# 5044             15 octobre 2019

Cinq carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 4 de façon à trouver trois autres nombres.

• Le deuxième et le troisième nombre sont les bases du premier membre de l’égalité.

• Le premier et le quatrième nombre sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute 8 dans le premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 + 4 = 15, 15 + 4 = 19 et 19 + 4 = 23. On ajoute 8 dans le premier membre. L’égalité est : 8² + 15² + 19² = 11² + 23² = 650.

# 5043             15 octobre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 5 et 6 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3 et 7 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. Les sommes sont 9, 13, 14, puis 10, 11, 15. L’égalité est : 9² + 13² + 14² = 10² + 11² + 15² = 446.

# 5042             15 octobre 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux carrés dont la différence est un carré ?

Étapes

• On choisit un carré impair.

• On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On soustrait 1 : c’est la base du carré qui est soustrait.

• On extrait la racine du carré choisi : c’est la base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 121 le carré choisi. On fait : 121 + 1 = 122, 122 ÷ 2 = 61 et 61 – 1 = 60. L’égalité est : 61² – 60² = 11².

# 5041             15 octobre 2019

Cinq cubes

Comment trouver une égalité de sommes de cubes ?

Étapes

• On décompose 576 en trois facteurs a, b et c.

• On remplace chaque variable par le facteur choisi : (a + b + c), (a – b – c), (b – a – c), (c – a – b).

• On place les résultats positifs dans un membre de l’égalité, les négatifs sans signe dans l’autre membre.

• On écrit 24 dans le membre des négatifs sans signe.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 4, b = 9 et c = 16. On obtient successivement 29, -21, -11 et 3. L’égalité est : 29³ +  3³ = 11³ + 21³ + 24³ = 24 416.

# 5009             24 septembre 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré à partir d’un triplet de Pythagore ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On multiplie chacune des bases par un même nombre.

Soit le triplet : 5² + 12² = 13². Par exemple, on choisit 5 comme multiplicateur. L’égalité est : 25² + 60² = 65².

# 5008             24 septembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre pair.

• On multiplie ce nombre par 1,5.

• On choisit deux nombres dont l’un est inférieur à la moitié du nombre donné et l’autre supérieur à la moitié du même nombre : ce sont deux bases du premier membre de l’égalité.

• Du nombre choisi au départ, on soustrait chacun des deux derniers nombres choisis : ce sont deux bases du deuxième membre.

• Du résultat de la deuxième ligne, on soustrait la somme des deux éléments connus de chaque membre : c’est la troisième base de chaque membre dans l’ordre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 16 le nombre choisi. On fait : 16 × 1,5 = 24. On choisit 7 et 11. On fait : 16 – 7 = 9, 16 – 11 = 5, 24 – (7 + 11) = 6 et 24 – (5 + 9) = 10. L’égalité est : 6² + 7² + 11² = 5² + 9² + 10² = 206.

# 5007             24 septembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver la différence de deux nombres élevés au carré, dont la différence est n, sans effectuer le carré de ces nombres ?

Étapes

• On additionne les deux nombres.

• On multiplie par n.

Soit à trouver la différence de  15² et de 7² dont la différence des bases est 8. On fait : 15 + 7 = 22 et 22 × 8 = 176. La différence est 176.

# 5006             24 septembre 2019

Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs cubes ?

Étapes

• On divise la somme des cubes par la somme des deux nombres.

• Du carré de la somme des nombres, on soustrait le résultat précédent.

• On divise par 3 : c’est le produit des deux nombres cherchés.

• On cherche deux diviseurs du produit dont la somme est celle donnée.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 8 et dont la somme des cubes est 152. On fait : 152 ÷ 8 = 19, 64 – 19 = 45 et 45 ÷ 3 = 15. Les diviseurs possibles sont 3 et 5. Les nombres sont 3 et 5.

# 4974             3 septembre 2019

Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne 1 : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 265. On fait : 265 – 1 = 264, 264 × 2 = 528, 528 + 1 = 529, √529 = 23, 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11 et 11 + 1 = 12. Les deux nombres sont 11 et 12.

# 4973             3 septembre 2019

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux triplets de Pythagore.

• On forme un premier membre de l’égalité avec les deux premiers carrés du premier triplet et la somme de l’autre triplet.

• On forme un deuxième membre avec les carrés qui restent.

Soit 7² + 24² = 25² et 12² + 35² = 37² les deux triplets choisis. Pour le premier membre, on prend 7², 24² et 37². Pour le deuxième membre, il reste 12², 35² et 25². L’égalité est : 7² + 24² + 37² = 12² + 25² + 35² = 1994.

# 4972             3 septembre 2019

Différence de carrés

Comment trouver le nombre de couples de carrés dont la différence est identique ?

Étapes

• On décompose la différence en ses facteurs premiers.

• On additionne 1 à chacun des exposants, considérant que l’absence d’exposant correspond à l’exposant 1.

• On multiplie les résultats précédents.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de couples de carrés dont la différence des carrés est 315. On écrit : 315 = 3² × 5 × 7. On fait : 2 + 1 = 3, 1 + 1 = 2, 1 + 1 = 2, 3 × 2 × 2 = 12 et 12 ÷ 2 = 6. On compte six couples de nombres dont la différence des carrés est 315 : (158, 157), (54, 51), (34, 29), (26, 19), (22, 13), (18, 3).

# 4971             3 septembre 2019

Carré et cube

Comment trouver la somme du carré d’un nombre et de son cube sans élever à une puissance ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 2.

• On multiplie par le nombre donné.

• On multiplie par la moitié du successeur du nombre donné.

Soit à trouver la somme du carré de 14 et du cube de 14. On fait : 14 × 2 = 28, 28 × 14 = 392 et 392 × 7,5 = 2940. La somme est 2940.

# 4954             21 août 2019

Multiples de 16

Comment trouver un multiple de 16 sans effectuer de multiplication par 16 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 16 à partir de 33. On écrit 330. On fait : 330 ÷ 2 = 165, 165 + 330 = 495 et 495 + 33 = 528. Le nombre 528 est un multiple de 16.

# 4953             21 août 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres a et b où a < b.

• On choisit deux nombres c et d où c < d.

• On fait (ac + bd) et (bc – ad) : ce sont les bases d’un membre de l’égalité.

• On fait (ad + bc) et (bd – ac) : ce sont les bases de l’autre membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 2, b = 5, c = 3 et d = 4. On fait : ac + bd = 2 × 3 + 5 × 4 = 26 et bc – ad = 5 × 3 – 2 × 4 = 7. On fait : ad + bc = 2 × 4 + 5 × 3 = 23 et bd – ac = 5 × 4 – 2 × 3 = 14. L’égalité est : 26² + 7² = 23² + 14² = 725.

# 4952             21 août 2019

Fête des Mères

Connaissant le quantième de mai qui est la fête des Mères d’une année, comment trouver le quantième de celle de l’année suivante ?

Étapes

• Si l’année suivante est ordinaire, on soustrait 1 au quantième donné.

• Si l’année suivante est bissextile, on soustrait 2 au quantième donné.

• Si le résultat est plus petit que 8, on additionne 7 : c’est le quantième cherché.

• Si le résultat est plus grand ou égal à 8, c’est le quantième cherché.

En 1999, la fête de Mères a lieu le 9 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2000. On fait : 9 – 2 = 7 et 7 + 7 = 14. En 2000, cette fête a lieu le 14 mai.

En 2017, la fête de Mères a lieu le 14 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2018. On fait : 14 – 1 = 13. En 2018, la fête a lieu le 13 mai.

# 4951             21 août 2019

Tracé d’un angle

Un angle droit étant tracé, comment obtenir trois autres angles droits adjacents ?

Étapes

• Avec une règle, on prolonge un côté de l’angle droit à partir du point d’intersection.

• On prolonge l’autre côté à partir du même point.

L’angle opposé est droit de même que les deux autres angles latéraux.

# 4929             6 août 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ?

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On additionne les deux nombres.

· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 et 8 les nombres choisis. On fait : 3 + 8 = 11, 8 – 3 = 5, 11 × 5 = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 3² + 28² = 8² + 27² = 793.

# 4928             6 août 2019

Six carrés 

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : c’est la base de trois carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du quatrième carré.

• On élève au carré le nombre qui suit le dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 5 les nombres choisis. On fait : 2² + 4² + 5² = 45, 45 – 1 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Le carré de 23 est 529. On fait : 529 – 1 = 528, 528 ÷ 2 = 264 et 264 + 1 = 265. L’égalité est : 265² = 2² + 4² + 5² + 22² + 264².

# 4927             6 août 2019

Différence de carrés

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs carrés ?

Étapes

• On décompose la différence en deux facteurs.

• On additionne les deux facteurs.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait les deux facteurs l’un de l’autre.

• On divise par 2 : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des carrés est 245. On choisit un couple de facteurs : 5 et 49. On fait : 5 + 49 = 54, 54 ÷ 2 = 27, 49 – 5 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Les deux nombres sont 27 et 22. On pourrait choisir d’autres facteurs comme 7 et 35. Les deux nombres seraient 21 et 14.

# 4926             6 août 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie le nombre par son successeur.

• On divise par 2.

• On soustrait le nombre choisi.

• On élève au carré chacun des deux résultats précédents.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 9 le nombre choisi. On fait : 9 × 10 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 – 9 = 36. On fait : 45² = 2025, 36² = 1296, 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est un cube, celui de 9.

# 4900             15 juin 2019

Multiplication par 21

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 21 sans effectuer de multiplication ?

Étapes

• On ajoute un 0 à la fin du nombre choisi.

• On additionne le résultat à lui-même.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le produit de 712 et de 21. On écrit 7120. On fait : 7120 + 7120 = 14 240 et 14 240 + 712 = 14 952. Le produit est 14 952.

# 4899             15 juin 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (6)

Étapes

• On choisit un carré impair : c’est le premier carré.

• On additionne les nombres impairs consécutifs inférieurs à ce carré : c’est le deuxième carré.

• On additionne les deux résultats précédents : c’est le troisième carré qui est la somme.

Soit 49 le carré choisi. La somme de 1, 3, 5, 7, …, 45, 47 est 576 qui est le carré de 24. On fait : 49 + 576 = 625 qui est le carré de 25. L’égalité est : 49 + 576 = 625 ou 7² + 24² = 25².

# 4898             15 juin 2019

Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ? (1)

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On effectue la différence des carrés des deux nombres.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 et 12 les nombres choisis. On fait : 12² - 5² = 119, 119 – 1 = 118, 118 ÷ 2 = 59 et 59 + 1 = 60. L’égalité est : 5² + 60² = 12² + 59² = 3625.

# 4897             15 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (2)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et  on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On élève au carré le successeur du dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7² + 24² = 25² le triplet choisi. On fait : 25² – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312. Le carré de 313 est 97 969. On fait : 97 969 – 1 = 97 968, 97 968 ÷ 2 = 48 984 et 48 984 + 1 = 48 985. L’égalité est : 48 985² = 7² + 24² +  312² +  48 984².

# 4896             15 juin 2019

Six carrés 

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (2)

Étapes

• On choisit quatre nombres dont la somme est impaire : c’est la base de quatre carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3, 6 et 10 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² + 10² = 149, 149 – 1 = 148, 148 ÷ 2 = 74 et 74 + 1 = 75. L’égalité est : 75² = 2² + 3² + 6² + 10² + 74².

# 4874             3 juin 2019

Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : la partie entière est un premier nombre.

• On additionne 1 à la partie entière : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 421. On fait : 421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et 14 + 1 = 15. Les deux nombres sont 14 et 15.

# 4873             3 juin 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une troisième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5² + 12² = 13² le triplet choisi. On fait : 13² – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 85² = 5² + 12² +  84².

# 4872             3 juin 2019

Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une quatrième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3 et 6 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité est : 25² = 2² + 3² + 6² + 24².

# 4871             3 juin 2019

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On le multiplie par lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On soustrait les deux premiers résultats l’un de l’autre.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On élève au carré chacun des deux résultats notés.

• On soustrait les deux carrés l’un de l’autre.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49, 49 + 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait : 28² = 784, 21² = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre 343 est le cube de 7.

# 4850          21 mai 2019

Multiples de 14

Comment trouver un multiple de 14 sans effectuer de multiplication par 14 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat noté.

• On soustrait le nombre choisi.

Soit à trouver un multiple de 14 à partir de 57. On note 570. On fait : 570 ÷ 2 = 285, 285 + 570 = 855 et 855 – 57 = 798. Le nombre 798 est un multiple de 14.

# 4849          21 mai 2019

Nombre de carrés

Comment trouver combien il y a de carrés inférieurs à un nombre donné ?

Étapes

· On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Si non, on conserve la partie entière.

Soit à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait : √863 = 29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs à 863.

# 4848          21 mai 2019

Somme de deux carrés

Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons ?

Étapes

• On choisit deux carrés.

• On les additionne.

• On choisit deux autres carrés.

• On les additionne.

• On fait le produit des deux sommes précédentes.

• Si le produit est un carré, on accepte 0² comme un des carrés.

Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et 16. La somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 2² + 11² = 125 et 5² + 10² = 125.

# 4847          21 mai 2019

Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ?

Étapes

• On choisit un nombre non premier : c’est la base d’un premier carré.

• On le multiplie par lui-même.

• On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit est le résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au nombre choisi.

• Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième carré.

• On additionne les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2, 72), (4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72 – 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est : 12² + 35² = 37². On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs. On obtient : 12² + 16² = 20², 12² + 9² = 15² et 12² + 5² = 13². Si on ne trouve pas de couples de facteurs acceptables, on ne peut pas trouver de triplets de Pythagore par ce procédé.

# 4846          21 mai 2019

Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne les carrés des deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4² + 7² = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité est : 33² = 4² + 7² +  32².