# 3715                2 juin 2017

Divisibilité en magie

Il est bon de présenter de temps à autre aux élèves des trucs qui relèvent de la magie. Voici une activité :

Matériel : tableau, craie ou marqueur, calculatrice chez les élèves

Préparation. On tire quatre traits sur le tableau. L’enseignant pourra écrire les chiffres sur ces traits.

L’enseignant dit :

« Avec vous, je vais composer des nombres de quatre chiffres qui sont divisibles par 4, c’est-à-dire qu’il n’y pas de reste lorsqu’on fait la division.

Vous allez me donner un chiffre. [L’enseignant place le chiffre en première position, soit complètement à gauche.]

À mon tour, je vais écrire un chiffre. [L’enseignant le place en deuxième position.]

Donnez-moi un autre chiffre. [L’enseignant le place en troisième position.]

À mon tour, je vais placer un chiffre en quatrième position. [Si le dernier chiffre donné est pair, l’enseignant écrit 0, 4 ou 8. Si le dernier chiffre donné est impair, il écrit 2 ou 6.]

Vérifiez avec votre calculatrice en divisant ce nombre par 4. »

Exemple. Un élève choisit 5. L’enseignant le place en première position. L’enseignant choisit 9 et le place en deuxième position. Un élève choisit 7 qui est placé en troisième position. L’enseignant choisit 6 et le place en quatrième position. Le nombre est 5976. Il est divisible par 4.

On doit suivre les règles suivantes :

• Dans les trois premières positions, on peut placer n’importe lequel chiffre, sauf 0 au début.

• En quatrième position, on doit placer un chiffre pair selon la règle énoncée précédemment.

À la fin, vous dites aux élèves : « Essayez de trouver le truc. Je vous l’expliquerai la semaine prochaine. Un élève prendra alors ma place pour faire la même activité. »

Comme supplément, l’enseignant pourrait choisir d’écrire les chiffres dans n’importe quel ordre à la condition d’adapter les règles pour les deux derniers chiffres.

# 3670                14 mai 2017

La Fête des Mères

La Fête des Mères qui vise à souligner le dévouement et l’implication des mères de famille est soulignée dans la plupart des pays. Au Québec, elle a lieu le deuxième dimanche de mai. Elle arrive au plus tôt le 8 mai et au plus tard le 14 mai.

Voici trois situations mathématiques inspirées par cette fête :

Situation 1. Connaissant le quantième de la Fête des Mères en une année, comment trouver le quantième de l’année suivante ?

Étapes

• Quand l’année cherchée est ordinaire, on soustrait 1 au quantième donné.

• Quand l’année cherchée est bissextile, on soustrait 2 au quantième donné.

• Si le résultat est plus petit que 8, on additionne 7.

• Si le résultat est plus grand ou égal à 8, c’est le quantième cherché

En 2017, cette fête a lieu le 14 mai. Quel sera le quantième en 2018 ? On fait : 14 – 1 = 13. Ce sera le 13 mai en 2017.

En 1999, cette fête a eu lieu le 9 mai. Quel a été le quantième en 2000 ? On fait : 9 – 2 = 7 et 7 + 7 = 14. En 2000, la fête a eu lieu le 14 mai.

Situation 2. Connaissant le jour de la semaine du 1^er janvier d’une année, comment trouver le quantième de la Fête des Mère en cette même année ?

Étapes

• Quand l’année est ordinaire, le 1^er mai sera le jour de la semaine suivant celui du 1^er janvier.

• Quand l’année est bissextile, le 1^er mai sera le deuxième jour de la semaine suivant celui du 1^er janvier.

• On identifie le quantième du premier dimanche après le 1^er mai, puis du second dimanche.

En 2018, le 1^er janvier sera un lundi. Le 1^er mai sera un mardi. Le premier dimanche sera le 6 et le second le 13. En 2018, la fête sera célébrée le 13 mai.

En 2020, le 1^er janvier sera un mercredi. Le 1^er mai sera un vendredi. Le premier dimanche sera le 3 et le second le 10. En 2020, la fête sera célébrée le 10 mai.

Situation 3. Pour une année donnée du 21^e siècle, comment trouver le quantième de la Fête des Mères ?

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres de l’année.

• On divise ce nombre par 4 et on retient le quotient en ignorant le reste.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année et le quotient.

• On divise la somme par 7 et on conserve seulement le reste.

• On soustrait le reste de 14.

Quel sera le quantième en 2025 ? On 25 ÷ 4 = 6 reste 1. On retient 6. On fait : 25 + 6 = 31. On fait : 31 ÷ 7 = 4 reste 3 et 14 – 3 = 11. En 2025, la fête aura lieu le 11 mai, tout comme, par exemple, en 2014, 2031, 2042 et 2053.

# 3630                 26 avril 2017

Un solitaire géométrique

Vous pouvez construire un solitaire ou, si vous voulez, un casse-tête géométrique. Confectionnez quatre cubes de même volume. Placez-les en une colonne. Vous obtenez ainsi un prisme droit à base carrée. Coloriez chaque face de côté du prisme d’une seule couleur. Vous avez besoin de quatre couleurs.

Seize facettes des cubes sont ainsi colorées. Il reste huit facettes incolores, car les quatre cubes montrent 24 facettes. Vous pouvez colorer les facettes cachées selon bon vous semble en utilisant les quatre couleurs. Quand tout est terminé, essayez de reconstituer le prisme de telle façon qu’une seule couleur apparaisse sur chaque face.

Voici un exemple où on donne les patrons des quatre cubes :

Pour s’aider à assembler les cubes, on commence par compter la fréquence des couleurs sur chaque facette. Il y a cinq facettes vertes, six jaunes, six rouges, sept bleues. Seize facettes doivent apparaître sur les côtés du prisme. Les facettes cachées seront une verte, deux jaunes, deux rouges et trois bleues. On place les cubes en considérant ces données.

# 3570                 2 avril 2017

Petits problèmes plaisants

Je publie dans ce blogue un nouveau livre de ma composition intitulé Petits problèmes plaisants. Il contient 150 problèmes courts qui font appel à des connaissances mathématiques et logiques élémentaires. Les problèmes s’adressent aux amateurs de 9 à 99 ans. Les stratégies de résolution qui s’appliquent sont généralement à la portée des débutants. Voir Petits problèmes plaisants

# 3545                 23 mars 2017

Un nouveau livre

Je publie dans ce blogue un recueil de ma composition intitulé Jeux de grilles. Il contient 150 problèmes comportant au moins une grille. Les problèmes font appel à des connaissances élémentaires d’arithmétique et de logique. On doit composer des carrés magiques, des carrés latins et des nombres croisés, calculer le nombre de carrés ou de rectangles dans une grille, transformer des lettres en chiffres, déplacer des jetons ou encore biffer des nombres qui ont une même propriété. Voir Jeux de grilles.

# 3505                 7 mars 2017

Trucs de calcul mental

On ne le dira jamais assez. Le calcul mental est d’une importance capitale. Il n’est pas nécessairement rapide. Tout comme on montre à l’enfant à attacher ses chaussures, on doit appuyer sur le calcul mental. Voici trois exemples où l’enfant peut pratiquer le calcul mental sous un aspect récréatif :

Premier exercice

On présente à un jeune enfant une grille de nombres. Il doit repérer les groupes de deux nombres dont la somme est donnée. En cours de route, il colorie les cases ou biffe les deux nombres appropriés. Dans cette grille, la somme est 15.

À la fin, il additionne les nombres qui restent.

Solution. Les nombres qui restent sont 6 et 7. Leur somme est 13.

Les parents peuvent composer des grilles adaptées aux connaissances de l’enfant.

Deuxième exercice

L’enfant doit compléter la grille pour que la somme soit 17 sur chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution. La grille remplie est :

Troisième exercice

Dans la grille, l’enfant doit trouver combien de couples de nombres voisins horizontalement et verticalement ont une somme de 15.

Solution. On trouve sept couples. Horizontalement, on a : (7, 8), (4, 11), (5, 10), (6, 9). Verticalement, on a : (3, 12), (9, 6), (1, 14).

Par surcroit, ce dernier exercice apprend à l’enfant à procéder de façon systématique.

L’introduction d’un aspect ludique dans ces exercices peut procurer à l’enfant un certain intérêt, beaucoup plus que s’il devait faire une série d’additions sur une feuille.

# 3450                 13 février 2017

Cubes magiques

Il existe plusieurs formes de cubes magiques. L’une d’elles a rapport aux faces. En plaçant 12 nombres sur les arêtes pour que la somme soit 26 sur chaque face, on obtient un cube magique sur les faces. Par exemple, dans la figure ci-dessous, on a : 12 + 11 + 1 + 2 = 26, 12 + 3 + 6 + 5 = 26, etc.

Nous donnons une technique simple pour trouver des solutions lorsqu’on considère quatre faces sur six. Dans la grille ci-après, les losanges AKBJ, BGCH, LDMC et AEDF sont les quatre faces. Voici comment on procède :

• On transforme le cube en une grille carrée où les 12 lettres correspondent aux entiers de 1 à 12. Chaque losange correspond à une face.

• On fait les combinaisons de deux nombres dont la somme est 13.

1    2    3     4    5    6

12  11  10   9    8    7

• On place en A et B deux nombres dont la somme est 13.

• On place en D et C deux nombres dont la somme est 13.

• On fait (A + D). On écrit les combinaisons possibles de deux nombres pour cette somme.

• On fait (B + C). On écrit les combinaisons possibles de deux nombres pour cette somme.

• Dans les combinaisons possibles, on cherche quatre nombres dont la somme est 26 et qui appartiennent à deux combinaisons de 13. On les place de façon appropriée en E, F, G et H. Si les quatre nombres n’existent pas, on revient au début et on fait d’autres essais.

• Si les quatre nombres existent, il reste deux combinaisons. On les place en J, K, L et M.

Voici une première grille où la somme des nombres est 27 autour de la case centrale :

Voici une deuxième grille où la somme des nombres est 29 autour de la case centrale :