737          15 mars 2019

Multiples de n

Comment trouver un multiple de n sans effectuer de multiplication par n ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On soustrait successivement n du résultat précédent.

• Du nombre choisi, on soustrait n’importe lequel résultat précédent.

Soit à trouver un multiple de 43 à partir de 547. On fait : 547 – 43 = 504, 504 – 43 = 461, 461 – 43 = 418 et 547 – 418 = 129. Le nombre 129 est un multiple de 43.

# 4736          15 mars 2019

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 4, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On additionne 4 au nombre.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 4 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 221. On fait : 221 + 4 = 225 et √225 = 15. On fait : 15 – 2 = 13 et 13 + 4 = 17. Les deux facteurs sont 13 et 17.

# 4704          24 février 2019

Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 7 sans effectuer la division ?

Étapes

• Du nombre formé par le ou les deux premiers chiffres, on soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur à ce nombre.

• Le résultat prend la place du ou des deux premiers chiffres. On conserve les autres chiffres dans l’ordre.

• On refait les mêmes opérations jusqu’à ce que le résultat soit un nombre inférieur au diviseur.

Soit à trouver le reste de la division de 48 593 par 7. On fait : 48 – 42 = 6. Le nombre est 6593. On fait : 65 – 63 = 2. Le nombre est 293. On fait : 29 – 28 = 1. Le nombre est 13. On fait : 13 – 7 = 6. Le reste est 6.        

Soit à trouver le reste de la division de 95 361 par 7. On fait : 9 – 7 = 2. Le nombre est 25 361. On fait : 25 – 21 = 4. Le nombre est 4361. On fait : 43 – 42 = 1. Le nombre est 161. On fait : 16 – 14 = 2. Le nombre est 21. On fait : 21 – 21 = 0. Le reste est 0.        

# 4703          24 février 2019

Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On choisit un multiple de 10 pour les nombres de deux chiffres, de 100 pour les nombres de trois chiffres, … immédiatement supérieur au nombre à élever au carré.

• Du multiple, on soustrait le nombre à élever au carré.

• On trouve la différence entre le nombre à élever au carré et le résultat précédent.

• On multiplie par le multiple choisi.

• On multiplie le résultat de la deuxième ligne par lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

Soit à trouver le carré de 492. Le multiple choisi est 500. On fait : 500 – 492 = 8, 492 – 8 = 484, 484 × 500 = 242 000, 8 × 8 = 64 et 242 000 + 64 = 242 064. Le carré de 492 est 242 064.

# 4702          24 février 2019

Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux nombres de deux chiffres élevés au carré sans effectuer le carré de ces nombres ?

Étapes

• On multiplie chacune des dizaines par elle-même.

• On additionne les deux résultats.

• On ajoute deux zéros à la fin. On note le résultat.

• On multiplie les chiffres de chacun des nombres choisis.

• On additionne les deux résultats.

• On multiplie par 2.

• On ajoute un zéro à la fin. On note le résultat.

• On multiplie chacune des unités par elle-même.

• On additionne les deux produits. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver la somme des carrés de 26 et de 37. On fait : 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9 et 4 + 9 = 13. On note 1300. On fait : 2 × 6 = 12, 3 × 7 = 21, 12 + 21 = 33 et 33 × 2 = 66. On note 660. On fait : 6 × 6 = 36, 7 × 7 = 49 et 36 + 49 = 85. On note 85. On fait : 1300 + 660 + 85 = 2045. La somme est 2045.

# 4701          24 février 2019

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme  et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On élève la somme des deux nombres au carré.

• On soustrait la somme de leurs carrés.

• On multiplie par 2.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait le précédent.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne la somme initiale des deux nombres.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• De la somme initiale, on soustrait le premier nombre : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 22 et dont la somme des carrés est 274. On fait : 22² = 484, 484 – 274 = 210, 210 × 2 = 420, 484 – 420 = 64 et √64 = 8. On fait : 8 + 22 = 30, 30 ÷ 2 = 15 et 22 – 15 = 7. Les deux nombres sont 7 et 15.

# 4679          9 février 2019

Multiplication de nombres renversés

Comment trouver le produit d’un nombre de trois chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On multiplie le premier chiffre par le dernier.

• On ajoute quatre 0 à la fin.

• On additionne les deux résultats précédents. On note le résultat.

• On additionne le premier et le dernier chiffre.

• On multiplie par le chiffre du milieu.

• On ajoute successivement un 0 et trois 0 à la fin.

• On additionne les deux résultats précédents. On note le résultat.

• On additionne les trois chiffres au carré.

• On ajoute deux 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver le produit de 237 et de son renversé 732. On fait : 2 × 7 = 14. On écrit 140 000. On fait : 14 + 140 000 = 140 014. On fait : 2 + 7 = 9 et 9 × 3 = 27. On écrit 270 et 27 000. On fait : 270 + 27 000 = 27 270. On fait : 2² + 3² + 7² = 62. On écrit 6200. On fait : 140 014 + 27 270 + 6200 = 173 484. Le produit est 173 484.

# 4678          9 février 2019

Deux facteurs

Comment savoir si un nombre peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 4 ?

Étapes

• On additionne 4 au nombre.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un entier, le nombre initial peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 4. Si non, il ne peut pas l’être.

Est-ce que 165 peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 4 ? On fait : 165 + 4 = 169 et √169 = 13. Le nombre 165 peut être décomposé ainsi. Les deux facteurs sont 11 et 15.

Est-ce que 234 peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 4 ? On fait : 234 + 4 = 238 et √238 = 15,43. Le nombre 234 ne peut pas être décomposé ainsi.

# 4677          9 février 2019

Nombre de diviseurs

Comment trouver la quantité de diviseurs d’un nombre donné ?

Étapes

• On décompose le nombre en ses facteurs premiers.

• On additionne 1 à chacun des exposants, considérant que l’absence d’exposant correspond à l’exposant 1.

• On multiplie ces résultats.

Soit à trouver la quantité de diviseurs de 720. On écrit : 720 = 2⁴ × 3² × 5. On fait : 4 + 1 = 5, 2 + 1 = 3, 1 + 1 = 2 et 5 × 3 × 2 = 30. Le nombre 720 a 30 diviseurs. Ce sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720.

# 4676          9 février 2019

Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On multiplie le nombre choisi par 2.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On divise par 2.

Soit à trouver le carré de 15. On fait : 15 × 2 = 30, 30 × 15 = 450 et 450 ÷ 2 = 225. Le carré de 15 est 225.

# 4659          27 janvier 2019

Double opération

Deux nombres de trois chiffres étant les renversés l’un de l’autre, comment trouver les deux nombres quand on connaît leur somme et leur différence ?

Étapes

• On additionne 1 à la centaine de la différence : c’est la différence entre le premier et le troisième chiffre du nombre cherché.

• On trouve les combinaisons de deux chiffres dont la différence est le résultat.

• On choisit la combinaison dont la somme correspond à la centaine de la somme ou aux deux premiers chiffres quand la somme a quatre chiffres : ce sont la centaine et l’unité des nombres cherchés.

• Si la somme a trois chiffres, on divise par 2 la dizaine de la somme : c’est la dizaine du nombre cherché.

• Si la somme a quatre chiffres, on divise par 2 le prédécesseur de la dizaine de la somme : c’est la dizaine du nombre cherché.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 929 et dont la différence est 495. On fait : 4 + 1 = 5. Les combinaisons possibles sont (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4). On choisit (7, 2). On fait : 2 ÷ 2 = 1. Les deux nombres cherchés sont 712 et 217.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 1272 et dont la différence est 198. On fait : 1 + 1 = 2. Les combinaisons possibles sont (6, 4), (7, 5), (8, 6), (9, 7). On choisit (7, 5). On fait : 6 ÷ 2 = 3. Les deux nombres cherchés sont 735 et 537.

# 4658          27 janvier 2019

Multiples de 99

Comment trouver un multiple de 99 sans effectuer de multiplication par 99 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute deux 0 à la fin.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 99 à partir de 675. On écrit 67 500. On fait : 67 500 – 675 = 66 825. Le nombre 66 825 est un multiple de 99.

# 4657          27 janvier 2019

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 3, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 9.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 3.

• On divise par 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 3 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 304. On fait : 304 × 4  = 1216, 1216 + 9 = 1225 et √1225 = 35. On fait : 35 – 3 = 32, 32 ÷ 2 = 16 et 16 + 3 = 19. Les deux facteurs sont 16 et 19.

# 4656          27 janvier 2019

Divisibilité par 8

Comment savoir si un nombre d’au moins quatre chiffres est divisible par 8 sans en effectuer la division ?

Étapes

• Le nombre doit se terminer par un chiffre pair. Si non, il n’est pas divisible par 8.

• On retient les trois derniers chiffres du nombre.

• On divise l’unité par 2.

• On additionne le nombre formé par les deux premiers chiffres du nombre de trois chiffres amputé de l’unité.

• Si le résultat est un multiple de 4, le nombre initial est divisible par 8. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 235 376 est-t-il divisible par 8 ? On retient 376. On fait : 6 ÷ 2 = 3 et 37 + 3 = 40. Le résultat est divisible par 4. Le nombre 235 376 est divisible par 8.

# 4634          12 janvier 2019

Multiples de 37

Comment trouver un multiple de 37 sans effectuer de multiplication par 37 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute trois 0 à la fin.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 37 à partir de 76. On écrit 76 000. On fait : 76 000 – 76 = 75 924. Le nombre 75 924 est un multiple de 37.

# 4633          12 janvier 2019

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 3, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On additionne 2,25 au nombre.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1,5 : c’est un premier facteur.

• On additionne 3 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 378. On fait : 378 + 2,25 = 380,25 et √380,25 = 19,5. On fait : 19,5 – 1,5 = 18 et 18 + 3 = 21. Les deux facteurs sont 18 et 21.

# 4632          12 janvier 2019

Divisibilité par 7

Comment savoir si un nombre de six chiffres est divisible par 7 sans en effectuer la division ?

Étapes

• On partage le nombre en deux tranches ayant chacune trois chiffres.

• On soustrait les deux tranches l’une de l’autre.

• On multiplie la centaine par 2.

• On additionne le nombre amputé de la centaine.

• Si le résultat est un multiple de 7, le nombre initial est divisible par 7. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 742 360 est-il divisible par 7 ? On fait : 742 – 360 = 382. On fait : 3 × 2 = 6 et 6 + 82 = 88. Or, 88 n’est pas un multiple de 7. Le nombre 742 360 n’est pas divisible par 7.

Le nombre 864 283 est-il divisible par 7 ? On fait : 864 – 283 = 581. On fait : 5 × 2 = 10 et 10 + 81 = 91. Or, 91 est un multiple de 7. Le nombre 864 283 est divisible par 7.

# 4631          12 janvier 2019

Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On soustrait 1 au nombre choisi.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

• On additionne 1.

Soit à trouver le carré de 13. On fait : 13 – 1 = 12, 13 + 1 = 14, 12 × 14 = 168 et 168 + 1 = 169. Le carré de 13 est 169.

# 4609          27 décembre 2018

Multiplication de nombres

Comment trouver le produit de deux nombres consécutifs sans avoir besoin du successeur du nombre donné ?

Étapes

• On multiplie le nombre par lui-même.

• On additionne le nombre initial.

Soit à trouver le produit de 27 et de son successeur. On fait : 27 × 27 = 729 et 729 + 27 = 756. Le produit est 756.

# 4608          27 décembre 2018

Multiples de 17

Comment trouver un multiple de 17 sans effectuer de multiplication par 17 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute deux 0 à la fin du nombre.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

Soit à trouver un multiple de 17 à partir de 67. On écrit 6700. On fait : 67 + 67 = 134 et 6700 + 134 = 6834. Le nombre 6834 est un multiple de 17.

# 4607          27 décembre 2018

Deux facteurs

Comment savoir si un nombre peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 3 ?

Étapes

• On additionne 2,25 au nombre.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un nombre rationnel, le nombre initial peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 3. Si non, il ne peut pas être décomposé ainsi.

Est-ce que 154 peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 3 ? On fait : 154 + 2,25 = 156,25 et √156,25 = 12,5. Le nombre 154 peut être décomposé ainsi. Les deux facteurs sont 11 et 14.

Est-ce que 176 peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 3 ? On fait : 176 + 2,25 = 178,25 et √178,25 = 13,35... Le résultat n’est pas un nombre rationnel. Le nombre 176 ne peut pas être décomposé ainsi.

# 4606          27 décembre 2018

Divisibilité par 4

Comment savoir si un nombre est divisible par 4 sans en effectuer la division ?

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres du nombre.

• Si la dizaine est impaire et qu’en même temps l’unité est 2 ou 6, le nombre est divisible par 4.

• Si la dizaine est paire et qu’en même temps l’unité est 0, 4 ou 8, le nombre est divisible par 4.

• Autrement, le nombre n’est pas divisible par 4.

Le nombre  815 552 est-il divisible par 4 ? On prend 52. La dizaine est impaire et l’unité est 2. Le nombre 815 552 est divisible par 4.

Le nombre 913 826 est-il divisible par 4 ? On prend 26. La dizaine est paire, mais l’unité n’est pas 0, 4 ou 8. Le nombre 913 826 n’est pas divisible par 4.

# 4589          15 décembre 2018

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de quatre nombres consécutifs dont on connaît le plus petit sans effectuer d’addition ?

Étapes

• On multiplie le plus petit nombre par 2.

• On additionne 3.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme de quatre nombres consécutifs dont le plus petit est 36. On fait : 36 × 2 = 72, 72 + 3 = 75 et 75 × 2 = 150. La somme est 150.

# 4588          15 décembre 2018

Multiplication par 14

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 14 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

· On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

· On divise par 2.

· On additionne le nombre choisi. On note le résultat.

• On additionne à lui-même le résultat de la première ligne.

• On soustrait le résultat noté.

Soit à trouver le produit de 213 et de 14. On écrit 2130. On fait : 2130 ÷ 2 = 1065 et 1065 + 213 = 1278. On fait : 2130 + 2130 = 4260 et 4260 – 1278 = 2982. Le produit est 2982.

# 4587          15 décembre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 2, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 4.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 2.

• On divise par 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 2 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 483. On fait : 483 × 4  = 1932, 1932 + 4 = 1936 et √1936 = 44. On fait : 44 – 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 21 + 2 = 23. Les deux facteurs sont 21 et 23.

# 4586          15 décembre 2018

Division par 3

Un nombre formé de 8 étant donné, comment trouver le quotient de ce nombre divisé par 3 sans en effectuer la division ?

Étapes

• On compte combien il y a de 8 dans le dividende donné : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit les n premiers chiffres de 296296296 … : c’est le quotient.

• Du multiple de 3 égal ou supérieur à n, on soustrait n : c’est le reste.

Soit à trouver le quotient de 88 888 888 par 3. Le dividende est formé de huit 8. On écrit 29629629. Le multiple de 3 égal ou supérieur à 8 est 9. On fait : 9 – 8 = 1. Le reste est 1. Le résultat est 29 629 629 reste 1.

# 4569          3 décembre 2018

Conversion en nombre arabe

Comment convertir un nombre romain en un nombre arabe ?

Étapes

• On écrit le M ou les M et le signe d’addition. M est mis pour 1000.

• On écrit D ou CD et le signe d’addition. D est mis pour 500 et CD pour 400.

• On écrit le C, les C ou CM et le signe d’addition. C est mis pour 100 et CM pour 900.

• On écrit L ou XL et le signe d’addition. L est mis pour 50 et XL pour 40.

• On écrit le X, les X ou IX et le signe d’addition. X est mis pour 10 et IX pour 9.

• On écrit le V ou IV et le signe d’addition. V est mis pour 5 et IV pour 4.

• On écrit ce qui reste. I est mis pour 1.

Soit à convertir MCDXLIV en un nombre arabe. On écrit : M + CD + XL + IV = 1000 + 400 + 40 + 4 = 1444. Le nombre arabe est 1444.

Soit à convertir MCMLXXXIX en un nombre arabe. On écrit : M + CM + L + XXX + V + IX = 1000 + 900 + 50 + 30 + 9 = 1989. Le nombre arabe est 1989.

Soit à convertir MMDCCCLXXVI en un nombre arabe. On écrit : MM + D + CCC + L + XX + V + I = 2000 + 500 + 300 + 50 + 20 + 5 + 1 = 2876.

# 4568          3 décembre 2018

Multiplication par 13

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 13 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On divise par 2.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne à lui-même le résultat de la première ligne.

• On soustrait le résultat de la quatrième ligne.

Soit à trouver le produit de 316 et de 13. On écrit 3160. On fait : 3160 ÷ 2 = 1580 et 316 + 316 = 632. On fait : 1580 + 632 = 2212, 3160 + 3160 = 6320 et 6320 – 2212 = 4108. Le produit est 4108.

# 4567          3 décembre 2018

Différence de produits

Comment trouver la différence des produits de deux nombres de deux chiffres dont les dizaines sont interverties et dont les unités demeurent les mêmes ?

Étapes

• On soustrait les unités l’une de l’autre.

• On soustrait les dizaines l’une de l’autre.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

• On ajoute un 0 à la fin.

Soit à trouver la différence de 26 × 51 et de 56 × 21. On fait : 6 – 1 = 5, 5 – 2 = 3 et 5 × 3 = 15. On écrit 150. La différence est 150.

# 4566          3 décembre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1.

• On divise par 2 : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 210. On fait : 210 × 4  = 840, 840 + 1 = 841 et √841 = 29. On fait : 29 – 1 = 28, 28 ÷ 2 = 14 et 14 + 1 = 15. Les deux facteurs sont 14 et 15.

# 4549          21 novembre 2018

Multiplication par un multiple

Comment trouver le produit d’un nombre et d’un multiple sans calculer le multiple ?

Étapes

• On multiplie le nombre par lui-même.

• On multiplie par le rang du multiple.

Soit à trouver le produit du quintuple de 7 et de 7. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 × 5 = 245. Le produit est 245.

# 4548          21 novembre 2018

Multiplication par 4

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 4 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On soustrait les deux résultats l’un de l’autre.

• On divise par 2.

Soit à trouver le produit de 367 et de 4. On écrit 3670. On fait : 367 + 367 = 734, 3670 – 734 = 2936 et 2936 ÷ 2 = 1468. Le produit est 1468.

# 4547          21 novembre 2018

Double opération

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît leur produit multiplié par leur somme ?

Étapes

• On cherche les facteurs du produit en commençant par 2.

• S’il y a lieu, on reprend le même facteur.

• On partage les facteurs en trois groupes : le produit des facteurs du premier groupe correspond au plus petit nombre, le produit des facteurs du deuxième groupe correspond au nombre qui suit, le produit des facteurs du troisième groupe correspond à la somme des deux produits précédents. Il peut y avoir un seul facteur par groupe.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont le produit multiplié par la somme est 10 710. On fait : 10 710 ÷ 2 = 5355, 5355 ÷ 3 = 1785, 1785 ÷ 3 = 595, 595 ÷ 5 = 119, 119 ÷ 7 = 17. Les facteurs sont 2, 3, 3, 5, 7 et 17. On peut avoir (17), (2 × 3 × 3) et (5 × 7), soit 17, 18 et 35. Les deux nombres consécutifs sont 17 et 18.

# 4546          21 novembre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1, comment faire pour trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On extrait la racine carrée du nombre.

• On retient la partie entière : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 3192. On fait : √3192 = 56,49. On retient 56. On fait : 56 + 1 = 57. Les deux facteurs sont 56 et 57.

# 4529          9 novembre 2018

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de trois nombres consécutifs sans en effectuer l’addition ?

Étapes

• On additionne 1 au plus petit nombre.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme de trois nombres consécutifs dont le plus petit est 59. On fait : 59 + 1 = 60 et 60 × 3 = 180. La somme est 180.

# 4528          9 novembre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres de deux chiffres ayant la même unité ?

Étapes

• On multiplie les deux dizaines l’une par l’autre.

• On ajoute deux 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les deux dizaines.

• On multiplie par l’unité.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On multiplie par elle-même l’unité commune. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver le produit de 48 et de 78. On fait : 4 × 7 = 28. On écrit 2800. On fait : 4 + 7 = 11 et 11 × 8 = 88. On écrit 880. On fait : 8 × 8 = 64. On fait : 2800 + 880 + 64 = 3744. Le produit est 3744.

# 4527          9 novembre 2018

Multiplication par 16

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 16 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

· On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

· On divise par 2.

· On additionne le nombre choisi.

• On additionne le résultat de la première ligne.

Soit à trouver le produit de 73 et de 16. On écrit 730. On fait : 730 ÷ 2 = 365, 365 + 73 = 438 et 438 + 730 = 1168. Le produit est 1168.

# 4526          9 novembre 2018

Division par 3

Comment trouver le quotient d’un nombre formé de 1 qui est divisé par 3, sans en effectuer la division ?

Étapes

• On compte le nombre de 1.

• On soustrait 1 : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit les n premiers chiffres de 370 370 370 … : c’est le quotient.

• Du nombre de 1 du dividende,  on soustrait le multiple de 3 inférieur au nombre de 1 : c’est le reste.

Soit à trouver le quotient de 11 111 111 par 3. On compte huit 1. On fait : 8 – 1 = 7 : c’est le nombre de chiffres du quotient. On écrit 3703703. Le multiple de 3 inférieur à 8 est 6. On fait : 8 – 6 = 2. Le reste est 2. Le quotient est 3 703 703 reste 2.

# 4509          28 octobre 2018

Addition de nombres consécutifs

Comment trouver la somme de deux nombres consécutifs sans en effectuer l’addition ?

Étapes

• On multiplie le plus petit nombre par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme de deux nombres consécutifs dont le plus petit est 23. On fait : 23 × 2 = 46 et 46 + 1 = 47. La somme est 47.

# 4508          28 octobre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres qui sont à la dizaine près de 100, dont l’un est inférieur à 100 et l’autre supérieur à 100 ?

Étapes

• De chacun des deux nombres, on soustrait 100.

• On additionne les deux résultats.

• On ajoute deux 0  à la fin.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats de la première ligne.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne 10 000.

Soit à trouver le produit de 93 et de 104. On fait : 93 – 100 = -7 et 104 – 100 = 4. On fait : -7 + 4 = -3. On écrit -300. On fait : -7 × 4 = -28, – 300 – 28 = -328 et -328 + 10 000 = 9672. Le produit est 9672.

# 4507          28 octobre 2018

Multiples de 7

Comment trouver un multiple de 7 sans effectuer de multiplication par 7 ?

Étapes

• On choisit un nombre de trois chiffres. 

• On multiplie la centaine par 9.

• On multiplie la dizaine par 3.

• On additionne les deux derniers résultats et l’unité.

• On divise par 7 en retenant le reste.

• Du nombre choisi, on soustrait le reste.

Soit à trouver un multiple de 7 à partir de 857. On fait : 8 × 9 = 72, 5 × 3 = 15 et 72 + 15 + 7 = 94. On fait : 94 ÷ 3 = 13 reste 3 et 857 – 3 = 854. Le nombre 854 est un multiple de 7.

# 4506          28 octobre 2018

Deux facteurs

Connaissant un nombre qui peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1, comment trouver les deux facteurs ?

Étapes

• On additionne 0,25 au nombre.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5 : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à trouver les deux facteurs de 272. On fait : 272 + 0,25 = 272,25 et √272,25 = 16,5. On fait : 16,5 – 0,5 = 16 et 16 + 1 = 17. Les deux facteurs sont 16 et 17.

# 4489          16 octobre 2018

Soustraction de nombres renversés

Comment trouver la différence d’un nombre de trois chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On soustrait le premier et le dernier chiffre du nombre donné.

• On ajoute le même chiffre au résultat.

• On multiplie par 9.

Soit à soustraire 823 et son renversé. On fait : 8 – 3 = 5. On ajoute 5 pour donner 55. On fait : 55 × 9 = 495. La différence est 495.

# 4488          16 octobre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres de trois chiffres ?

Étapes

• On prend deux entiers ayant le même nombre de chiffres.

• On choisit un multiple de 100 immédiatement supérieur au plus grand nombre.

• Du multiple, on soustrait chacun des deux nombres qu’on appelle compléments.

• On multiplie les deux compléments. On note le résultat.

• On trouve la différence entre un nombre et le complément de l’autre.

• On multiplie par le multiple choisi.

• On additionne le résultat noté.

Soit à multiplier 679 et 796. Le multiple choisi est 800. On fait : 800 – 679 = 121, 800 – 796 = 4 et 121 × 4 = 484. On fait : 679 – 4 = 675, 675 × 800 = 540 000 et 540 000 + 484 = 540 484. Le produit est 540 484.

# 4487          16 octobre 2018

Multiplication par 17

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 17 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute deux 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le nombre choisi à lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On divise par 6.

Soit à trouver le produit de 132 et de 17. On écrit 13 200. On fait : 132 + 132 = 264, 13 200 + 264 = 13 464 et 13 464 ÷ 6 = 2244. Le produit est 2244.

# 4486          16 octobre 2018

Deux facteurs

Comment savoir si un nombre peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1 ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 4.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un entier, le nombre initial peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1. Si non, il ne peut pas être décomposé ainsi.

Est-ce que 306 peut être décomposé en deux facteurs qui diffèrent de 1 ? On fait : 306 × 4  = 1224, 1224 + 1 = 1225 et √1225 = 35. Le nombre 306 peut être décomposé en deux facteurs qui sont 17 et 18.

# 4464          1^er octobre 2018

Addition de nombres renversés

Comment trouver la somme d’un nombre de quatre chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On additionne le premier et le dernier chiffre du nombre donné.

• On ajoute trois 0 à la fin.

• On additionne les deux derniers résultats. On note le résultat.

• On additionne les deux chiffres du milieu.

• On multiplie par 11.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les deux résultats notés.

Soit à additionner 5362 et son renversé. On fait : 5 + 2 = 7. On écrit 7000. On fait : 7000 + 7 = 7007. On note 7007. On fait : 3 + 6 = 9 et 9 × 11 = 99. On note 990. On fait : 7007 + 990 = 7997. La somme est 7997.

# 4463          1^er octobre 2018

Soustraction d’un multiple

Comment trouver la différence d’un nombre et de son multiple sans avoir besoin du multiple ?

Étapes

• On soustrait 1 au nombre de fois du multiple.

• On multiplie par le nombre.

Soit à soustraire 9 de son quintuple. On fait : 5 – 1 = 4 et 4 × 9 = 36. La différence est 36.

# 4462          1^er octobre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres qui sont supérieurs à 100 et à la dizaine près de 100 ?

Étapes                                            

• On additionne les unités des deux nombres.

• On additionne 100 : c’est la première tranche.

• On multiplie les unités : c’est la deuxième tranche.

Soit à multiplier 103 et 108. On fait : 3 + 8 = 11, 11 + 100 = 111 et 3 × 8 = 24. Le produit est 11 124.

# 4461          1^er octobre 2018

Multiples de 33

Comment trouver un multiple de 33 sans effectuer de multiplication par 33 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute deux 0 à la fin.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit 47 le nombre choisi. On écrit 4700. On fait : 4700 – 47 = 4653. Le nombre 4653 est un multiple de 33.

# 4444          19 septembre 2018

Addition de nombres renversés

Comment trouver la somme d’un nombre de trois chiffres et de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

• On additionne le premier et le dernier chiffre du nombre donné.

• On ajoute deux 0 à la fin.

• On additionne les deux derniers résultats. On note le résultat.

• On multiplie par 2 le deuxième chiffre du nombre donné.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On additionne les deux résultats notés.

Soit à additionner 354 et son renversé. On fait : 3 + 4 = 7. On écrit 700. On fait : 700 + 7 = 707. On fait : 5 × 2 = 10. On écrit 100. On fait : 707 + 100 = 807. La somme est 807.

# 4443          19 septembre 2018

Soustraction de deux nombres

Comment trouver la différence d’un multiple de 100 et d’un nombre qui lui est inférieur ?

Étapes

• Au besoin, on ajoute, au début du nombre à soustraire, un ou des 0 de façon que ce nombre ait un chiffre de moins que le multiple.

• De 9, on soustrait successivement chacun des chiffres sauf l’unité.

• De 10, on soustrait l’unité.

• On écrit les chiffres obtenus dans l’ordre

Soit à soustraire 376 de 1000. On fait : 9 – 3 = 6, 9 – 7 = 2 et 10 – 6 = 4. La différence est 624.

Soit à soustraire 742 de 10 000. On écrit 0742. On fait : 9 – 0 = 9, 9 – 7 = 2, 9 – 4 = 5 et 10 – 2 = 8. La différence est 9258.

# 4442          19 septembre 2018

Multiplication de deux nombres

Comment trouver le produit de deux nombres qui sont inférieurs et à la dizaine près de 100 ?

Étapes

• De 100, on soustrait les deux nombres.

• On additionne les résultats.

• De 100, on soustrait le dernier résultat : c’est la première tranche.

• On multiplie les deux résultats de la première ligne : c’est la deuxième tranche.

• Quand on obtient seulement un chiffre, on ajoute un 0 au début.

• On place les deux tranches dans l’ordre.

Soit à multiplier 93 et 94. On fait : 100 – 93 = 7 et 100 – 94 = 6. On fait : 7 + 6 = 13, 100 – 13 = 87 et 7 × 6 = 42. Le produit est 8742.

# 4441          19 septembre 2018

Multiples de 12

Comment trouver un multiple de 12 sans effectuer de multiplication par 12 ?

Étapes

• On choisit un nombre de deux chiffres qui appartient à la suite 12, 16, 20, 24, 28, etc.

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• On choisit autant de chiffres que l’on veut à la seule condition que la somme des chiffres, y compris celle de la deuxième ligne, appartienne à la suite, 3, 6, 9, 12, 15, 18, etc.

• On place les derniers chiffres choisis dans l’ordre que l’on veut et on ajoute à la fin le nombre de la première ligne.

Soit 16 le nombre choisi. La somme des chiffres est 7. On choisit 0, 1, 2 et 5 pour qu’avec 7 la somme des chiffres soit 15. Le nombre 512 016 est un multiple de 12, tout comme 120 516 ou 201 516.

# 4419          4 septembre 2018

Addition de nombres renversés

Comment trouver la somme d’un nombre de deux chiffres et de son renversé sans avoir besoin d’utiliser le renversé ?

Étapes

• On additionne les deux chiffres du nombre donné.

• On multiplie par 11.

Soit à additionner 93 et son renversé. On fait : 9 + 3 = 12 et 12 × 11 = 132. La somme est 132.

# 4418          4 septembre 2018

Somme d’un nombre et de son multiple

Comment trouver la somme d’un nombre et de son multiple sans connaître le multiple ?

Étapes

• On additionne 1 au degré du multiple.

• On multiplie par le nombre.

Soit à additionner 7 et son quadruple. On fait : 4 + 1 = 5 et 5 × 7 = 35. La somme est 35.

# 4417          4 septembre 2018

Soustraction de nombres renversés

Comment trouver la différence d’un nombre de deux chiffres et de son renversé sans avoir besoin d’utiliser le renversé ?

Étapes

• On soustrait les deux chiffres du nombre donné.

• On multiplie par 9.

Soit à soustraire 62 et son renversé. On fait : 6 – 2 = 4 et 4 × 9 = 36. La différence est 36.

# 4416          4 septembre 2018

Multiplication par 3

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 3 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On soustrait le nombre choisi.

• On divise par 3.

Soit à multiplier 235 et 3. On écrit 2350. On fait : 2350 – 235 = 2115 et 2115 ÷ 3 = 705. Le produit est 705.

# 4414          22 juin 2018

Multiples de 37

Comment trouver un multiple de 37 sans effectuer de multiplication par 37  ?

Étapes

• Vous mémorisez quelques nombres de trois chiffres divisibles par 37, comme 370, 407, 740, 999, etc.

• Vous demandez à une personne de vous donner un nombre de trois chiffres.

• Vous soustrayez le nombre donné d’un nombre que vous avez mémorisé.

• Vous ajoutez le résultat à gauche ou à droite du nombre que la personne a choisi,

La personne vous donne 241. Vous faites : 370 – 241 =  129. D’où, 129 241 et 241 129 sont des multiples de 37.

# 4413          22 juin 2018

Somme de deux carrés

Comment savoir si un nombre peut être la somme de deux carrés consécutifs ?

Étapes

· On divise le nombre donné par 2.

· On extrait la racine carrée.

· On additionne le carré de la partie entière du résultat et le carré du nombre suivant.

· Si le résultat est égal au nombre donné, ce dernier est la somme de deux carrés consécutifs.

· Si le résultat n’est pas égal au nombre donné, ce dernier ne peut pas être la somme de deux carrés consécutifs.

Le nombre 1556 est-il la somme de deux carrés consécutifs ? On fait : 1556 ÷ 2 = 778, √778 = 27,89 et 27² + 28² = 1513. Le nombre 1556 n’est pas la somme de deux carrés consécutifs.

Le nombre 2113 est-il la somme de deux carrés consécutifs ? On fait : 2113 ÷ 2 = 1056,5, √1056,5 = 32,5 et 32² + 33² = 2113. Le nombre 2113 est la somme de deux carrés consécutifs.

# 4412          22 juin 2018

Nombres pentagonaux

Comment décomposer un nombre pentagonal en deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

• Si le résultat est pair, on divise par 2 ; si non, on conserve le résultat : c’est le premier facteur.

• On divise le pentagonal par le premier facteur : c’est le deuxième facteur.

Soit le pentagonal 425. On fait : 425 × 24 = 10 200, 10 200 + 1 = 10 201, √10 201 = 101. On fait : 101 + 1 = 102 et 102 ÷ 6 = 17. On fait : 425 ÷ 17 = 25. Le pentagonal 425 peut être décomposé en deux facteurs, soit 17 et 25.

Soit le pentagonal 477. On fait : 477 × 24 = 11 448, 11 448 + 1 = 11 449, √11 449 = 107. On fait : 107 + 1 = 108, 108 ÷ 6 = 18 et 18 ÷ 2 = 9. On fait : 477 ÷ 9 = 53. Le pentagonal 477 peut être décomposé en deux facteurs, soit 9 et 53.

# 4411          22 juin 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire m × n où n est plus grand que m ?

Étapes

• On multiplie n par 3.

• On soustrait m.

• On additionne 1.

• On multiplie par m.

• On multiplie par (m + 1).

• On divise par 6.

Soit à trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire 8 × 10. On fait : 10 × 3 = 30, 30 – 8 = 22, 22 + 1 = 23, 23 × 8 = 184, 184 × 9 = 1656 et 1656 ÷ 6 = 276. Le nombre de carrés est 276.

# 4404          16 juin 2018

Deviner deux nombres

Comment deviner deux nombres inférieurs à 9 choisis par une personne ? (Boucheny)

Étapes

• On demande à la  personne de multiplier le premier nombre par 2.

• On demande d’additionner 1.

• On demande de multiplier par 5.

• On demande d’additionner le second nombre choisi.

• On demande le résultat.

• On retranche 5.

• La dizaine est le premier chiffre et l’unité, le second.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4 × 2 = 8, 8 + 1 = 9, 9 × 5 = 45 et 45 + 7 = 52. Le résultat est 52. On fait : 52 – 5 = 47.

# 4403          16 juin 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés c × c dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait (c – 1) à m.

• On soustrait (c – 1) à n.

• On multiplie des deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire 9 × 10. On fait : 9 – 3 = 6, 10 – 3 = 7 et 6 × 7 = 42. Le nombre de carrés est 42.

# 4402          16 juin 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de quatre carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement les deux éléments du milieu de la première ligne et les deux éléments extrêmes de la quatrième ligne de la grille.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement les deux éléments extrêmes de la première ligne et les deux éléments du milieu de la quatrième ligne

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 2, 3, 22 et 25. On écrit : 2² + 3² + 22² + 25² = 1122. On choisit 1, 4, 23 et 24. On écrit : 1² + 4² + 23² + 24² = 1122. L’égalité est : 2² + 3² + 22² + 25² = 1² + 4² + 23² + 24².

# 4401          16 juin 2018

Assemblage de pièces

Comment trouver le nombre possible de façons différentes d’assembler des pièces de 5 sous et de 25 sous pour un montant donné en dollars entiers, tout en ayant au moins une pièce de chaque valeur ?

Étapes

• On multiplie le montant donné par 4.

• On soustrait 1.

Soit un montant de 6 $. On fait : 6 × 4 = 24 et 24 - 1 = 23. On a 23 façons différentes.

# 4394          10 juin 2018

Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière. On note le résultat.

• On multiplie par 2.

• On multiplie par le triangulaire choisi.

• On élève au carré le résultat noté.

• On soustrait du résultat de la sixième ligne.

Le triangulaire choisi est 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48. On retient 7. On fait 7 × 2 = 14, 14 × 28 = 392 et 7² = 49. On fait 392 – 49 = 343. Le nombre 343 est un cube. Il est de rang 7.

# 4393          10 juin 2018

Aiguilles opposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont opposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11.

• On additionne 32 8/11.

• On multiplie la fraction par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11. On fait : 16 4/11 + 32 8/11 = 49 1/11 et 1/11 × 60 = 5,45. On arrondit à 5. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 49 minutes et 5 secondes.

# 4392          10 juin 2018

Un carré magique

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment composer un carré magique en déplaçant les éléments ?

Étapes

• On intervertit les éléments extrêmes d’une diagonale de la grille.

• On intervertit les éléments du milieu de la même diagonale.

• On intervertit les éléments extrêmes de l’autre diagonale.

• On intervertit les éléments du milieu de la même diagonale.

À partir de l’extrait du calendrier, voici comment on procède de gauche à droite :

# 4391          10 juin 2018

Assemblage de pièces

Comment trouver le nombre de façons différentes d’assembler des pièces de 5 sous et de 10 sous pour un montant donné en dollars entier, tout en ayant au moins un 5 sous et un 10 sous ?

Étapes

• On multiplie le montant donné par 10.

• On soustrait 1.

Soit un montant de 2 $. On fait : 2 × 10 = 20 et 20 – 1 = 19. On a 19 façons différentes.

# 4369          26 mai 2018

Triangulaires et pentagonaux

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On multiplie par 2.

Soit un triangulaire et un pentagonal de rang 5. On fait : 5² = 25 et 25 × 2 = 50. La somme du triangulaire et du pentagonal de rang 5 est 50.

# 4368          26 mai 2018

Combinaisons

Comment trouver les huit combinaisons de trois nombres dont la somme est 15 parmi les nombres de 1 à 9 sans faire de calculs ?

Étapes

• On trace une grille 3 × 3.

• On place 1 au centre de la première ligne.

• On place 2 et 3 selon le saut continu du cavalier.

• On place 4 sous le 3.

• On complète la diagonale avec 5 et 6.

• On place le 7 sous le 6.

• On place 8 et 9 selon le saut continu du cavalier.

• On écrit les nombres de chacune des huit rangées.

En remplissant la grille, on trouve ceci :

Les combinaisons sont : (1, 6, 8), (3, 5, 7), (2, 4, 9), (3, 4, 8), (1, 5, 9), (2, 6, 7), (2, 5, 8), (4, 5, 6).

# 4367          26 mai 2018

Somme des nombres

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des 16 nombres sans faire l’addition au long ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de la première ligne.

• On soustrait 6.

• On multiplie par 4.

• On additionne 168.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16, 16 – 6 = 10 et 10 × 4 = 40. On fait : 40 + 168 = 208. La somme des 16 nombres est 208.

# 4366          26 mai 2018

Somme des colonnes

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des colonnes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le troisième élément de la quatrième colonne de la grille.

• On soustrait 14 : c’est la somme des nombres de la quatrième colonne.

• On soustrait successivement  4 de droite à gauche : c’est la somme de la 3^e, 2^e et 1^e colonne.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 18 × 4 = 72, 72 – 14 = 58 : somme de la quatrième colonne. On fait : 58 – 4 = 54 : somme de la troisième colonne. On fait : 54 – 4 = 50 : somme de la deuxième colonne. On fait : 50 – 4 = 46 : somme de la première colonne.

# 4339          8 mai 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer le quotient quand on divise un triangulaire par un carré de même rang, sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On additionne 1 au rang : c’est le numérateur de la fraction.

• On multiplie le rang par 2 : c’est le dénominateur de la fraction.

• On simplifie la fraction au besoin.

Soit à calculer le quotient du triangulaire de rang 9 et du carré de même rang. On fait : 9 + 1 = 10, 9 × 2 = 18. La fraction est 10/18. En simplifiant, on obtient 5/9. En effet, le triangulaire de rang 9 est 45, le carré de même rang est 81 et 45/81 = 5/9.

# 4338          8 mai 2018

Nombres hexagonaux

Comment trouver la différence de deux hexagonaux successifs à partir du rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

Soit un hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 4 = 28 et 28 + 1 = 29. La différence du nombre hexagonal de rang 8 et celui de rang 7 est 29. En effet, le nombre hexagonal de rang 7 est 91 et celui de rang 8 est 120. Puis, 120 – 91 = 29.

# 4337          8 mai 2018

Nombres polygonaux

Comment obtenir un nombre polygonal d’un rang donné ?

Étapes (Bachet)

• On détermine le nombre de côtés du polygone correspondant au nombre.

• On choisit le rang du nombre polygonal.

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par le rang du polygonal. On note le résultat.

• On soustrait 4 au nombre de côtés.

• On soustrait ce résultat à celui qui a été noté.

• On multiplie par le rang du polygonal.

• On divise par 2.

Soit à trouver un nombre pentagonal (5 côtés) de rang 7. On fait : 5 – 2 = 3, 3 × 7 = 21, 5 – 4 = 1 et 21 – 1 = 20. On fait : 20 × 7 = 140 et 140 ÷ 2 = 70. Le nombre pentagonal de rang 7 est 70.

# 4336          8 mai 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et le premier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement le dernier élément de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 4, 12 et 17. On écrit : 4² + 12² + 17² = 449. On choisit 5, 10 et 18. On écrit : 5² + 10² + 18² = 449. L’égalité est : 4² + 12² + 17² = 5² + 10² + 18².

# 4319          26 avril 2018

Plus grand diviseur

Comment trouver le plus grand diviseur d’un nombre donné ?

Étapes

• On trouve le plus petit diviseur.

• On divise le nombre donné par le plus petit diviseur : c’est le plus grand diviseur.

Soit à trouver le plus grand diviseur de 135. Le plus petit diviseur est 3. On fait : 135 ÷ 3 = 45. Le plus grand diviseur de 135 est 45.

# 4318          26 avril 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer le produit d’un carré et d’un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On élève le rang à la quatrième puissance.

• On élève le rang au cube.

• On additionne les deux résultats

• On divise par 2.

Soit à calculer le produit du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7⁴ = 2401, 7³ = 343, 2401 + 343 = 2744 et 2744 ÷ 2 = 1372. En effet, le carré de rang 7 est 49 et le triangulaire de même rang est 28. Or, 49 × 28 = 1372.

# 4317          26 avril 2018

Nombres hexagonaux

Sachant qu’un nombre est hexagonal et connaissant son rang, comment trouver son successeur ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

• On additionne l’hexagonal donné.

Soit 120 l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 4 = 32, 32 + 1 = 33 et 33 + 120 = 153. Le successeur de 120 est 153.

# 4316          26 avril 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des lignes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de chaque ligne de la grille.

• On soustrait 6.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16, 16 – 6 = 10 : somme de la première ligne. On fait : 11 × 4 = 44, 44 – 6 = 38 : somme de la deuxième ligne. On fait : 18 × 4 = 72, 72 – 6 = 66 : somme de la troisième ligne. On fait : 25 × 4 = 100, 100 – 6 = 94 : somme de la quatrième ligne.

# 4299          17 avril 2018

Plus grand diviseur

Un diviseur d’un nombre pair étant donné, comment savoir si ce diviseur est le plus grand ?

Étapes

• On multiplie le diviseur par 2.

• Si le résultat est égal au nombre qui est divisé, ce diviseur est le plus grand.

• Si le résultat n’est pas égal au nombre qui est divisé, ce diviseur n’est pas le plus grand.

Soit 15 un diviseur de 30, le nombre 15 est-il le plus grand diviseur ? On fait : 15 × 2 = 30. Le nombre 15 est le plus grand diviseur.

Soit 48 un diviseur de 144, le nombre 48 est-il le plus grand diviseur ? On fait : 48 × 2 = 96. Le nombre 48 n’est pas le plus grand diviseur.

# 4298          17 avril 2018

Carré et triangulaire

Comment calculer la différence entre un carré et un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

Soit à calculer la différence entre le carré de rang 7 et le triangulaire de même rang. On fait : 7 × 6 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. En effet, le carré de rang 7 est 49 et le triangulaire de même rang est 28. Or, 49 – 28 = 21. La différence est 21.

# 4297          17 avril 2018

Nombres pentagonaux

Comment trouver la différence de deux pentagonaux successifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 3.

• On additionne 1.

Soit un pentagonal de rang 7. On fait : 7 × 3 = 21 et 21 + 1 = 22. La différence du pentagonal de rang 8 et celui de rang 7 est 22.

# 4296          17 avril 2018

Nombres hexagonaux

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ?

Étapes

• On extrait la racine carrée.

• Du nombre, on trouve les deux facteurs qui entourent la racine.

• On prend le plus petit facteur qui est le rang de l’hexagonal.

Soit l’hexagonal 153. On fait : √153 = 12,4. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 9 et 17. Le nombre 153 est un hexagonal de rang 9.

# 4274           7 avril 2018

Différence de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs quand on connaît seulement le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 2 le rang connu.

• On additionne 3.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 × 2 = 18 et 18 + 3 = 21. La différence est 21. En effet, le triangulaire de rang 11 (66) moins celui de rang 9 (45) est 21.

# 4273           7 avril 2018

Nombres pentagonaux

Comment trouver la somme de deux pentagonaux successifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On élève le rang connu au carré.

• On multiplie par 3.

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On additionne 1.

Soit un pentagonal de rang 5. On fait : 5² = 25 et 25 × 3 = 75. On fait : 5 × 2 = 10. On fait : 75 + 10 = 85 et 85 + 1 = 86. La somme du pentagonal de rang 5 et celui de rang 6 est 86.

# 4272           7 avril 2018

Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Du nombre, on trouve les deux facteurs qui entourent la racine.

• On multiplie le plus petit facteur par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le plus petit facteur.

• Si le résultat est égal au nombre initial, ce nombre est hexagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à trouver si 190 est un hexagonal. On fait : √190 = 13,78. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 10 et 19. On fait : 10 × 2 = 20, 20 – 1 = 19 et 19 × 10 = 190. Le nombre 190 est hexagonal.

Soit à trouver si 240 est un hexagonal. On fait : √240 = 15,49. Les deux facteurs qui entourent la racine sont 15 et 16. On fait : 15 × 2 = 30, 30 – 1 = 29 et 29 × 15 = 435. Le nombre 240 n’est pas hexagonal.

# 4271           7 avril 2018

Aiguilles superposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont superposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11 : la partie entière correspond aux minutes.

• On multiplie la fraction par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11 et 4/11 × 60 = 21,81. Ayant arrondi, on obtient 22. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 16 minutes et 22 secondes.

# 4254           25 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui diffèrent de deux rangs sans connaître les triangulaires et ce, à partir de 1 ?

Étapes

• On additionne 1 au rang du plus grand.

• On additionne 3 au rang du plus grand.

• On multiplie par 2 le rang du plus grand.

• On additionne 1.

• On multiplie les résultats, sauf celui de la troisième ligne.

• On divise par 24.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 1, 3, 5 et 7. On fait : 7 + 1 = 8, 7 + 3 = 10, 7 × 2 = 14 et 14 + 1 = 15. On fait : 8 × 10 × 15 = 1200 et 1200 ÷ 24 = 50. La somme est 50.

# 4253           25 mars 2018

Nombres pentagonaux

Sachant qu’un nombre est pentagonal et connaissant son rang, comment trouver son successeur ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On additionne le pentagonal donné.

Soit 51 le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 + 1 = 19 et 19 + 51 = 70. Le successeur de 51 est 70.

# 4252           25 mars 2018

Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat n’est pas un entier, le nombre donné n’est pas hexagonal.

• Si le résultat est un entier, on divise la racine par 4.

• Si le reste est 3, le nombre donné est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 77 est-il hexagonal ? On fait : 77 × 8 = 616, 616 + 1 = 617 et √617 = 24,8. Le nombre 77 n’est pas hexagonal.

Le nombre 120 est-il hexagonal ? On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 ÷ 4 = 7 reste 3. Le nombre 120 est hexagonal.

# 4251           25 mars 2018

Carrés magiques d’ordre 3

Comment former un carré magique d’ordre 3 quand on connaît seulement trois de ses éléments ?

Étapes

• On place le premier élément au centre de la première ligne.

• On place le deuxième élément dans le coin inférieur droit.

• On place le troisième élément dans le coin inférieur gauche.

• On soustrait le premier nombre donné du troisième.

• On additionne le deuxième nombre donné : c’est l’élément du centre.

• On multiplie l’élément du centre par 3 : c’est la somme des éléments dans chaque rangée.

• On complète par rapport à la somme trouvée.

Soit 5, 8 et 12 les trois éléments connus. On place les trois éléments dans le carré. On fait 12 – 5 = 7, 7 + 8 = 15 et 15 × 3 = 45. On obtient ce carré magique.

# 4229           15 mars 2018

Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 4 à m.

• On soustrait 4 à n.

• On multiplie des deux résultats précédents.

Soit à trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire 12 × 15. On fait : 12 – 4 = 8, 15 – 4 = 11 et 8 × 11 = 88. Le nombre de carrés est 88.

# 4228           15 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs sans connaître les deux triangulaires ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par 4.

• On élève ce rang au carré.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 6.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 8 et 11. On fait : 8 × 4 = 32 et 8² = 64. On fait : 32 + 64 = 96 et 96 + 6 = 102. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 11 (66) est 102.

# 4227           15 mars 2018

Différence de carrés

Comment trouver la différence des carrés de deux triangulaires consécutifs connaissant leurs bases ?

Étape

• On élève au cube la base du plus grand triangulaire.

Soit à trouver la différence de 5^D (triangulaire de rang 5) au carré et de 4^D (triangulaire de rang 4) au carré. On fait : 5³ = 125. La différence est 125. En effet, 5^D = 15 et 15² = 225. De plus, 4^D = 10 et 10² = 100. On fait : 225 – 100 = 125.

# 4226           15 mars 2018

Nombres pentagonaux

Comment savoir si un nombre donné est pentagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est pentagonal. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 51 est-il pentagonal ? On fait : 51 × 24 = 1224 et 1224 + 1 = 1225. Le nombre 1225 est un carré, celui de 35. Donc, 51 est pentagonal.

Le nombre 120 est-il pentagonal ? On fait : 120 × 24 = 2880 et 2880 + 1 = 2881. Le nombre 2881 n’est pas un carré. Donc, 120 n’est pas pentagonal.

# 4204            5 mars 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs sans connaître les triangulaires ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par 3.

• On élève le même rang au carré.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 3.

Soit à calculer la somme des triangulaires de rangs 8 et 10. On fait : 8 × 3 = 24 et 8² = 64. On fait : 24 + 64 = 88 et 88 + 3 = 91. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 10 (55) est 91.

# 4203            5 mars 2018

Différence de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étape

• On additionne 1 au rang du plus petit.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 + 1 = 10. La différence est 10. En effet, le triangulaire de rang 10 (55) moins celui de rang 9 (45) est 10.

# 4202           5 mars 2018

Produit de deux triangulaires

Comment calculer le produit de deux triangulaires consécutifs dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On élève au carré le rang suivant du plus petit.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On additionne 2 au rang du plus petit.

• On multiplie la somme par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 4.

Soit à calculer le produit des triangulaires de rangs 6 et 7. On fait : 7² = 49 et 49 × 6 = 294. On fait : 6 + 2 = 8, 294 × 8 = 2352 et 2352 ÷ 4 = 588. Le produit est 588. En effet, le triangulaire de rang 6 est 21, celui de rang 7 est 28 et 21 × 28 = 588.

# 4201            5 mars 2018

Nombres hexagonaux

Comment obtenir un hexagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang donné par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par  le rang donné.

Soit à trouver l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 2 = 16, 16 – 1 = 15 et 15 × 8 = 120. L’hexagonal de rang 8 est 120.

# 4179            23 février 2018

Terme d’un rang donné

Comment trouver le terme d’un rang donné dans la suite 1, 3, 7, 14, 25, 41, 63 … ?

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On additionne 5.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 6.

Soit à trouver le terme de rang 11. On fait : 11 × 11 = 121, 121 + 5 = 126. On fait : 126 × 11 = 1386 et 1386 ÷ 6 = 231.

# 4178            23 février 2018

Nombres triangulaires

Comment trouver un nombre triangulaire élevé au carré ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par le suivant.

• On divise par 2.

• On élève au carré.

• On élève au cube le nombre suivant de celui choisi.

• On additionne les deux derniers résultats.

• On extrait la racine carrée.

Soit 6 le nombre choisi. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 21² = 441. On fait : 7³ = 343, 441 + 343 = 784 et √784 = 28. Le nombre 784 est le carré de 28 qui est un nombre triangulaire.

# 4177            23 février 2018

Somme de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires consécutifs quand on connaît les rangs des triangulaires ?

Étapes

• On prend le plus grand rang.

• On élève au carré.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 9² = 81. La somme du triangulaire de rang 8 (36) et celui de rang 9 (45) est 81.

# 4176            23 février 2018

Nombres pentagonaux

Comment obtenir un pentagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang donné.

• On divise par 2.

Soit à trouver le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 – 1 = 17. On fait : 17 ×  6 = 102 et 102 ÷ 2 = 51. Le pentagonal de rang 6 est 51.

# 4149            11 février 2018

Différence de puissances

Ayant additionné deux nombres élevés au cube et au carré, comment trouver leur différence sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie la plus petite base par elle-même.

• On multiplie par la base inférieure à la plus petite.

• On multiplie la plus grande base par elle-même.

• On multiplie par la base inférieure à la plus grande.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à soustraire la somme de 7³ et de 3³ et la somme de 7² et de 3². On fait : 3 × 3 = 9 et 9 × 2 = 18. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 × 6 = 294. On fait : 294 + 18 = 312. La différence est 312.

# 4148            11 février 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme des termes d’une suite de carrés consécutifs qui commence par 1 et dont le rang du dernier nombre est donné ?

Étapes

• On multiplie le rang, son successeur et la somme des deux rangs.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 9 premiers nombres de la suite 1, 4, 9, 16, 25, ...  On fait : 9 × 10 × 19 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. La somme est 285.

# 4147            11 février 2018

Carrés et triangulaires

Comment trouver un carré à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait la partie entière du résultat de la deuxième ligne.

Le triangulaire choisi est 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48 et 56 – 7 = 49. Le nombre 49 est un carré. Il est de même rang que le triangulaire.

# 4146            11 février 2018

Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit successivement le premier élément de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et le dernier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 3, 12 et 18. On écrit : 3² + 12² + 18² = 477. On choisit 4, 10 et 19. On écrit : 4² + 10² + 19² = 477. Le résultat est : 3² + 12² + 18² = 4² + 10² + 19².

# 4129            3 février 2018

Double suite

Comment trouver le terme de rang donné d’une suite qui commence par 1 et dont la raison est la suite des nombres consécutifs à partir de 1 ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver le terme de rang 12 de la suite : 1, 2, 4, 7, 11, 16, … On fait : 12 × 11 = 132, 132 ÷ 2 = 66 et 66 + 1 = 67. Le terme de rang 12 est 67.

# 4128            3 février 2018

Différence de sommes

Comment trouver la différence de la somme de deux cubes et des deux bases sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le premier nombre.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le deuxième nombre.

• On additionne le résultat de la troisième ligne.

Soit à soustraire la somme de 3³ et de 7³ et la somme de 3 et de 7. On fait : 3 × 3 = 9, 9 – 1 = 8 et 8 × 3 = 24. On fait : 7 × 7 = 49, 49 – 1 = 48 et 48 × 7 = 336. On fait : 336 + 24 = 360. La différence est 360.

# 4127            3 février 2018

Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 2.

• On additionne 0,25.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240 et 240 + 0,25 = 240,25. On fait : √240,25 = 15,5 et 15,5 – 0,5 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

# 4126            3 février 2018

Carré d’un triangulaire

Comment trouver le carré d’un triangulaire dont on connaît seulement le rang ?

Étapes

• On élève le rang au carré.

• On élève le rang suivant au carré.

• On multiplie les deux résultats.

• On divise par 4.

Soit à trouver le carré du triangulaire de rang 4. On fait : 4² = 16, 5² = 25 et 16 × 25 = 400. On fait : 400 ÷ 4 = 100. Le triangulaire de rang 4 est 10. Son carré est 100.

# 4104            24 janvier 2018

Somme de carrés et de cubes

Comment trouver la somme de deux nombres élevés au carré et au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre qui suit le premier.

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On multiplie par le nombre qui suit le deuxième.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à additionner 5² et 8², de même que 5³ et 8³. On fait : 5 × 5 = 25 et 25 × 6 = 150. On fait : 8 × 8 = 64 et 64 × 9 = 576. On fait : 576 + 150  = 726. La somme est 726.

# 4103            24 janvier 2018

Conversion en chiffres romains

Comment transposer un nombre arabe en chiffres romains ?

Étapes

• On décompose le nombre en multiples d’une puissance de 10.

• On fait correspondre les chiffres romains en regard de chaque nombre.

Soit à transposer 1743 en chiffres romains. On écrit : 1000 + 700 + 40 + 3. On écrit : M, DCC, XL et III. Le nombre romain est MDCCXLIII.

# 4102            24 janvier 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme d’une suite de carrés consécutifs dont on connaît le rang du premier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On additionne le rang du premier terme et le nombre de termes.

• On soustrait 1.

• On multiplie ce nombre, son successeur et la somme des deux nombres.

• On soustrait 1 au rang du premier terme.

• On multiplie ce nombre, son successeur et la somme des deux nombres.

• On soustrait le résultat de la troisième ligne.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme de cinq carrés consécutifs à partir du septième carré dans la suite 1, 4, 9, 16, 25, .... On fait : 7 + 5 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 × 12 × 23 = 3036. On fait : 7 – 1 = 6, 6 × 7 × 13 = 546. On fait : 3036 – 546 = 2490 et 2490 ÷ 6 = 415. La somme des carrés est 415.

# 4101            24 janvier 2018

Nombres triangulaires

Comment savoir si un nombre donné est triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Le nombre 40 est-il triangulaire ? On fait : 40 × 8 = 320, 320 + 1 = 321 et √321 = 17,9. Le nombre 40 n’est pas triangulaire.

Le nombre 91 est-il triangulaire ? On fait : 91 × 8 = 728, 728 + 1 = 729 et √729 = 27. Le nombre 91 est triangulaire.

# 4079            14 janvier 2018

Reste de la division par 99

Comment obtenir le reste d’une division par 99 sans effectuer de division ?

Étapes

• On retient le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• À partir de la droite vers la gauche, en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les chiffres de rangs impairs.

• Toujours en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les autres chiffres et on multiplie le résultat par 10.

• On additionne les trois résultats.

• Si la somme est égale ou supérieure à 99, on soustrait 99 jusqu’à ce qu’on obtienne un nombre inférieur à 99.

Soit 746 823 ÷ 99. On retient 23. On fait : 8 + 4 = 12,  6 + 7 = 13 et 13 × 10 = 130. On fait : 23 + 12 + 130  = 165 et 165 – 99 = 66. Le reste de la division est 66.

Soit 6 498 127 ÷ 99. On retient 27. On fait : 1 + 9 + 6 = 16, 8 + 4 = 12 et 12 × 10 = 120. On fait : 27 + 16 + 120 = 163 et 163 – 99 = 64. Le reste de la division est 64.

# 4078            14 janvier 2018

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs dont on connait seulement le plus petit ?

Étapes

• On choisit un carré qui est le plus petit.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne les deux résultats.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

Soit le carré 49. On fait : √49 = 7 et 49 + 7 = 56. Om fait : 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. La somme des deux carrés est 113.

# 4077            14 janvier 2018

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On soustrait 1.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus grande base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 6³ – 5³. On fait : 6 + 5 = 11, 11 – 1 = 10 et 10² = 100. On fait : 100 + 10 = 110 et 110 ÷ 2 = 55. On fait : 6² = 36 et 55 + 36 = 91. La différence des deux cubes est 91.

# 4076            14 janvier 2018

Conversion en binaire

Comment convertir un nombre arabe en binaire ?

Étapes

• On divise le nombre par 2. On note le reste.

• On divise successivement le quotient par 2. On note les restes.

• On forme un nombre en écrivant les restes à partir de la fin.

Soit à convertir 53 en binaire. On fait : 53 ÷ 2 = 26 reste 1, 26 ÷ 2 = 13 reste 0, 13 ÷ 2 = 6 reste 1, 6 ÷ 2 = 3 reste 0, 3 ÷ 2 = 1 reste 1 et 1 ÷ 2 = 0 reste 1. Les restes successifs sont 1, 0, 1, 0, 1, 1. Le nombre binaire est 110 101.

# 4044            10 décembre 2017

Quatre carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre : c’est la base du premier carré.

• On additionne 1 : c’est la base du deuxième carré.

• On multiplie le nombre choisi et le suivant : c’est la base du troisième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du quatrième carré.

Soit 7 le nombre choisi : c’est la base d’un premier carré. On fait : 7 + 1 = 8 : c’est la base du deuxième carré. On fait 7 × 8 = 56 : c’est la base du troisième carré. On fait : 56 + 1 = 57 : c’est la base du quatrième carré. L’égalité est : 7² + 8² + 56² = 57².

# 4043            10 décembre 2017

Multiples de 37

Comment trouver un multiple de 37 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On compose des tranches de trois chiffres. Ces tranches sont formées par trois chiffres identiques ou encore un multiple de 37. Dans ce dernier cas, on ajoute un 0 lorsque requis pour avoir une tranche de trois chiffres.

• On dispose les tranches comme on le veut.

Les nombres suivants sont divisibles par 37 : 111 074 148, 222 555 185, 259 296 370.

# 4042            10 décembre 2017

Division par 99

Soit un nombre de cinq chiffres divisible par 99, comment trouver le quotient de ce nombre quand on le divise par 99 sans effectuer de division ?

Étapes

• Si l’unité du dividende est 0, l’unité du quotient est 0.

• On additionne 1 aux deux premiers chiffres du dividende.

• On place le résultat devant 0.

• Si l’unité du dividende n’est pas 0, on soustrait de 10 l’unité du dividende : c’est l’unité du quotient.

• On place les deux premiers chiffres du dividende devant l’unité du quotient.

Soit à diviser 51 480 par 99. L’unité du quotient est 0. On fait 51 + 1 = 52.  Le quotient est 520.

Soit à diviser 54 252 par 99. On fait : 10 – 2 = 8 : c’est l’unité du quotient. Les deux premiers chiffres du dividende sont 54.  Le quotient est 548.

# 4041            10 décembre 2017

Différence de deux cubes

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la première ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus petite base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 7³ – 6³. On fait : 7 + 6 = 13, 13² = 169, 169 + 13 = 182 et 182 ÷ 2 = 91. On fait : 6² = 36 et 91 + 36 = 127. La différence des deux cubes est 127.

# 4014            28 novembre 2017

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 5 ?

Étapes

• On choisit un multiple impair de 5 : c’est la base du premier carré.

• On élève ce nombre au carré.

• On divise par 10.

• On additionne 2,5 : c’est la base du troisième carré.

• On soustrait 5 : c’est la base du deuxième carré.

Par exemple, on choisit 25 : c’est la base du premier carré. On fait : 25² = 625, 625 ÷ 10 = 62,5 et 62,5 + 2,5 = 65 : c’est la base du troisième carré. On fait : 65 – 5 = 60 : c’est la base du deuxième carré. On peut écrire : 25² + 60² = 65².

# 4013            28 novembre 2017

Somme de nombres et de cubes

Comment trouver la somme de deux nombres et de leurs cubes sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie le premier nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le premier nombre. (*)

• On multiplie le deuxième nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le deuxième nombre. (*)

• On additionne les résultats des lignes marquées d’un astérisque.

Soit à additionner 5 et 8, de même que 5³ et 8³. On fait : 5 × 5 = 25, 25 + 1 = 26 et 26 × 5 = 130. On fait : 8 × 8 = 64, 64 + 1 = 65 et 65 × 8 = 520. On fait : 130 + 520 = 650. La somme est 650.

# 4012            28 novembre 2017

Différence de produits

Comment trouver la différence des produits de deux nombres de deux chiffres dont les unités sont interverties et dont les dizaines demeurent les mêmes ?

Étapes

• On soustrait les unités.

• On soustrait les dizaines.

• On multiplie les deux résultats.

• On ajoute un zéro à la fin.

Soit à trouver la différence de 36 × 84 et de 34 × 86. On fait : 6 – 4 = 2 et 8 – 3 = 5. On fait : 2 × 5 = 10. On ajoute un 0 : cela donne 100. La différence est 100.

# 4011            28 novembre 2017

Carrés consécutifs

Comment trouver la somme d’une suite de carrés consécutifs à partir de 1 dont on connaît le nombre de termes ?

Étapes

• On multiplie le nombre de termes donné par son successeur.

• On additionne les deux nombres précédents.

• On multiplie par le résultat de la première ligne.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 10 plus petits carrés dans la suite 1, 4, 9, 16, 25, ... On fait : 10 × 11 = 110 et 10 + 11 = 21. On fait : 21 × 110 = 2310 et 2310 ÷ 6 = 385. La somme est 385.

# 3994            20 novembre 2017

Reste de la division par 13

Comment trouver le reste de la division par 13 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer de division ?

Étapes

• On écrit la dizaine de mille.

• On multiplie l’unité de mille par 4.

• On multiplie la centaine par 3.

• On additionne les trois résultats.

• On multiplie par 3.