# 6229                      18 janvier 2022

Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de quatre rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 4 le rang donné.

• On additionne 10.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 10. On fait : 10 × 4 = 40 et 40 + 10 = 50. La différence est 50. Le triangulaire de rang 14 est 105 et celui de rang 10 est 55, puis 105 – 55 = 50.

# 6228                      18 janvier 2022

Fête des Pères

Pour une année donnée du 21^e siècle, comment trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères ?

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres de l’année.

• On divise ce nombre par 4. On retient le quotient en ignorant le reste.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année et le quotient.

• On divise la somme par 7. On retient le reste.

• De 18, on soustrait le reste.

Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2025. On fait : 25 ÷ 4 = 6 reste 1. On retient 6. On fait : 25 + 6 = 31, 31 ÷ 7 = 4 reste 3 et 18 – 3 = 15. En 2025, la fête a lieu le 15 juin.

Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2040. On fait : 40 ÷ 4 = 10 reste 0. On retient 10. On fait : 40 + 10 = 50, 50 ÷ 7 = 7 reste 1 et 18 – 1 = 17. En 2040, la fête a lieu le 17 juin.

# 6227                      18 janvier 2022

Billes sur un rectangle

Comment trouver le nombre total de billes disposées sur les côtés d’un rectangle  en plaçant un nombre égal de billes par côté parallèle, dont une bille sur chaque point d’intersection ?

Étapes

• On soustrait 2 au nombre de billes du côté le moins occupé.

• On additionne le nombre de billes du côté le plus occupé.

• On multiplie par 2.

Soit 15 billes sur chacun de deux côtés parallèles et 13 billes sur chacun des deux autres côtés. On fait : 13 – 2 = 11, 11 + 15 = 26 et 26 × 2 = 52. On compte 52 billes.

# 6226                      18 janvier 2022

Ensemble de dominos

Comment trouver le nombre de dominos composant un ensemble quand on connaît le domino ayant la plus grande quantité de points ?

Étapes

• On additionne 1 au nombre de points.

• On multiplie par son successeur.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de dominos dans un ensemble où le maximum de points pour un domino est 9. On fait : 9 + 1 = 10, 10 × 11 = 110 et 110 ÷ 2 = 55. L’ensemble contient 55 dominos.

# 6189                      24 décembre 2021

Chiffre exclu

Comment deviner un chiffre exclu ? (Kordiemsky)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre de trois ou de quatre chiffres,

• d’additionner les chiffres,

• d’exclure un chiffre sauf 0 dans le nombre choisi,

• du nombre restant après exclusion d’un chiffre, de soustraire la somme des chiffres,

• de vous donner le résultat.

• Vous lui dites que vous allez deviner le chiffre exclu.

Vous additionnez les chiffres du résultat donné. Du multiple de 9 supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le chiffre exclu.

La personne choisit 8742. La somme des chiffres est 21. La personne exclut 4. Elle fait 872 – 21 = 851. Elle donne le résultat, soit 851. Vous faites : 8 + 5 + 1 = 14 et 18 – 14 = 4. Le chiffre exclu est 4.

# 6188                      24 décembre 2021

Âge d’une personne

Comment deviner l’âge d’une personne et son mois de naissance ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de prendre le rang du mois de sa naissance,

• d’ajouter 80 à la fin,

• d’additionner son âge,

• de soustraire 200,

• de vous donner le résultat.

Au résultat, vous additionnez 120. Si le nombre a trois chiffres, le premier indique le mois et les deux derniers, l’âge. Si le nombre a quatre chiffres, les deux premiers indiquent le mois et les deux derniers, l’âge.

On suppose qu’une personne a 55 ans et qu’elle est née en mai. La personne ajoute 80 à 5 : cela donne 580. Elle fait : 580 + 55 = 635, 635 – 200 = 435. Vous faites : 435 + 120 = 555.

# 6187                      24 décembre 2021

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

 Étapes

• On écrit une suite arithmétique de sept termes.

• On biffe le 4^e terme.

• On choisit les termes de rangs 1, 4 et 5 : ce sont les bases du 1^er membre de l’égalité.

• On prend  les autres termes : ce sont les bases du 2^e membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. L’égalité est : 3² + 19² + 23² = 7² + 11² + 27² = 899.

# 6186                      24 décembre 2021

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 3, 2, 1 : ce sont les bases du 1^er membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 2, 3 : ce sont les bases du 2^e membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 15 le nombre choisi. On écrit : 15, 18, 20, 21, puis 16, 17, 19, 22. L’égalité est : 15² + 18² + 20² + 21² = 16² + 17² + 19² + 22² = 1390.

# 6154                        3 décembre 2021

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

 Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3 : ce sont les bases du 1^er membre de l’égalité.

• On divise la somme par 3.

• On multiplie par 2.

• Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis : ce sont les bases du 2^e membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7, 8 et 12 les nombres choisis dont la somme est 27. On fait : 27 ÷ 3 = 9 et 9 × 2 = 18. En soustrayant de 18 chacun des nombres choisis, on obtient 11, 10 et 6. L’égalité est : 7² + 8² + 12² = 6² + 10² + 11² = 257.

# 6153                         3 décembre 2021

Décomposition d’un triangulaire

Comment décomposer le carré d’un triangulaire en la somme d’un cube et d’un carré ?

Étapes

• On multiplie le triangulaire par 2.

• On extrait la racine carrée et on conserve la partie entière : c’est le nombre élevé au cube.

• Du triangulaire, on soustrait le résultat précédent : c’est le nombre élevé au carré.

Soit 55 le triangulaire. On fait : 55 × 2 = 110, √110 = 10,49, puis 55 – 10 = 45. On peut écrire : 55² = 10³ + 45².

# 6152                        3 décembre 2021

Triangles de Pythagore

Comment trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle quand on connaît le périmètre et l’aire ?

Étapes

• On multiplie l’aire par 2.

• On trouve les couples de facteurs dont la somme ne dépasse pas le périmètre.

• On retient le couple de facteurs dont la somme des carrés est un carré.

• Les deux premières bases sont les côtés de l’angle droit. La troisième est l’hypoténuse.

Soit à trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont le périmètre est de 56 unités et dont l’aire est de 84 unités carrées. On fait : 84 × 2 = 168. Les couples de facteurs sont : (4, 42), (6, 28), (7, 24), (8, 21), (12, 14). On retient le couple (7, 24) car 7² + 24² = 25². Les côtés de l’angle droit mesurent 7 et 24 unités. L’hypoténuse mesure 25 unités.

# 6151                        3 décembre 2021

Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont on connaît le périmètre et dont la longueur a un nombre donné d’unités de plus que la largeur ?

Étapes

• On multiplie par 2 le nombre d’unités de plus.

• Du périmètre, on soustrait le résultat.

• On divise par 4 : c’est la largeur.

• On additionne le nombre d’unités de plus : c’est la longueur.

Soit à trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont le périmètre est de 26 unités quand la longueur mesure 7 unités de plus que la largeur. On fait : 7 × 2 = 14, 26 – 14 = 12, 12 ÷ 4 = 3 et 3 + 7 = 10. La longueur mesure 10 unités et la largeur 3 unités.

# 6119                 12 novembre 2021

Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 2.

• On cherche le carré inférieur au produit.

• On soustrait les deux résultats.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240. Le carré inférieur à 240 est 225. On fait : 240 – 225 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

# 6118                 12 novembre 2021

Quatre carrés

Comment trouver un carré qui est la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On élève au carré.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On élève au carré.

• On additionne le carré de la deuxième ligne.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est la base du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : (5² – 1) ÷ 2 = 12. Le carré de 12 est 144. On fait : 144 + 25 = 169, (169 – 1) ÷ 2 = 84. On fait : 84 + 1 = 85. On a : 5² + 12² + 84² = 85².

# 6117                 12 novembre 2021

Décomposition d’hexagonaux

Comment décomposer un nombre hexagonal en deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 4 : c’est un premier facteur.

• On divise l’hexagonal donné par le premier facteur : c’est un deuxième facteur.

Soit à décomposer l’hexagonal 120. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 + 1 = 32, 32 ÷ 4 = 8 et 120 ÷ 8 = 15. L’hexagonal 120 peut être décomposé en deux facteurs, soit 8 et 15.

# 6116                 12 novembre 2021

Fête des Pères

Connaissant le jour de la semaine du 1^er janvier d’une année, comment trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en cette même année ?

Étapes

• Si l’année est ordinaire, le 1^er juin est le jour de la semaine suivant de quatre rangs celui du 1^er janvier.

• Si l’année est bissextile, le 1^er juin est le jour de la semaine précédant de deux rangs celui du 1^er janvier.

• On établit le quantième du premier dimanche de juin.

• On additionne 14.

Le 1^er janvier 2018 est un lundi. Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2018. Le 1^er juin est un vendredi. Le premier dimanche de juin est le 3. On fait : 3 + 14 = 17. En 2018, la fête a lieu le 17 juin.

Le 1^er janvier 2020 est un mercredi. Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2020. Le 1^er juin est un lundi. Le premier dimanche de juin est le 7. On fait : 7 + 14 = 21. En 2020, la fête a lieu le 21 juin.

# 6089                  24 octobre 2021

Éléments d’un carré magique

Comment trouver la somme des n éléments de toute rangée dans un carré magique qui contient les entiers consécutifs de 1 à n² ?

Étapes

• On additionne 1 au plus grand nombre.

• On multiplie par le nombre de rangées horizontales (ou verticales).

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des éléments de toute rangée dans un carré magique 6 × 6. On fait : 1 + 36 = 37, 37 × 6 = 222 et 222 ÷ 2 = 111. La somme est 111.

# 6088                    24 octobre 2021

Triangles de Pythagore

Comment trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle à partir de la suite de Fibonacci ?

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

• On effectue la somme des carrés des deux nombres : c’est l’hypoténuse.

• On effectue la différence des carrés des deux nombres : c’est un côté de l’angle droit.

• On soustrait l’un de l’autre les carrés des deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée : c’est l’autre côté de l’angle droit.

Soit à trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle. On choisit 13 et 21. On fait : 13² + 21² = 610, 21² – 13² = 272, 610² – 272² = 298 116 et √298 116 = 546. Les côtés de l’angle droit mesurent 272 et 546 unités. L’hypoténuse mesure 610 unités.

# 6087                  24 octobre 2021

Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 3,

• d’additionner 3,

• de soustraire le nombre choisi,

• de vous donner le résultat.

Vous soustrayez 3 au résultat. Vous divisez par 2. Le quotient est le nombre choisi.

La personne choisit 53. Elle fait : 53 × 3 = 159, 159 + 3 = 162 et 162 – 53 = 109. Le résultat est 109. Vous faites : 109 – 3 = 106 et 106 ÷ 2 = 53. Le nombre choisi est 53.

# 6086                  24 octobre 2021

Fête des Mères

Pour une année donnée du 21^e siècle, comment trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères ?

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres de l’année.

• On divise par 4. On retient le quotient en ignorant le reste.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année et le quotient.

• On divise la somme par 7. On retient le reste.

• De 14, on soustrait le reste.

Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2025. On fait : 25 ÷ 4 = 6 reste 1. On retient 6. On fait : 25 + 6 = 31, 31 ÷ 7 = 4 reste 3 et 14 – 3 = 11. En 2025, la fête a lieu le 11 mai.

Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2040. On fait : 40 ÷ 4 = 10 reste 0. On retient 10. On fait : 40 + 10 = 50, 50 ÷ 7 = 7 reste 1 et 14 – 1 = 13. En 2040, la fête a lieu le 13 mai.

# 6049           30 septembre 2021

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit quatre nombres.

• On multiplie l’un par l’autre les deux premiers nombres.

• On multiplie l’un par l’autre les deux derniers nombres.

• On additionne les deux produits : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On soustrait les deux produits : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le deuxième nombre choisi par le troisième.

• On multiplie l’un par l’autre les deux autres nombres.

• On additionne les deux produits : c’est une base du deuxième membre.

• On soustrait les deux produits : c’est une base du premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3, 4, 5 et 6 les nombres choisis. On fait : 3 × 4 = 12, 5 × 6 = 30, 12 + 30 = 42 et 30 – 12 = 18. On fait : 4 × 5 = 20, 3 × 6 = 18, 18 + 20 = 38 et 20 – 18 = 2. On écrit : 2² + 42² = 18² + 38² = 1768.

# 6048           30 septembre 2021

Triangles de Pythagore

Comment trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle à partir de la suite de Fibonacci ?

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

• On effectue la somme des carrés des deux nombres : c’est l’hypoténuse.

• On multiplie par 2 le produit des deux nombres : c’est un côté de l’angle droit.

• On soustrait l’un de l’autre les carrés des deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée : c’est l’autre côté de l’angle droit.

Soit à trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle. On choisit 8 et 13. On fait : 8² + 13² = 233, 8 × 13 × 2 = 208, 233² – 208² = 11 025 et √11 025 = 105. Les côtés de l’angle droit mesurent 105 et 208 unités. L’hypoténuse mesure 233 unités. On peut écrire : 105² + 208² = 233² = 54 289.

# 6047           30 septembre 2021

Chiffre exclu

Comment deviner un chiffre exclu ? (Boucheny)

Étapes

• Vous écrivez cinq ou six nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 9 dans chaque cas.

• Vous demandez à une personne d’y choisir deux nombres,

• d’additionner les deux nombres,

• d’exclure un chiffre sauf 0,

• de vous donner les chiffres qui restent dans le désordre.

• Vous lui dites que vous allez deviner le chiffre exclu.

Vous additionnez les chiffres donnés. Du multiple de 9 supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le chiffre exclu.

Vous écrivez 198, 468, 531, 927, 2637, 3123. La personne choisit 468 et 3123. Elle fait : 468 + 3123 = 3591. Elle vous donne 1, 5 et 9. La somme est 15. Vous faites : 18 – 15 = 3. C’est le chiffre exclu.

# 6046           30 septembre 2021

Fête des Mères

Connaissant le jour de la semaine du 1^er janvier d’une année, comment trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en cette même année ?

Étapes

• Si l’année est ordinaire, le 1^er mai est le jour de la semaine suivant celui du 1^er janvier.

• Si l’année est bissextile, le 1^er mai est le deuxième jour de la semaine suivant celui du 1^er janvier.

• On établit le quantième du premier dimanche de mai.

• On additionne 7.

Le 1^er janvier 2018 est un lundi. Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2018. Le 1^er mai est un mardi. Le premier dimanche de mai est le 6. On fait : 6 + 7 = 13. En 2018, la fête a lieu le 13 mai.

Le 1^er janvier 2020 est un mercredi. Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2020. Le 1^er mai est un vendredi. Le premier dimanche de mai est le 3. On fait : 3 + 7 = 10. En 2020, la fête a lieu le 10 mai.

# 6014             9 septembre 2021

Quatre carrés

Comment trouver un carré qui est la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres tels que le double de leur produit est un carré.

• On fait la somme : c’est la base du premier membre de l’égalité.

• On écrit les deux nombres dans le deuxième membre de l’égalité.

• On extrait la racine carrée du double du produit des deux nombres choisis : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base.

Soit 8 et 9 les deux nombres choisis. Leur somme est 17. On écrit 8 et 9. On fait : √(2 × 8 × 9) = 12. On écrit : 17² = 8² + 9² + 12².

# 6013             9 septembre 2021

Dix-huit puissances 8

Comment trouver neuf nombres élevés à la puissance 8 dont la somme est égale à celle de neuf autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 24, 30, 83, 86, 133, 157, 181, 197 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 17, 41, 65, 112, 115, 168, 174, 198 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 8 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 27, 33, 86, 89, 136, 160, 184, 200, puis 4, 20, 44, 68, 115, 118, 171, 177, 201. On écrit : 3⁸ + 27⁸ + 33⁸ + 86⁸ + 89⁸ + 136⁸ + 160⁸ + 184⁸ + 200⁸ = 4⁸ + 20⁸ + 44⁸ + 68⁸ + 115⁸ + 118⁸ + 171⁸ + 177⁸ + 201⁸ = 4 427 301 291 098 351 172.

# 6012             9 septembre 2021

Soustraction mixte

Comment trouver la différence d’un hexagonal et d’un triangulaire de même rang ?

Étapes

• On choisit un rang.

• On multiplie par 3 le prédécesseur du rang.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la différence de l’hexagonal et du triangulaire de rang 7. On fait : 6 × 3 = 18, 18 × 7 = 126 et 126 ÷ 2 = 63. La différence est 63. L’hexagonal est 91 et le triangulaire est 28.

# 6011             9 septembre 2021

Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure entière de l’hypoténuse dans un triangle rectangle, comment trouver les mesures entières des côtés de l’angle droit ?

Étapes

• On décompose la mesure de l’hypoténuse en une somme de deux carrés différents.

• On multiplie l’une par l’autre les deux bases des carrés.

• On multiplie par 2 : c’est la mesure d’un côté de l’angle droit.

• On fait la différence des carrés des deux bases : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

Soit à trouver les mesures entières des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont la mesure de l’hypoténuse est de 74 unités. On fait : 5² + 7² = 74, 5 × 7 = 35, 35 × 2 = 70 et 7² – 5² = 24. Les côtés de l’angle droit mesurent 70 et 24 unités.

# 5973             3 juin 2021

Différence de deux carrés

Comment trouver la différence de deux carrés dont la somme est un multiple de 50.

Étapes

· On choisit deux nombres dont la somme est un multiple de 50.

· On soustrait les deux nombres l’un de l’autre.

· On divise la somme par 100.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On ajoute deux 0 à la fin.

On choisit 115 et 85 dont la somme est 200. On fait : 115 – 85 = 30, 200 ÷ 100 = 2 et 30 × 2 = 60. On ajoute deux 0. La différence est 6000.

# 5972             3 juin 2021

Addition mixte

Comment trouver la somme d’un pentagonal et d’un hexagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 7.

• On soustrait 3.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un pentagonal et d’un hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 7 = 56, 56 – 3 = 53, 53 × 8 = 424 et 424 ÷ 2 = 212. La somme est 212. Le pentagonal est 92 et l’hexagonal est 120.

# 5971             3 juin 2021

Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure paire d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, comment trouver les autres mesures entières des côtés ?

Étapes

• On divise par 2 la mesure du côté de l’angle droit.

• On décompose le résultat en deux facteurs.

• On effectue la différence des carrés des deux facteurs : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

• On effectue la somme des carrés des deux facteurs : c’est la mesure de l’hypoténuse.

Soit à trouver les autres mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont la mesure d’un côté de l’angle droit est de 76 unités. On fait : 76 ÷ 2 = 38, 38 = 2 × 19, 19² – 2² = 357 et 2² + 19² = 365. L’autre côté de l’angle droit mesure 357 unités. L’hypoténuse mesure 365 unités.

# 5954             21 mai 2021

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On écrit un troisième nombre qui est l’opposé de la somme.

• On écrit l’opposé de chacun de ces trois nombres.

• On choisit un nombre supérieur au plus grand qu’on additionne à chacun des six nombres.

• Les trois premiers nombres font partie du premier membre de l’égalité et les trois autres, du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base.

Soit 2 et 3 les deux nombres choisis. Le troisième nombre est -5. Les opposés sont -2, -3 et 5. On choisit 10. Les trois premiers nombres sont 12, 13 et 5. Les trois autres sont 8, 7 et 15. On écrit : 5² + 12² + 13² = 7² + 8² + 15² = 338.

# 5953             21 mai 2021

Double d’un triangulaire

Comment décomposer le double d’un triangulaire en deux facteurs qui sont des nombres consécutifs ?

Étapes

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à décomposer 342 qui est le double du triangulaire 171. On fait : √342 = 18,49. La partie entière est 18. On fait : 18 + 1 = 19. Les deux facteurs sont 18 et 19.

# 5952             21 mai 2021

Addition mixte

Comment trouver la somme d’un carré et d’un hexagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

Soit à trouver la somme du carré et de l’hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 3 = 21, 21 – 1 = 20 et 20 × 7 = 140. La somme est 140. Le carré est 49 et l’hexagonal est 91.

# 5951             21 mai 2021

Douze cubes

Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?

Étapes

• On choisit un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs 1, 6 et 8 : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• On attribue à n les valeurs 2, 4 et 9 : ce sont des bases du second membre de l’égalité.

• On choisit un nombre supérieur au plus grand nombre trouvé.

• De ce nombre, on soustrait les résultats de la deuxième ligne : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• Du même nombre, on soustrait les résultats de la troisième ligne : ce sont des bases du second membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

On choisit (2n + 1). À 1, 6, 8 correspondent 3, 13, 17. À 2, 4, 9 correspondent 5, 9, 19. On choisit 21. Les différences sont 18, 8, 4, puis 16, 12, 2. En respectant l’ordre numérique, on peut écrire : 3³ + 4³ + 8³ + 13³ + 17³ + 18³ = 2³ + 5³ + 9³ + 12³ + 16³ + 19³ = 13 545.

# 5909             24 avril 2021

Cinq carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit 0 et deux autres nombres dont la somme est divisible par 3.

• On additionne les nombres.

• On multiplie par 2/3.

• Du résultat, on soustrait les nombres choisis.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base.

Soit 0, 5 et 7 les nombres choisis. La somme est 12. On fait : 12 × 2/3 = 8, 8 – 0 = 8, 8 – 5 = 3 et 8 – 7 = 1. On écrit : 1² + 3² + 8² = 5² + 7² = 74.

# 5908             24 avril 2021

Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 3 le rang donné.

• On additionne 6.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 12. On fait : 12 × 3 = 36 et 36 + 6 = 42. La différence est 42. Le triangulaire de rang 12 est 78 et celui de rang 15 est 120.

# 5907             24 avril 2021

Addition d’hexagonaux

Comment trouver la somme de deux hexagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 4.

• On additionne 2.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme des hexagonaux de rangs 5 et 6. On fait : 5 × 4 = 20,  20 + 2 = 22, 22 × 5 = 110 et 110 + 1 = 111. La somme est 111. L’hexagonal de rang 5 est 45 et celui de rang 6 est 66.

# 5906             24 avril 2021

Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure impaire d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, comment trouver les autres mesures entières des côtés ?

Étapes

• On décompose la mesure du côté de l’angle droit en deux facteurs.

• On effectue la différence des carrés des deux facteurs

 • On divise par 2 : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

• On effectue la somme des carrés des deux facteurs.

 • On divise par 2 : c’est la mesure de l’hypoténuse.

Soit à trouver les autres mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont la mesure d’un côté de l’angle droit est de 63 unités. On fait : 63 = 7 × 9, 9² – 7² = 32, 32 ÷ 2 = 16, 7² + 9² = 130 et 130 ÷ 2 = 65. L’autre côté de l’angle droit mesure 16 unités. L’hypoténuse mesure 65 unités.

# 5879             6 avril 2021

Différence de cubes consécutifs

Comment trouver la différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On additionne les deux bases.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat de la première ligne.

• On divise par 2.

• On élève au carré la plus petite base.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à effectuer 7³ – 6³. On fait : 7 + 6 = 13, 13² = 169, 169 + 13 = 182 et 182 ÷ 2 = 91. On fait : 6² = 36 et 91 + 36 = 127. La différence des deux cubes est 127.

# 5878             6 avril 2021

Dix triangulaires

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de cinq autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 4, 8, 16, 17 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 10, 14, 18 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 11, 15, 23, 24, puis 8, 9, 17, 21, 25. L’égalité est : 7^D + 11^D + 15^D + 23^D + 24^D = 8^D + 9^D + 17^D + 21^D + 25^D  = 790.

# 5877             6 avril 2021

Hexagonaux et carrés

Comment trouver un nombre hexagonal à partir d’un carré ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine du carré donné.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un hexagonal à partir du carré 81. On fait : 81 × 2 = 162, √81 = 9 et 162 – 9 = 153. Le nombre 153 est hexagonal. Il est de rang 9.

# 5876             6 avril 2021

Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure entière d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, comment trouver les autres mesures entières des côtés ?

Étapes

• On élève au carré la mesure donnée.

• On décompose le résultat en couples de facteurs différents dont la somme est paire.

• On fait la différence des deux facteurs pour chaque couple.

• On divise par 2 : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

• On additionne les deux facteurs.

• On divise par 2 : c’est la mesure de l’hypoténuse.

Soit à trouver les autres mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont la mesure d’un côté de l’angle droit est de 20 unités. On fait : 20² = 400. Les couples de facteurs sont : (2, 200), (4, 100), (8, 50), (10, 40). On fait : 200 – 2 = 198, 198 ÷ 2 = 99, 200 + 2 = 202 et 202 ÷ 2 = 101. L’autre côté de l’angle droit mesure 99 unités et l’hypoténuse 101 unités. On fait de même avec les trois autres couples. On obtient (20, 48, 52), (20, 21, 29) et (20, 15, 25).

# 5839             12 mars 2021

Cinq carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On écrit un troisième nombre qui est l’opposé de la somme.

• On écrit l’opposé de chacun de ces trois nombres.

• On prend le plus grand nombre qu’on additionne à chacun des six nombres.

• Les trois premiers nombres font partie du premier membre de l’égalité et les deux autres, du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base.

Soit 3 et 5 les nombres choisis. Le troisième nombre est -8. Les opposés sont -3, -5, 8. On prend 8. Les trois premiers nombres sont 11, 13 et 0. Les trois autres sont 5, 3, 16. On écrit : 3² + 5² + 16² = 11² + 13² = 290.

# 5838             12 mars 2021

Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à celle de deux autres carrés. Il ne doit pas avoir de nombres consécutifs dans cette égalité.

• On remplace chaque nombre élevé au carré par son prédécesseur et lui-même tout en conservant le signe d’égalité en bonne position.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2² + 42² = 18² + 38² l’égalité choisie. On écrit successivement 1 et 2, 41 et 42, 17 et 18, 37 et 38. L’égalité est : 1^D + 2^D + 41^D + 42^D = 17^D + 18^D + 37^D + 38^D = 1768.

# 5837             12 mars 2021

Addition mixte

Comment trouver la somme d’un carré et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 5.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un carré et d’un pentagonal de rang 7. On fait : 7 × 5 = 35, 35 – 1 = 34, 34 × 7 = 238 et 238 ÷ 2 = 119. La somme est 119. Le carré est 49 et le pentagonal est 70.

# 5836             12 mars 2021

Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un hexagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 5.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un triangulaire et d’un hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 5 = 35, 35 – 1 = 34, 34 × 7 = 238 et 238 ÷ 2 = 119. La somme est 119. Le triangulaire est 28 et l’hexagonal est 91.

# 5804             18 février 2021

Somme de nombres

Trois chiffres étant donnés, comment trouver la somme des six nombres différents formés de deux de ces chiffres sans repérer les six nombres ?

Étapes

• On additionne les chiffres.

• On multiplie par 22.

Soit les chiffres 2, 3 et 8. On fait : 2 + 3 + 8 = 13 et 13 × 22 = 286.

Vérification. Les six nombres sont 23, 28, 32, 38, 82, 83. Leur somme est 286.

# 5803             18 février 2021

Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.

• On multiplie A par son successeur.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait le résultat précédent.

• On multiplie A par 2.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.

• On additionne A : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des triangulaires est 21 et dont la différence des carrés est 39. On fait : 21 × 2 = 42, 42 – 39 = 3, A = 3 et 3 × 4 = 12. On fait : 42 – 12 = 30, 3 × 2 = 6, 30 ÷ 6 = 5 et 5 + 3 = 8. Les deux nombres sont 5 et 8.

# 5802             18 février 2021

Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ?

Étapes

• On soustrait le triangulaire et son rang.

• On élève au carré.

• On élève le triangulaire donné au carré.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 – 8 = 28, 28² = 784, 36² = 1296 et 1296 – 784 = 512. Le nombre 512 est un cube. C’est le cube de 8.

# 5801             18 février 2021

Rang d’un hexagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 4.

Soit à trouver le rang de l’hexagonal 120. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961, √961 = 31, 31 + 1 = 32 et 32 ÷ 4 = 8. L’hexagonal 120 est de rang 8.

# 5769             27 janvier 2021

Seize puissances 7

Comment trouver huit nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à celle de huit autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 13, 28, 70, 82, 124, 139, 151 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 4, 7, 34, 61, 91, 118, 145, 148 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 18, 33, 75, 87, 129, 144, 156, puis 9, 12, 39, 66, 96, 123, 150, 153. On écrit : 6⁷ + 18⁷ + 33⁷ + 75⁷ + 87⁷ + 129⁷ + 144⁷ + 156⁷ = 9⁷ + 12⁷ + 39⁷ + 66⁷ + 96⁷ + 123⁷ + 150⁷ + 153⁷ = 4 177 895 679 571 212.

# 5768             27 janvier 2021

Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.

• On divise la différence des carrés par A.

• On additionne A.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait A : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des triangulaires est 30 et dont la différence des carrés est 56. On fait : 30 × 2 = 60, 60 – 56 = 4, A = 4, 56 ÷ 4 = 14, 14 + 4 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et 9 – 4 = 5. Les deux nombres sont 5 et 9.

# 5767             27 janvier 2021

Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 8, 9, 10 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 4, 5, 6, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les produits sont 3, 24, 27, 30, puis 12, 15, 18 et 39. L’égalité est : 3^D + 24^D + 27^D + 30^D = 12^D + 15^D + 18^D + 39^D = 1149.

# 5766             27 janvier 2021

Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 32.

• On additionne 4.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un entier, le nombre choisi est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 35 est hexagonal. On fait : 35 × 32 = 1120, 1120 + 4 = 1124 et √1124 = 33,5. Le nombre 35 n’est pas hexagonal.

Soit à savoir si 66 est hexagonal. On fait : 66 × 32 = 2112, 2112 + 4 = 2116 et √2116 = 46. Le nombre 66 est hexagonal.

# 5739             9 janvier 2021

Dix puissances 4

Comment trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute successivement ce nombre après 1, 5, 9, 17 et 18 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute successivement ce nombre après 2, 3, 11, 15 et 19 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 9 le nombre choisi. On obtient 19, 59, 99, 179 et 189, puis 29, 39, 119, 159 et 199. L’égalité est : 19⁴ + 59⁴ + 99⁴ + 179⁴ + 189⁴ = 29⁴ + 39⁴ + 119⁴ + 159⁴ + 199⁴ = 2 410 922 805.

# 5738             9 janvier 2021

Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On multiplie la différence donnée des deux nombres par son successeur.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

• On multiplie la différence donnée des deux nombres par 2.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 7 et dont la différence des triangulaires est 49. On fait : 49 × 2 = 98, 7 × 8 = 56, 98 – 56 = 42, 7 × 2 = 14, 42 ÷ 14 = 3 et 3 + 7 = 10. Les deux nombres sont 3 et 10.

# 5737             9 janvier 2021

Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 6, 7 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 5, 8 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 9, 11, 12, puis  7, 8, 10, 13. L’égalité est : 6^D + 9^D + 11^D + 12^D = 7^D + 8^D + 10^D + 13^D = 210.

# 5736             9 janvier 2021

Addition de pentagonaux

Comment trouver la somme de trois pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang de celui du centre ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On multiplie par le prédécesseur du résultat.

• On additionne 6.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme de trois pentagonaux consécutifs dont celui du centre est de rang 5. On fait : 5 × 3 = 15, 15 × 14 = 210, 210 + 6 = 216 et 216 ÷ 2 = 108. La somme est 108. Les pentagonaux de rangs 4, 5 et 6 sont respectivement 22, 35 et 51.

# 5699             15 décembre 2020

Chiffre exclu

Comment deviner un chiffre exclu ? (Boucheny)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre de trois ou de quatre chiffres,

• d’écrire un autre nombre formé des mêmes chiffres dans le désordre,

• de soustraire les deux nombres,

• d’exclure un chiffre sauf 0,

• de vous donner les chiffres qui restent dans le désordre.

• Vous lui dites que vous allez deviner le chiffre exclu.

Vous additionnez les chiffres donnés. Du multiple de 9 supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le chiffre exclu.

La personne choisit 7853. Elle écrit 5837. Elle fait : 7853 –  5837 = 2016. Elle vous donne 0, 2 et 6. La somme est 8. Le multiple de 9 supérieur à 8 est 9. Vous faites : 9 – 8 = 1. Le chiffre exclu est 1.

# 5698             15 décembre 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la différence par son successeur.

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

• On multiplie par 2.

• On élève au carré le successeur de la différence donnée.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait le successeur de la différence donnée.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 5 et dont la somme des triangulaires est 42. On fait : 5 × 6 = 30, 42 × 2 = 84, 84 – 30 = 54, 54 × 2 = 108 et 6² = 36. On fait : 108 + 36 = 144, √144 = 12, 12 – 6 = 6, 6 ÷ 2 = 3 et 3 + 5 = 8. Les deux nombres sont 3 et 8.

# 5697             15 décembre 2020

Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit une suite de quatre nombres de même raison.

• On choisit un nombre qu’on additionne à chaque terme de la suite.

• On prend le premier et le quatrième élément de la première suite, ainsi que le deuxième et le troisième élément de la deuxième suite : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres éléments des deux suites : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 5, 8, 11 la suite choisie. On choisit 36. La deuxième suite est : 38, 41, 44, 47. On prend 2, 11, 41, 44. Il reste 5, 8, 38, 47. L’égalité est : 2^D + 11^D + 41^D + 44^D = 5^D + 8^D + 38^D + 47^D = 1920.

# 5696             15 décembre 2020

Rang d’un pentagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait pentagonal ?

Étapes

• On multiplie le pentagonal par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

Soit à trouver le rang du pentagonal 117. On fait : 117 × 24 = 2808, 2808 + 1 = 2809 et √2809 = 53. On fait : 53 + 1 = 54 et 54 ÷ 6 = 9. Le pentagonal 117 est de rang 9.

# 5659             21 novembre 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un carré ?

Étapes

• On choisit deux carrés de même parité.

• On additionne les deux carrés.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait le plus petit carré : c’est un deuxième nombre.

Soit 81 et 289 les carrés choisis. On fait : 81 + 289 = 370, 370 ÷ 2 = 185 et 185 – 81 = 104. Les deux nombres sont 185 et 104.

# 5658             21 novembre 2020

Seize puissances 7

Comment trouver huit nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à celle de huit autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 5, 10, 24, 28, 42, 47, 51 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 12, 21, 31, 40, 49, 50 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis 6, 7, 16, 25, 35, 44, 53, 54. On écrit : 5⁷ + 9⁷ + 14⁷ + 28⁷ + 32⁷ + 46⁷ + 51⁷ + 55⁷ = 6⁷ + 7⁷ + 16⁷ + 25⁷ + 35⁷ + 44⁷ + 53⁷ + 54⁷ = 2 903 626 510 920.

# 5657             21 novembre 2020

Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de quatre rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 5.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 10.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 7 et 11. On fait : 7 × 5 = 35, 7 × 7 = 49, 35 + 49 = 84 et 84 + 10 = 94. La somme est 94. Les triangulaires sont 28 et 66. 

# 5656             21 novembre 2020

Nombres pentagonaux

Comment savoir si un nombre est pentagonal ?

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le triple moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est pentagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 70 est pentagonal. Le couple de facteurs possible est  (5, 14). Le nombre 70 est pentagonal.

Soit à savoir si 135 est pentagonal. Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 135 n’est pas pentagonal.

# 5619             27 octobre 2020

Douze carrés

Comment trouver six carrés dont la somme est égale à celle de six autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• On choisit un nombre B qu’on additionne à chaque résultat précédent : ce sont des bases du deuxième membre.

• On additionne A  à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du deuxième membre.

• On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Les sommes sont 16, 21, 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10, 15. On additionne B. Les sommes sont 17, 19, 24. L’égalité est : 7² + 12² + 14² + 17² + 19² + 24² = 8² + 10² + 15² + 16² + 21² + 23² = 1615.

# 5618             27 octobre 2020

Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par elle-même la différence des deux nombres.

• De la différence de leurs carrés, on soustrait le résultat précédent.

• On divise par la différence donnée des deux nombres.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 5 et dont la différence des carrés est 95. On fait : 5 × 5 = 25, 95 – 25 = 70, 70 ÷ 5 = 14, 14 ÷ 2 = 7 et 7 + 5 = 12. Les deux nombres sont 7 et 12.

# 5617             27 octobre 2020

Seize puissances 6

Comment trouver huit nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à celle de huit autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 4, 9, 23, 27, 41, 46, 50 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 11, 20, 30, 39, 48, 49 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 7, 12, 26, 30, 44, 49, 53, puis 4, 5, 14, 23, 33, 42, 51, 52. On écrit : 3⁶ + 7⁶ + 12⁶ + 26⁶ + 30⁶ + 44⁶ + 49⁶ + 53⁶ = 4⁶ + 5⁶ + 14⁶ + 23⁶ + 33⁶ + 42⁶ + 51⁶ + 52⁶ = 44 302 982 324.

# 5616             27 octobre 2020

Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont on connait le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 2.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 8 × 2 = 16, 8 × 8 = 64, 16 + 64 = 80 et 80 + 1 = 81. La somme est 81. Les triangulaires sont 36 et 45.

# 5584             6 octobre 2020

Différence de carrés

Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

· On multiplie par lui-même chacun des chiffres du nombre choisi.

· On soustrait l’un de l’autre les deux résultats. On note le résultat.

· On ajoute deux 0 à la fin.

· On soustrait le résultat noté.

Soit à trouver la différence du carré de 85 et de celui de son renversé. On fait : 8 × 8 = 64, 5 × 5 = 25 et 64 – 25 = 39. On écrit 3900. On fait : 3900 – 39 = 3861. La différence est 3861.

# 5583             6 octobre 2020

Douze puissances 5

Comment trouver six nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de six autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 4,  9, 10, 20, 21, 26, puis 5, 6, 14, 16, 24, 25. On écrit : 4⁵ + 9⁵ + 10⁵ + 20⁵ + 21⁵ + 26⁵ = 5⁵ + 6⁵ + 14⁵ + 16⁵ + 24⁵ + 25⁵ = 19 325 550.

# 5582             6 octobre 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On multiplie par 4. 

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On divise par 2 le résultat de la première ligne.

• On soustrait la différence donnée.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 76 et dont la différence des triangulaires est 56. On fait : 76 + 56 = 132, 132 × 4 = 528, 528 + 1 = 529 et √529 = 23. On fait : 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11, 132 ÷ 2 = 66, 66 – 56 = 10, 10 × 2 = 20 et √20 = 4,47. La partie entière est 4. Les deux nombres sont 4 et 11.

# 5581             6 octobre 2020

Six triangulaires

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit une suite de neuf nombres de même raison.

• On prend le premier, le sixième et le huitième nombre : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend le deuxième, le quatrième et le neuvième nombre : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 la suite choisie. On prend 1, 11, 15, puis 3, 7, 17. L’égalité est : 1^D + 11^D + 15^D = 3^D + 7^D + 17^D = 187.

# 5554             18 septembre 2020

Dix puissances 4

Comment trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 5, 9, 17 et 18 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 11, 15 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 10, 14, 22, 23, puis  7, 8, 16, 20, 24. L’égalité est : 6⁴ + 10⁴ + 14⁴ + 22⁴ + 23⁴ = 7⁴ + 8⁴ + 16⁴ + 20⁴ + 24⁴ = 563 809.

# 5553             18 septembre 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 93 et dont la différence est 63. On fait : 93 + 63 = 156 et √156 = 12,49. La partie entière est 12. On fait : 93 – 63 = 30 et √30 = 5,48. La partie entière est 5. Les deux nombres sont 5 et 12.

# 5552             18 septembre 2020

Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par lui-même. On note le résultat.

• On soustrait les rangs l’un de l’autre.

• On additionne 1.

• On multiplie par le plus petit rang. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les résultats de la deuxième et de la troisième ligne.

• On divise par 2.

• On additionne les deux résultats notés et le dernier résultat.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 4 = 16, 10 – 4 = 6, 6 + 1 = 7 et 7 × 4 = 28. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 16 + 28 + 21 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55. 

# 5551             18 septembre 2020

Huit triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de sept triangulaires ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire et dont la différence entre les nombres est au moins 2 : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 à chacune des bases : ce sont d’autres bases du deuxième membre.

• On additionne le carré des nombres choisis.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est la septième base du deuxième membre.

• On additionne 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 7 les nombres choisis. La différence est 1, 3, 6. On fait : 2² + 4² + 7² = 69, 69 – 3 = 66, 66 ÷ 2 = 33 et 33 + 2 = 35. L’égalité est : 35^D = 1^D + 2^D + 3^D + 4^D + 6^D + 7^D + 33^D = 630.

# 5519             27 août 2020

Dix carrés

Comment trouver cinq carrés dont la somme est égale à celle de cinq autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17 et 24, puis 6, 7, 14, 20 et 23. L’égalité est : 5² + 8² + 16² + 17² + 24² = 6² + 7² + 14² + 20² + 23² = 1210.

# 5518             27 août 2020

Quatorze puissances 6

Comment trouver sept nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à celle de sept autres nombres élevés à la même puissance?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 18, 27, 58, 64, 89, 101 au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 13, 38, 44, 75, 84, 102 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 4, 22, 31, 62, 68, 93, 105, puis 5, 17, 42, 48, 79, 88, 106. On écrit : 4⁶ + 22⁶ + 31⁶ + 62⁶ + 68⁶ + 93⁶ + 105⁶ = 5⁶ + 17⁶ + 42⁶ + 48⁶ + 79⁶ + 88⁶ + 106⁶ = 2 143 754 429 963.

# 5517             27 août 2020

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait la somme des carrés. On note le résultat.

• On élève au carré. On note le résultat.

• On soustrait la somme de leurs carrés.

• On multiplie par 2.

• Du second résultat noté, on soustrait le précédent.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne le premier résultat noté.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• Du premier résultat noté, on soustrait le précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 51 et dont la somme des carrés est 89. On fait : 51 × 2 = 102, 102 – 89 = 13, 13² = 169, 169 – 89 = 80 et 80 × 2 = 160. On fait : 169 – 160 = 9, √9 = 3, 3 + 13 = 16, 16 ÷ 2 = 8 et 13 – 8 = 5. Les deux nombres sont 5 et 8.

# 5516             27 août 2020

Six triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de cinq triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le successeur du nombre choisi.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On soustrait  1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2: c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On fait : 4 + 1 = 5, 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24, 24 ÷ 2 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 + 2 = 13. On fait : 13 × 13 = 169, 169 – 3 = 166, 166 ÷ 2 = 83 et 83 + 2 = 85. L’égalité est : 85^D = 4^D + 5^D + 11^D + 12^D + 83^D  = 3655.

# 5474             30 juin 2020

Huit carrés

Connaissant deux couples de carrés dont la somme est identique, comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit une égalité de deux couples de deux carrés dont la somme est identique.

• On choisit un nombre supérieur  à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 4² + 17² = 7² + 16² l’égalité choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1, 18 + 17 = 35, 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 1² + 14² + 22² + 35² = 2² + 11² + 25² + 34² = 1906.

# 5473             30 juin 2020

Puissance 5 d’un nombre

Comment trouver la puissance 5 d’un nombre sans élever à cette puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par son successeur.

• On multiplie le nombre choisi par son prédécesseur.

• On additionne 1.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

• On soustrait le nombre choisi.

• On multiplie par le nombre choisi.

Soit à élever 4 à la puissance 5. On fait : 4 × 5 = 20, 4 × 3 = 12, 12 + 1 = 13, 13 × 20 = 260, 260 – 4 = 256 et 256 × 4 = 1024. Le nombre 1024 est la puissance 5 de 4.

# 5472             30 juin 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la somme par son successeur.

• On soustrait le double de la différence des triangulaires. On note le résultat.

• On multiplie par 2 le successeur de la somme donnée des deux nombres.

• On divise le résultat noté par le résultat précédent : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée, on soustrait le résultat précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 11 et dont la différence des triangulaires est 42. On fait : 11 × 12 = 132, 132 – 84 = 48, 12 × 2 = 24, 48 ÷ 24 = 2 et 11 – 2 = 9. Les deux nombres sont 2 et 9.

# 5471             30 juin 2020

Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ?

Étapes

• On additionne le triangulaire et son rang.

• On additionne 1.

• On additionne le triangulaire donné.

• On multiplie l’un par l’autre le successeur du rang et le résultat précédent.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 + 8 = 44, 44 + 1 = 45, 45 + 36 = 81 et 9 × 81 = 729. Le nombre 729 est un cube. C’est le cube de 9.

# 5444             12 juin 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On écrit + 0² comme deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3² + 4² = 5² le triplet choisi. On écrit : 3² + 4² = 5² + 0². On choisit 8 comme opérateur. On fait : 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 4 = 4, 8 + 4 = 12, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 – 0 = 8 et 8 + 0 = 8. L’égalité est : 4² + 5² + 11² + 12² = 3² + 8² + 8² + 13² = 306.

# 5443             12 juin 2020

Douze puissances 4

Comment trouver six nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six autres nombres élevés à la même puissance?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les sommes sont 3,  8, 9, 19, 20, 25, puis 4, 5, 13, 15, 23, 24. On écrit : 3⁴ + 8⁴ + 9⁴ + 19⁴ + 20⁴ + 25⁴ = 4⁴ + 5⁴ + 13⁴ + 15⁴ + 23⁴ + 24⁴ = 691 684.

# 5442             12 juin 2020

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On élève au carré la somme donnée des deux nombres.

• On soustrait le double de  la somme des triangulaires.

• On additionne la somme donnée des deux nombres.

• On divise par 2.

• On cherche un couple de facteurs dont la somme est celle des deux nombres.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 14 et dont la somme des triangulaires est 60. On fait : 14² = 196, 196 – 120 = 76, 76 + 14 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Les deux nombres sont 5 et 9.

# 5441             12 juin 2020

Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ?

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par son successeur.

• On multiplie le plus grand rang par son successeur.

• On additionne les résultats.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 5 = 20, 10 × 11 = 110, 20 + 110 = 130 et 130 ÷ 2 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55. 

# 5399             15 mai 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On écrit une suite de quatre nombres dont la raison est identique.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.

• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première suite, le deuxième et le troisième de la deuxième suite, puis le quatrième de la première suite.

• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 12, 15, 18, 21 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont  17, 20, 23, 26. Le premier groupe est formé de 12, 20, 23, 21. Le deuxième groupe est formé de 17, 15, 18, 26. L’égalité est : 12² + 20² + 21² + 23² = 15² + 17² + 18² + 26² = 1514.

# 5398             15 mai 2020

Douze cubes

Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres carrés.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chacune des bases de l’égalité, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chacun des nombres tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 6² + 7² + 11² = 5² + 9² + 10² l’égalité choisie. On choisit 12 comme opérateur. On fait : 12 – 6 = 6, 12 + 6 = 18, 12 – 7 = 5, 12 + 7 = 19, 12 – 11 = 1 et 12 + 11 = 23. On fait de même pour le deuxième membre. On obtient 7, 17, 3, 21, 2 et 22. L’égalité est : 1³ + 5³ + 6³ + 18³ + 19³ + 23³ = 2³ + 3³ + 7³ + 17⁴ + 21³ + 22³ = 25 200.

# 5397             15 mai 2020

Suite de raison 4

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 1, dont la raison est 4 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On additionne 3 au dernier terme.

• On divise par 4.

• On additionne 1 au dernier terme.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 53. On fait : 53 + 3 = 56, 56 ÷ 4 = 14, 53 + 1 = 54, 54 × 14 = 756 et 756 ÷ 2 = 378. La somme est 378.

# 5396             15 mai 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un triangulaire ?

Étapes

• On choisit deux triangulaires de même parité.

• On les additionne.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait le plus petit nombre choisi : c’est un deuxième nombre.

Soit 66 et 120 les triangulaires choisis. On fait : 66 + 120 = 186, 186 ÷ 2 = 93 et 93 – 66 = 27. Les deux nombres sont 27 et 93.

# 5364             24 avril 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On écrit une suite de trois nombres dont la raison est identique.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.

• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première suite, le deuxième de la deuxième suite qu’on répète et le troisième de la première suite.

• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent tout en répétant le nombre du milieu de la première suite.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 12, 15, 18 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont 17, 20, 23. Le premier groupe est formé de 12, 20, 20, 18. Le deuxième groupe est formé de 17, 15, 15, 23. L’égalité est : 12² + 18² + 20² + 20² = 15² + 15² + 17² + 23² = 1268.

# 5363             24 avril 2020

Douze cubes

Comment trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• On choisit un autre nombre B qu’on additionne à chaque résultat précédent : ce sont des bases du deuxième membre.

• On additionne A successivement à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du deuxième membre.

• On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du premier membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Les sommes sont 16, 21 et 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10 et 15. On additionne B. Les sommes sont 17, 19 et 24. L’égalité est : 7³ + 12³ + 14³ + 17³ + 19³ + 24³ = 8³ + 10³ + 15³ + 16³ + 21³ + 23³ = 30 411.

# 5362             24 avril 2020

Puissance 6 d’un nombre

Comment trouver un nombre élevé à la puissance 6 sans élever à cette puissance ?

Étapes

• On choisit un cube.

• On soustrait 1.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On multiplie les deux derniers résultats.

• On additionne 1.

Soit 27 le nombre choisi. On fait : 27 – 1 = 26, 27 + 1 = 28, 26 × 28 = 728 et 728 + 1 = 729. Le nombre 729 est une puissance 6, soit 3⁶.

# 5361             24 avril 2020

Triangulaires et carrés

Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On calcule sa racine.

• On additionne le carré.

• On divise par 2.

Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 81. On fait : √81 = 9, 9 + 81 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Le nombre 45 est triangulaire. Il est de rang 9.

# 5330             2 avril 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente. Le premier est une base du premier membre de l’égalité, l’autre une base du second membre.

• On fait la différence des carrés de ces deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des nombres choisis au départ : le premier résultat est une base du premier membre de l’égalité, l’autre est une base du second membre.

• On fait la différence des carrés des deux derniers résultats.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 2 et 7 les nombres choisis. On fait : 7² – 2² = 45, 45 – 1 = 44, 44 ÷ 2 = 22. On a 22 et 23. On choisit 3. On fait : 2 + 3 = 5, 7 + 3 = 10, 10² – 5² = 75, 75 – 1 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. On a 37 et 38. L’égalité est : 2² + 5² + 23² + 38² = 7² + 10² + 22² + 37² = 2002.

# 5329             2 avril 2020

Différence de carrés

Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

· On additionne les chiffres du nombre choisi.

· On soustrait les chiffres du nombre choisi.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats. On note le résultat.

· On ajoute deux 0 à la fin.

· On soustrait le résultat noté.

Soit à trouver la différence du carré de 72 et de celui de son renversé. On fait : 7 + 2 = 9, 7 – 2 = 5 et 9 × 5 = 45. On écrit 4500. On fait : 4500 – 45 = 4455. La différence est 4455.

# 5328             2 avril 2020

Dix cubes

Comment trouver cinq cubes dont la somme est égale à celle de cinq autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17, 24, puis 6, 7, 14, 20, 23. On écrit : 5³ + 8³ + 16³ + 17³ + 24³ = 6³ + 7³ + 14³ + 20³ + 23³ = 23 470.

# 5327             2 avril 2020

Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ?

Étapes

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 7 et du cube de même rang. On fait : 7 × 2 = 14, 14 + 1 = 15, 15 × 7 = 105 et 105 + 1 = 106. On fait : 106 × 7 = 742 et 742 ÷ 2 = 371. La somme est 371. Le triangulaire est 28 et le cube est 343.

# 5326             2 avril 2020

Quatre triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de trois triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le nombre choisi.

• On additionne 1.

• On divise par 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On soustrait  2 : c’est la troisième base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 – 1 = 6 et 7 × 7 = 49. On fait : 49 + 1 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et 25 – 2 = 23. L’égalité est : 25^D = 6^D + 7^D + 23^D = 325.

Note. 25^D se lit triangulaire de rang 25.

# 5294             12 mars 2020

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 7, 8 et 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 2, 4, 11 et 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. Les produits sont 6, 42, 48 et 84, puis 12, 24, 66 et 78. L’égalité est : 6² + 42² + 48² + 84² = 12² + 24² + 66² + 78² = 11 160.

# 5293             12 mars 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

On choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à la somme de deux autres carrés.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chacun des nombres pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 4² + 17² = 7² + 16² l’égalité choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1 et 18 + 17 = 35. On fait : 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 1³ + 14³ + 22³ + 35³ = 2³ + 11³ + 25³ + 34³ = 56 268.

# 5292             12 mars 2020

Puissance 5 d’un nombre

Comment trouver la puissance 5 d’un nombre formé de 9 ?

Étapes

• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 5.

• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit 9 autant de fois que le nombre contient de 9.

• On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.

• On écrit un 4.

• On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.

Soit à élever 9999 à la puissance 5. On écrit trois 9, un 5, trois 0, quatre 9, quatre 0, un 4, quatre 9. Le résultat est 99 950 009 999 000 049 999.

# 5291             12 mars 2020

Nombres triangulaires

Comment savoir si un nombre est triangulaire ?

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double plus 1 ou moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 105 est triangulaire. Le couple de facteurs possible est (7, 15). Le nombre 105 est triangulaire puisque 7 × 2 + 1 = 15.

Soit à savoir si 176 est triangulaire. Aucun couple de facteurs correspondant aux exigences n’est possible. Le nombre 240 n’est pas triangulaire.

# 5259             18 février 2020

Huit carrés

Comment décomposer un carré en une somme de sept carrés ?

Étapes

• On choisit six nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6 les nombres choisis. On fait : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91, 91 – 1 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 + 1 = 46. L’égalité est : 46² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 45².

# 5258             18 février 2020

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés dont la différence est égale à la différence de deux autres carrés ?

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

· On additionne les deux nombres.

· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

· On soustrait 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4 + 7 = 11, 7 – 4 = 3, 11 × 3 = 33, 33 + 1 = 34, 34 ÷ 2 = 17 et 17 – 1 = 16. L’égalité est : 7² – 4² = 17² – 16² = 33.

# 5257             18 février 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On ajoute + 0² comme deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3² + 4² = 5² le triplet choisi. On écrit : 3² + 4² = 5² + 0². On choisit 9 comme opérateur. On fait : 9 – 3 = 6, 9 + 3 = 12, 9 – 4 = 5 et 9 + 4 = 13. On fait : 9 – 5 = 4, 9 + 5 = 14, 9 – 0 = 9 et 9 + 0 = 9. L’égalité est : 5³ + 6³ + 12³ + 13³ = 4³ + 9³ + 9³ + 14³ = 4266.

# 5256             18 février 2020

Six puissances 4

Comment trouver trois nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de trois autres nombres élevés à la même puissance ? 

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On multiplie le nombre choisi par 7.

• On additionne 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du premier membre.

• On multiplie le nombre choisi par 3.

• On additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le nombre choisi par 5.

• On additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour former une égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 1 + 23 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 1⁴ + 23⁴ + 24⁴ = 11⁴ + 16⁴ + 27⁴ = 611 618.

# 5224             27 janvier 2020

Sept carrés

Comment décomposer un carré en une somme de six carrés ?

Étapes

• On choisit cinq nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases base du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 2, 3, 4, 5 les nombres choisis. On fait : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 28² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 27².

# 5223             27 janvier 2020

Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On divise la différence des carrés par la différence des deux nombres.

• On additionne la différence des deux nombres.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait la différence donnée des deux nombres : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 4 et dont la différence des carrés est 88. On fait : 88 ÷ 4 = 22, 22 + 4 = 26, 26 ÷ 2 = 13 et 13 – 4 = 9. Les deux nombres sont 13 et 9.

# 5222             27 janvier 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 7, 8, 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 2, 4, 11, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 49, 56, 98, puis  14, 28, 77, 91. L’égalité est : 7³ + 49³ + 56³ + 98³ = 14³ + 28³ + 77³ + 91³ = 1 234 800.

# 5221             27 janvier 2020

Raison d’une suite
Comment trouver la raison d’une suite dont on connaît le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par le prédécesseur du nombre de termes.

Soit à trouver la raison d’une suite de 15 termes dont le premier terme est 3 et le dernier 59. On fait : 59 – 3 = 56 et 56 ÷ 14 = 4. La raison est 4.

# 5185             3 janvier 2020

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On multiplie le nombre choisi par 7 et on additionne 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne 1 : c’est une base du premier membre.

• On multiplie le nombre choisi par 3 et on additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le nombre choisi par 5 et on additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour former une égalité.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 23 + 1 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 1² + 23² + 24² = 11² + 16² + 27² = 1106.

# 5184             3 janvier 2020

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ?

Étapes

· On choisit un nombre impair : c’est la base du troisième carré.

· On additionne 1 au nombre choisi.

· Du nombre choisi, on soustrait 1.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.

· On additionne 1 : c’est la base du premier carré.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 + 1 = 6, 5 – 1 = 4, 6 × 4 = 24, 24 ÷ 2 = 12 et 12 + 1 = 13. L’égalité est : 13² – 12² = 5².

# 5183             3 janvier 2020

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie la différence par elle-même.

• De la somme des carrés, on soustrait le résultat précédent.

• On multiplie par 2.

• On additionne le résultat de la première ligne.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne la différence donnée.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 9 et dont la somme des carrés est 221. On fait : 9 × 9 = 81, 221 – 81 = 140, 140 × 2 = 280, 280 + 81 = 361 et √361 = 19. On fait : 19 + 9 = 28, 28 ÷ 2 = 14 et 14 – 9 = 5. Les deux nombres sont 5 et 14.

# 5182             3 janvier 2020

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 7, 8, 14 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 4, 11, 13 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis  8, 10, 17, 19. L’égalité est : 7³ + 13³ + 14³ + 20³ = 8³ + 10³ + 17³ + 19³ = 13 284.

# 5181             3 janvier 2020

Puissance 4 d’un nombre

Comment trouver la puissance 4 d’un nombre formé de 9 ?

Étapes

• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 6.

• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 5.

• On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 6.

• On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.

• On écrit un 1.

Soit à élever 9999 à la puissance 4. On écrit trois 9, un 6, trois 0, un 5, trois 9, un 6, trois 0 et un 1. Le résultat est 9 996 000 599 960 001.

# 5135             3 décembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute successivement ce nombre après 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute successivement ce nombre après 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 14 le nombre choisi. On obtient 114, 514, 614, puis 214, 314 et 714. L’égalité est : 114² + 514² + 614² = 214² + 314² + 714² = 654 188.

# 5134             3 décembre 2019

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres cubes ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 11, 12, 18, puis  6, 8, 15, 17. L’égalité est : 5³ + 11³ + 12³ + 18³ = 6³ + 8³ + 15³ + 17³ = 9016.

# 5133             3 décembre 2019

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs cubes et la différence de leurs cubes ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence de leurs cubes.

• On divise par 2.

• On extrait la racine cubique : c’est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence de leurs cubes.

• On divise par 2.

• On extrait la racine cubique: c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des cubes est 468 et dont la différence des cubes est 218. On fait : 468 + 218 = 686 et 686 ÷ 2 = 343. La racine cubique de 343 est 7. On fait : 468 – 218 = 250 et 250 ÷ 2 = 125. La racine cubique de 125 est 5. Les nombres sont 5 et 7.

# 5132             3 décembre 2019

Puissance 4 d’un nombre

Comment trouver la puissance 4 d’un nombre sans élever à cette puissance ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par lui-même.

• On additionne 1.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On soustrait le nombre choisi.

• On multiplie par le nombre choisi.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49, 49 + 1 = 50, 50 × 7 = 350, 350 – 7 = 343 et 343 × 7 = 2401. Le nombre 2401 est la puissance 4 de 7.

# 5131             3 décembre 2019

Terme d’une suite
Comment trouver le terme d’un rang donné dans une suite dont on connaît le premier, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par le prédécesseur du nombre de termes.

• On multiplie par le rang qui précède celui du terme cherché.

• On additionne le premier terme.

Soit à trouver le 10^e terme de la suite de 14 termes dont le premier terme est 2 et dont le dernier est 67. On fait : 67 – 2 = 65, 65 ÷ 13 = 5, 5 × 9 = 45 et 45 + 2 = 47. Le 10^e terme est 47.

# 5104             15 novembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute successivement ce nombre devant 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute successivement ce nombre devant 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 13 le nombre choisi. On obtient 131, 135, 136, puis 132, 133 et 137. L’égalité est : 131² + 135² + 136² = 132² + 133² + 137² = 53 882.

# 5103             15 novembre 2019

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité est : 7² + 13² + 14² + 20² = 8² + 10² + 17² + 19² = 814.

# 5102             15 novembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ?

Étapes

· On choisit un carré impair.

· On additionne 1 et on divise par 2 : c’est la base du premier carré.

· On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.

· On extrait la racine carrée du nombre choisi : c’est la base du troisième carré.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 81 le carré choisi. On fait : 81 + 1 = 82, 82 ÷ 2 = 41, 41 – 1 = 40 et √81 = 9. L’égalité est : 41² – 40² = 9².

# 5101             15 novembre 2019

Cinq cubes

Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?

Étapes

• On trouve une valeur de m telle que 6m est un cube.

• On extrait la racine cubique de 6m. On note le résultat.

• On remplace la variable m par la valeur choisie : (m – 1), -m, -m et (m + 1).

• On place les résultats positifs dans le premier membre de l’égalité, les négatifs sans signe et le résultat noté dans l’autre membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit m = 36. La racine cubique de 6m est 6. On obtient successivement 35, -36, -36 et 37. L’égalité est : 35³ +  37³ = 6³ + 36³ + 36³ =  93 528.

# 5075             1^er novembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 5 et 6 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 2, 3 et 7 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 35 et 42, puis 14, 21 et 49. L’égalité est : 7² + 35² + 42² = 14² + 21² + 49² = 3038.

# 5074             1^er novembre 2019

Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs carrés et la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On additionne la somme et la différence de leurs carrés.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : c’est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence de leurs carrés.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des carrés est 169 et dont la différence des carrés est 119. On fait : 169 + 119 = 288, 288 ÷ 2 = 144, √144 = 12. On fait : 169 – 119 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et √25 = 5. Les nombres sont 12 et 5.

# 5073             1^er novembre 2019

Douze carrés

Connaissant deux couples de trois carrés chacun dont la somme est identique, comment trouver six carrés dont la somme est égale à celle de six autres carrés ?

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres carrés.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 2² + 3² + 7² = 1² + 5² + 6² l’égalité choisie. On choisit  8 comme opérateur. On fait : 8 – 2 = 6, 8 + 2 = 10, 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 7 = 1 et 8 + 7 = 15. On fait : 8 – 1 = 7, 8 + 1 = 9, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 – 6 = 2 et 8 + 6 = 14. L’égalité est : 1² + 5² + 6² + 10² + 11² + 15² = 2² + 3² + 7² + 9² + 13² + 14² = 508.

# 5072             1^er novembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés dont la différence est un carré ?

Étapes

· On choisit un carré.

· On additionne 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

· On soustrait 2 : c’est la base du carré qui est soustrait.