# 4865             30 mai 2019

Magie d’ordre 3 et carrés

Nous allons appliquer certaines propriétés des carrés magiques d’ordre 3 afin de former des identités de carrés.

Proposition 1. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne). Voici un carré magique :

On peut écrire pour les lignes : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9² = 101.

Montrons que cette proposition est vraie dans tous les carrés magiques d’ordre 3.

Prenons un carré magique généralisé :

La somme des éléments dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est la même, soit 0.

En élevant au carré les éléments de la première ligne, on a : x² + (-x – y)² + y² = x² + x² + 2xy + y² + y² = 2x² + 2xy + 2y².

En élevant au carré les éléments de la troisième ligne, on a : (-y)² + (x + y)² + (-x)² = y² + x² + 2xy + y² + x² = 2x² + 2xy + 2y².

Les deux résultats sont égaux. La proposition est vraie pour les lignes. On peut faire les mêmes calculs pour les colonnes. On a alors pour le carré magique du début : 3² + 4² + 8² = 2² + 6² + 7² = 89.

Proposition 2. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés des éléments d’une des lignes (première ou troisième) et d’une des colonnes (première ou troisième).

À partir du carré magique du début, on peut écrire :

1² + 5² + 9² + 3² + 5² + 7² = 190

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

En biffant de part et d’autre les termes identiques des deux identités, on obtient :

5² + 5² + 7² + 9² = 4² + 6² + 8² + 8²= 180.

On peut représenter cette identité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

En appliquant la même règle de façon symétrique, on peut écrire :

2² + 2² + 4² + 6² = 1² + 3² + 5² + 5² = 60.

Proposition 3. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 1 est égale à la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 3.

On peut écrire :

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

4² + 9² + 2² + 6² + 7² + 2² = 190

En biffant de part et d’autre les termes identiques des deux identités, on obtient :

1² + 3² + 8² + 8² = 2² + 2² + 7² + 9²= 138.

On peut représenter cette identité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

En appliquant la même règle dans les deux autres coins, on peut écrire :

1² + 6² + 6² + 7² = 3² + 4² + 4² + 9² = 122.

Proposition 4. La somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) de deux carrés magiques quelconques est égale à somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne) de ces carrés magiques.

L’identité est : 1² + 6² + 8² + 11² + 15² + 16² = 4² + 9² + 2² + 13² + 12² + 17² = 703.

On pourrait faire de même avec les colonnes. De plus, on pourrait ajouter autant de carrés magiques que l’on veut et produire des identités. Par exemple, le prochain carré magique pourrait contenir les entiers de 19 à 27. Ce qui permettrait d’avoir des entiers différents.

Proposition 5. Quand on additionne ou soustrait un même nombre à chacun des éléments d’un carré magique, le carré reste magique. De plus, il conserve toutes les propriétés relatives à la somme des carrés.

Prenons le dernier carré magique ci-haut. Soustrayons 8 à chacun des éléments. On obtient :

Par exemple, on peut écrire : 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9² = 122.

On peut additionner successivement 1. On aura :

4² + 8² + 9² = 5² + 6² + 10² = 161

5² + 9² + 10² = 6² + 7² + 11² = 206

Il existe d’autres propriétés par rapport aux carrés dans les carrés magiques d’ordre 3. Je vous encourage à en trouver.

# 4835          12 mai 2019

Propriétés du calendrier

Le calendrier porte en lui de nombreuses propriétés mathématiques. Voici une feuille d’un mois de calendrier et quelques propriétés relatives à cette feuille :

• Le reste de la division par 7 de tout élément est indiqué en haut de sa colonne.

• Tous les multiples de 3, sauf 27 le cube de 3, apparaissent dans deux diagonales.

• Un cavalier peut atteindre successivement les cases dont les nombres sont des multiples de 5 et revenir au point de départ : 5, 10, 15, 30, 25, 20, 5.

• Tous les multiples de 6 sont sur une même diagonale.

• La somme des éléments sur chaque ligne comportant 7 éléments est égale à 7 fois l’élément central.

• La somme des éléments dans chaque colonne comportant 5 éléments est égale à 5 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments extrêmes de chaque diagonale est égale à 2 fois le terme central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments des quatre coins est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments du contour est égale à 8 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments centraux des lignes et des colonnes autres qu’au milieu est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 5, la somme des éléments centraux (en gris) des lignes et des colonnes est égale à 4 fois l’élément central. Il en est ainsi pour les autres couleurs.

• Dans un carré 4 × 4, la somme des éléments extrêmes d’une diagonale est égale à la somme des deux éléments de l’autre diagonale.

• À partir des éléments d’un carré 3 × 3, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 3 × 3 (carré de droite).

L’élément central est le même dans les deux cas.

• À partir des éléments d’un carré 4 × 4, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 4 × 4 (carré de droite) en intervertissant les éléments des deux diagonales.

• Comme on l’a expliqué dans un autre article, on peut tirer des identités de sommes de carrés à partir d’un segment de huit cases.

On peut écrire :

2² + 5² + 10² + 11² = 250

3² + 4² + 9² + 12² = 250

À votre tour de trouver d’autres propriétés. Il y en a beaucoup.

# 4810          27 avril 2019

Identités de cubes

À première vue, il ne semble pas évident de trouver des identités comportant seulement des cubes. Nous allons expliquer une technique qui permet d’en trouver une grande quantité sans avoir à élever au cube, si ce n’est que pour la vérification.

Identité de 12 cubes

1. On écrit une identité de six nombres telle que, chaque nombre une fois élevé au carré, donne une nouvelle identité.

2. Dans l’identité, on choisit un nombre supérieur au plus grand, ordinairement le successeur du plus grand.

3. On prend chaque nombre de l’identité. On soustrait du nombre choisi et on additionne au nombre choisi.

4. On vérifie si l’identité est vraie.

5. Au choix, on met les nombres en ordre.

6. On écrit l’exposant 3 à chaque nombre. On a une identité de sommes de 12 cubes.

Par exemple, on choisit : 5 + 6 + 10 = 4 + 8 + 9, car 5² + 6² + 10² = 4² + 8² + 9² = 161.

On opère avec le nombre 11. On fait : 11 – 5 = 6, 11 + 5 = 16, 11 – 6 = 5, 11 + 6 = 17, etc. On peut écrire : 6 + 16 + 5 + 17 + 1 + 21 = 7 + 15 + 3 + 19 + 2 + 20 = 66.

En ordre, on a : 1 + 5 + 6 + 16 + 17 + 21 = 2 + 3 + 7 + 15 + 19 + 20.

On écrit : 1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ = 18 612 (A1)

On a bien une identité de sommes de 12 cubes.

Identité de 24 cubes

Partons de la dernière identité et choisissons 22. On opère avec 22 comme on l’a fait précédemment : soustraction et addition.

Pour le premier membre de l’identité, on a :

21³ + 23³ + 17³ + 27³ + 16³ + 28³ + 6³ + 38³ + 5³ + 39³ + 1³ + 43³ = 266 112

Pour le second membre de l’identité, on a :

20³ + 24³ + 19³ + 25³ + 15³ + 29³ + 7³ + 37³ + 3³ + 41³ + 2³ + 42³ = 266 112

En ordre, on a :

1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ + 23³ + 27³ + 28³ + 38³ + 39³ + 43³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ + 24³ + 25³ + 29³ + 37³ + 41³ + 42³ = 266 112 (B1)

Les sommes des six premiers cubes de chaque membre de l’identité B1 sont égales à un même nombre, soit 18 612. Cette identité est la même que précédemment, soit :

1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ = 18 612

Les sommes des six derniers cubes de chaque membre de l’identité sont égales à un autre même nombre, soit 247 500. On peut donc écrire une autre identité de 12 cubes :

23³ + 27³ + 28³ + 38³ + 39³ + 43³ = 24³ + 25³ + 29³ + 37³ + 41³ + 42³ = 247 500 (C1)

Addition de termes

Plus encore. Si on additionne un même nombre à chacun des éléments des identités A1, B1 et C1, on a d’autres identités. Additionnons 1. On obtient :

2³ + 6³ + 7³ + 17³ + 18³ + 22³ = 3³ + 4³ + 8³ + 16³ + 20³ + 21³ = 21 960 (A2)

2³ + 6³ + 7³ + 17³ + 18³ + 22³ + 24³ + 28³ + 29³ + 39³ + 40³ + 44³ = 3³ + 4³ + 8³ + 16³ + 20³ + 21³ + 25³ + 26³ + 30³ + 38³ + 42³ + 43³ = 290 628 (B2)

24³ + 28³ + 29³ + 39³ + 40³ + 44³ = 25³ + 26³ + 30³ + 38³ + 42³ + 43³ = 268 668 (C2)

Passons aux carrés

Fait intéressant. Si on remplace l’exposant 3 par 2 dans chacune des identités A1, B1 et C1, on a encore des identités. On peut écrire :

1² + 5² + 6² + 16² + 17² + 21² = 2² + 3² + 7² + 15² + 19² + 20² = 1048 (A3)

1² + 5² + 6² + 16² + 17² + 21² + 23² + 27² + 28² + 38² + 39² + 43² = 2² + 3² + 7² + 15² + 19² + 20² + 24² + 25² + 29² + 37² + 41² + 42² = 7904 (B3)

23² + 27² + 28² + 38² + 39² + 43² = 24² + 25² + 29² + 37² + 41² + 42² = 6856 (C3)

Assez spécial. On peut disséquer l’identité B3 en quatre parties :

1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62

16² + 17² + 21² = 15² + 19² + 20² = 986

23² + 27² + 28² = 24² + 25² + 29² = 2042

38² + 39² + 43² = 37² + 41² + 42² = 4814

On peut associer des identités deux à deux pour trouver de nouvelles identités. Ainsi, on peut avoir :

1² + 5² + 6² + 15² + 19² + 20² = 2² + 3² + 7² + 16² + 17² + 21² = 1048

La technique qui a été expliquée peut engendrer un nombre incalculable d’identités de sommes de carrés et de cubes. Je vous suggère cinq identités de départ pour que vous puissiez trouver d’autres identités et ainsi réalisez par vous-même la richesse de cette technique.

2 + 9 + 10 = 4 + 5 + 12

4 + 8 + 9 = 5 + 6 + 10

1 + 7 + 10 = 2 + 5 + 11

2 + 7 + 9 = 3 + 5 + 10

3 + 9 + 12 = 4 + 7 + 13

# 4785          12 avril 2019

Carrés dans le calendrier

À première vue, on ne voit pas de liens entre le calendrier et les carrés. Pourtant, il est possible de trouver des identités de sommes de carrés à partir du calendrier.

Commençons par délimiter une grille carrée 4 × 4 dans une feuille de calendrier comme ci-après.

1. On peut obtenir une identité respectivement de sommes de quatre carrés en prenant dans la grille ci-après les nombres dont les cases sont bleues d’une part et rouges d’autre part. On élève au carré chacun de ces nombres.

On peut écrire : 2² + 5² + 10² + 11² = 3² + 4² + 9² + 12² = 250. De plus, 2 + 5 + 10 + 11 = 3 + 4 + 9 + 12 = 28.

2. On considère la deuxième et la troisième ligne.

On peut écrire : 9² + 12² + 17² + 18² = 10² + 11² + 16² + 19² = 838. De plus, 9 + 12 + 17 + 18 = 10 + 11 + 16 + 19 = 56.

3. On considère la troisième et la quatrième ligne.

On peut écrire : 16² + 19² + 24² + 25² = 17² + 18² + 23² + 26² = 1818. De plus, 16 + 19 + 24 + 25 = 17 + 18 + 23 + 26 = 84.

4. On peut trouver d’autres identités en considérant d’autres paires de lignes ou les colonnes.

5. On peut s’inspirer du calendrier en choisissant d’abord quatre nombres en progression arithmétique, puis en leur additionnant un même nombre. On procède alors comme précédemment. Voici un exemple où on additionne 2 à la première ligne :

On peut écrire : 3² + 9² + 13² + 15² = 5² + 7² + 11² + 17² = 484. Par hasard, 484 est un carré, soit celui de 22. On a donc :

3² + 9² + 13² + 15² = 22²

5² + 7² + 11² + 17² = 22²

6. On peut soustraire ou additionner un certain nombre à la base de chaque élément de toutes les identités de cet article. On obtient ainsi d’autres identités.

■ Si on soustrait 2 aux identités précédentes, on obtient :

1² + 7² + 11² + 13² = 340

3² + 5² + 9² + 15² = 340

■ Si on additionne 2 aux identités du numéro 5, on obtient :

5² + 11² + 15² + 17² = 660

7² + 9² + 13² + 19² = 660

7. On peut ajouter un chiffre au début ou à la fin.

■ Si on ajoute 2 au début des éléments des deux dernières identités et 20 lorsqu’il y a un seul chiffre, on obtient :

205² + 211² + 215² + 217² = 179 860

207² + 209² + 213² + 219² = 179 860

■ Si on ajoute 4 comme unité aux deux dernières identités du numéro 6, on obtient :

54² + 114² + 154² + 174² = 69 904

74² + 94² + 134² + 194² = 69 904

8. On pourrait additionner ou soustraire n’importe lequel nombre. Additionnons 1,4 aux deux dernières identités du numéro 6. On obtient :

6,4² + 12,4² + 16,4² + 18,4² = 802,24

8,4² + 10,4² + 14,4² + 20,4² = 802,24

On voit que le calendrier peut être riche en identités de carrés.

Problème. Trouvez une identité de deux sommes de quatre carrés en utilisant chacun des nombres de 1 à 8.

# 4755          24 mars 2019

Carrés de Diophante

Diophante d’Alexandrie, un mathématicien de langue grecque, vécut au 3^e siècle. Il s’intéressa à de nombreux problèmes d’arithmétique. Nous allons vous présenter un de ses énoncés. Après avoir expliqué sa teneur, nous tenterons d’appliquer cette notion plus largement.

L’énoncé  de Diophante peut se lire comme suit : Le produit de deux entiers dont chacun est la somme de deux carrés est égale à la somme de deux carrés de deux façons.

Soit a² + b² = m₁ et c² + d² = m₂, on peut écrire les deux identités suivantes :

(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

(a² + b²)(c² + d²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²

Par exemple, on peut écrire :

1² + 2² = 5

1² + 4² = 17

On a là deux entiers 5 et 17 qui sont chacun une somme de deux carrés. D’après Diophante, le produit de 5 et de 17, soit 85, est la somme de deux carrés de deux façons. Pour les trouver, on fait :

(ac + bd)² + (ad - bc)² = (1 × 1 + 2 × 4)² + (1 × 4 – 2 × 1)² = 9² + 2²

(ac – bd)² + (ad + bc)² = = (1 × 1 – 2 × 4)² + (1 × 4 + 2 × 1)² = -7² + 6² = 7² + 6²

On peut se servir de ce schéma pour trouver les carrés.

Bref, on a les deux égalités suivantes :

9² + 2² = 85

7² + 6² = 85

Trois façons

Pourrait-on trouver un produit qui serait la somme de deux carrés de trois façons ?

À titre d’exemple, prenons trois sommes de deux carrés.

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

2² + 4² = 20

On fait : 5 × 13 × 20 = 1300.

À ma connaissance, il n’existe pas d’identités qui nous permettraient de résoudre le problème. On adapte donc les identités de Diophante. On choisit d’abord deux égalités et on les multiplie selon les règles établies. Avec les résultats, on fait de même avec la troisième égalité.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 2² + 4² = 20, on trouve 20² + 30² = 1300 et 12² + 34² = 1300.

Avec 4² + 7² = 65 et 2² + 4² = 20, on trouve 36² + 2² = 1300 et 20² + 30² = 1300.

Bref, 1300 peut s’écrire d’au moins trois façons :

20² + 30² = 1300

12² + 34² = 1300

36² + 2² = 1300

Même si on a trois sommes, il peut arriver des cas où on ne peut pas écrire un nombre de trois façons.

Quatre façons

Voici un cas où, à partir de trois sommes, on peut trouver quatre façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés :

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

1² + 4² = 17

On a : 5 × 13 × 17 = 1105.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 1² + 4² = 17, on trouve 12² + 31² = 1105 et 4² + 33² = 1105.

Avec 4² + 7² = 65 et 1² + 4² = 17, on trouve 32² + 9² = 1105 et 24² + 23² = 1105.

Bref, 1105 peut s’écrire d’au moins quatre façons :

12² + 31² = 1105

4² + 33² = 1105

32² + 9² = 1105

24² + 23² = 1105

Cinq façons

On peut trouver cinq façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés à partir de quatre sommes :

1² + 2² = 5

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

3² + 4² = 25

On a : 5 × 5 × 13 × 25 = 8125.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 5, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 3² + 4² = 25, on trouve 28² + 29² = 1625 et 20² + 35² = 1625.

Avec 4² + 7² = 65 et 3² + 4² = 25, on trouve 40² + 5² = 1625 et 16² + 37² = 1625.

Avec 28² + 29² = 1625 et 1² + 2² = 5, on trouve 86² + 27² = 8125 et 30² + 85² = 8125.

Avec 20² + 35² = 1625 et 1² + 2² = 5, on trouve 90² + 5² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Avec 2² + 3² = 13 et 3² + 4² = 25, on trouve 18² + 1² = 325 et 6² + 17² = 325.

Avec 18² + 1² = 325 et 3² + 4² = 25, on trouve 58² + 69² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Avec 6² + 17² = 325 et 3² + 4² = 25, on trouve 86² + 27² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Bref, 8125 peut s’écrire d’au moins cinq façons :

86² + 27² = 8125

30² + 85² = 8125

90² + 5² = 8125

50² + 75² = 8125

58² + 69² = 8125

Six façons

On peut trouver six façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés à partir de quatre sommes :

1² + 2² = 5

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

1² + 4² = 17

On a : 5 × 5 × 13 × 17 = 5525.

On trouve que 5525 peut s’écrire d’au moins six façons :

55² + 50² = 5525

62² + 41² = 5525

70² + 25² = 5525

71² + 22² = 5525

73² + 14² = 5525

74² + 7² = 5525

À partir d’un nombre

Combien de sommes de carrés peut-on trouver pour un entier donné ?

On décompose d’abord l’entier en un produit le plus possible de nombres premiers. Si c’est possible, on exprime ces nombres en la somme de deux carrés d’autant de façons qu’il est possible.

# 4725          6 mars 2019

Une table de carrés

Nous allons indiquer une technique pour trouver des identités de carrés. On commence par établir une table dans laquelle on retrouve, par exemple, les carrés de 1 à 14 additionnés deux à deux.

Avec les nombres qui apparaissent dans la table, on écrit des identités comportant autant de termes que l’on veut. Sous cette identité, on écrit les deux carrés qu’on trouve en abscisse et en ordonnée.

Par exemple, on écrit 25 + 100 = 125. Sous le 25, on trouve 3² + 4². Sous le 100, on trouve 6² + 8². Sous le 125, on trouve 5² + 10². Cela donne :

3² + 4² + 6² + 8² = 5² + 10².

Au besoin, on biffe tout terme identique qui apparaît dans les deux membres de l’identité.

Voici d’autres exemples :

1. On écrit : 25 + 149 = 29 + 145 = 174

Cela donne : 3² + 4² + 7² + 10² = 2² + 5² + 8² + 9² = 174

2. On écrit : 61 + 193 = 73 + 181 = 254

Cela donne : 5² + 6² + 7² + 12² = 3² + 8² + 9² + 10² = 254

3. On écrit : 50 + 260 = 20 + 290 = 310

Cela donne : 1² + 7² + 8² + 14² = 2² + 4² + 11² + 13² = 310 (A)

4. On écrit : 125 + 185 = 130 + 180 = 310

Cela donne : 5² + 10² + 8² + 11² = 7² + 9² + 6² + 12² = 310

5. On écrit : 90 + 113 + 122 = 61 + 116 + 148 = 325

Cela donne : 3² + 9² + 7² + 8² + 1² + 11² = 5² + 6² + 4² + 10² + 2² + 12² = 325.

En ordre, on a : 1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325.

Dans cette dernière identité, on a tous les entiers de 1 à 12.

Chaque identité demeure vraie si on enlève l’exposant 2. Par exemple, pour la dernière, on peut écrire :

1 + 3 + 7 + 8 + 9 + 11 = 2 + 4 + 5 + 6 + 10 + 12 = 39

Une surprise. On a trouvé que, dans l’identité A, on peut changer les carrés en cubes et que l’identité demeure vraie.

On avait :

1² + 7² + 8² + 14² = 2² + 4² + 11² + 13² = 310

On peut aussi avoir :

1³ + 7³ + 8³ + 14³ = 2³ + 4³ + 11³ + 13³ = 3600

# 4700          21 février 2019

Élucubrations sur 10 chiffres

On doit composer trois nombres de trois chiffres avec neuf des 10 chiffres (0 à 9) pris une seule fois.

Problème 1. Trouvez la plus petite somme.

Solution. On peut écrire les chiffres ainsi :

On ne peut pas placer le 0 dans la colonne des centaines car, par convention, on n’écrit jamais la centaine 0 devant d’autres chiffres. On écrit donc 1, 2 et 3 dans la colonne des centaines, 0, 4 et 5 dans la colonne des dizaines, puis 6, 7 et 8 dans la colonne des unités. On a : 106 + 247 + 358 = 711. La plus petite somme est 711.

Problème 2. Trouvez la plus grande somme.

Solution. On écrit les chiffres ainsi :

La plus grande somme est 2556.

Problème 3. Toutes les sommes sont-elles des multiples de 9 ?

Solution. Même si les deux sommes trouvées sont des multiples de 9, il ne faut pas croire que toutes les sommes sont des multiples de 9. En effet, si on choisit chacun des chiffres sauf 2, la somme des chiffres est 43. Comme 43 n’est pas un multiple de 9, la somme des trois nombres ne sera pas un multiple de 9.

Problème 4. Dans quels cas, les sommes trouvées sont-elles des multiples de 9 ?

Solution. La somme des chiffres de 0 à 9 est 45. Si on exclut le 0, la somme des chiffres est encore 45. Si on exclut le 9, la somme des chiffres est 36. Dans les deux cas, les sommes sont divisibles par 9. Ce sont d’ailleurs les deux seuls cas.

Si on exclut 0, on peut avoir : 127 + 356 + 489 = 972, un multiple de 9.

Si on exclut 9, on peut avoir : 127 + 356 + 480 = 963, un multiple de 9.

Si on exclut 6, on peut avoir : 127 + 350 + 489 = 966, un non multiple de 9.

Problème 5. Dans quels cas, les sommes trouvées sont-elles des multiples de 3 ?

Solution. La somme des chiffres de 0 à 9 est 45, soit un multiple de 3. Pour avoir une somme qui est un multiple de 3, il faut exclure des multiples de 3, y compris 0. Ce sont 0, 3, 6, 9. Par exemple, si on exclut 3, on peut avoir : 146 + 278 + 590 = 1014. Le nombre 1014 est un multiple de 3.

Problème 6. Trouvez trois nombres de trois chiffres (0 à 9) dont la somme est 1895. Le chiffre non utilisé n’est pas donné.

Solution. La plus petite somme dans une colonne est 3 (0 + 1 + 2). La plus grande somme est 24 (7 + 8 + 9). Disséquons 1895 en unités, dizaines et centaines sans jamais dépasser la somme de 45.

Les données de la première ligne sont à rejeter car le manque, soit 13, n’est pas un chiffre. Les deux autres lignes permettent chacune au moins une solution dans laquelle il manque le 4.

Pour la deuxième ligne, on peut avoir : 182 + 763 + 950 = 1895.

Pour la troisième ligne, on peut avoir : 236 + 758 + 901 = 1895.

Appliquez vos connaissances en résolvant les quatre problèmes suivants.

Problème 7. Trouvez trois nombres de trois chiffres (0 à 9 sauf 8) dont la somme est 1900 ?

Problème 8. Trouvez trois nombres de trois chiffres (0 à 9 sauf un chiffre) dont la somme est 1901 ?

Problème 9. Trouvez quatre nombres de deux chiffres (0 à 9, sauf 7 et un autre chiffre) dont la somme est 137.

Problème 10. Trouvez quatre nombres de deux chiffres (0 à 9, sauf deux chiffres) dont la somme est 178.

 ..............................

Suggestions de solutions

7. 205 + 764 + 931 = 1900

8. 315 + 604 + 982 = 1901

9. 14 + 20 + 35 + 68 = 137

10. 17 + 23 + 40 + 98 = 178

# 4670          3 février 2019

Des trios remarquables

Il existe des nombres ou des ensembles de nombres qu’on qualifie de remarquables. Pourquoi ? Ils ont des propriétés qui, une fois réunies, n’existent à peu près que chez eux. C’est le cas des couples de trios que je vais vous présenter.

Le plus petit trio est (1, 9, 10). Il est accompagné de (5, 6, 11). Les conditions pour faire parti d’un tel ensemble sont :

1. Le plus petit trio doit contenir un 1.

2. Le plus grand nombre de chaque trio doit être la somme des deux autres.

3. La somme des carrés des éléments des deux trios doit être la même :

1² + 9² + 10² = 5² + 6² + 11² = 182

4. La somme des puissances 4 des éléments des deux trios doit être la même :

1⁴ + 9⁴ + 10⁴ = 5⁴ + 6⁴ + 11⁴ = 16 562

Les exigences sont très grandes. Pourtant, un nombre illimité de tels ensembles de trios ont ces propriétés. On peut d’ailleurs les trouver sans trop de calculs.

Pour trouver les deux trios d’un tel ensemble de rang n donné, on procède ainsi :

Premier trio

1. On place 1.

2. On place un élément qui appartient à la suite (7n + 2).

3. On place l’élément qui est la somme des deux premiers.

Second trio

1. On place l’élément qui appartient à la suite (3n + 2).

2. On place l’élément qui appartient à la suite (5n + 1).

3. On place l’élément qui est la somme des deux premiers.

Par exemple, pour trouver le quatrième ensemble de trios, on remplace n par 4. Cet ensemble est composé de (1, 30, 31) et (14, 21, 35). On peut écrire :

1² + 30² + 31² = 14² + 21² + 35² = 1862

1⁴ + 30⁴ + 31⁴ = 14⁴ + 21⁴ + 35⁴ = 1 733 522

Les 10 plus petits ensembles de trios sont :

De par leur composition, ces ensembles sont spéciaux, mais ce qu’ils engendrent est encore plus extraordinaire. En effet, on peut composer des identités surprenantes à partir d’eux.

Prenons le quatrième ensemble : (1, 30, 31) et (14, 21, 35). Choisissons un opérateur. En réalité, on pourrait choisir n’importe lequel nombre. Toutefois, on se contente de choisir le nombre consécutif au plus grand de l’ensemble. Comme 35 est le plus grand dans les trios, on prend 36 dans ce cas. On soustrait de 36 et on additionne 36 à chaque élément. On écrira :

35 + 37 + 5 + 66 + 6 + 67 = 22 + 50 + 15 + 57 + 1 + 71

On met en ordre les nombres.

5 + 6 + 35 + 37 + 66 + 67 = 1 + 15 + 22 + 50 + 57 + 71 = 216 (A)

En élevant chaque nombre au carré, on a une autre identité.

5² + 6² + 35² + 37² + 66² + 67² = 1² + 15² + 22² + 50² + 57² + 71² = 11 500

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 5, on a une autre identité.

10² + 11² + 40² + 42² + 71² + 72² = 6² + 20² + 27² + 55² + 62² + 76² = 13 810

En élevant chaque nombre de l’identité A au cube, on a une autre identité.

5³ + 6³ + 35³ + 37³ + 66³ + 67³ = 1³ + 15³ + 22³ + 50³ + 57³ + 71³ = 682 128

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 4, on a une autre identité.

9³ + 10³ + 39³ + 41³ + 70³ + 71³ = 5³ + 19³ + 26³ + 54³ + 61³ + 75³ = 830 880

En élevant chaque nombre de l’identité A à la puissance 4, on a une autre identité.

5⁴ + 6⁴ + 35⁴ + 37⁴ + 66⁴ + 67⁴ = 1⁴ + 15⁴ + 22⁴ + 50⁴ + 57⁴ + 71⁴ = 42 502 564

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 3, on a une autre identité.

8⁴ + 9⁴ + 38⁴ + 40⁴ + 69⁴ + 70⁴ = 4⁴ + 18⁴ + 25⁴ + 53⁴ + 60⁴ + 74⁴ = 51 332 914

En élevant chaque nombre de l’identité A à la puissance 5, on a une autre identité.

5⁵ + 6⁵ + 35⁵ + 37⁵ + 66⁵ + 67⁵ = 1⁵ + 15⁵ + 22⁵ + 50⁵ + 57⁵ + 71⁵ = 2 724 334 416

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 2, on a une autre identité.

7⁵ + 8⁵ + 37⁵ + 39⁵ + 68⁵ + 69⁵ = 3⁵ + 17⁵ + 24⁵ + 52⁵ + 59⁵ + 73⁵ = 3 177 582 648

Sans que je puisse le démontrer, j’émets l’hypothèse que tous les ensembles de trios comme ceux présentés dans le tableau produiront des identités aux degrés de 1 à 5. De plus, si on additionne n’importe quel nombre à chaque identité, on aura d’autres identités.

Pourquoi cela arrête-t-il à la puissance 5 ? Je ne le sais pas.

N’est-ce pas que de tels trios produisent des résultats remarquables ? On a raison de les qualifier ainsi.

# 4615          30 décembre 2018

Identités de carrés (1)

Nous indiquons une façon de trouver des identités de carrés comportant les entiers de 1 à n où n est égal ou plus grand que 4. Dans chaque cas, on aura besoin d’un opérateur. On le trouve généralement en additionnant 1 au nombre le plus grand.

Nombres de 1 à 4.

L’opérateur est 5. On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 5. On peut écrire : 4² – 1² = 15, 3² – 2² = 5. Avec 5 et 15, une égalité est : 5 + 5 + 5 = 15.

Pour 5, on écrit 3 dans le premier membre et 2 dans le second.

Pour 15, on écrit 4 dans le second membre et 1 dans le premier.

On a alors :

3² + 3² + 3² + 1² = 28

2² + 2² + 2² + 4² = 28

On peut écrire : 3² + 3² + 3² + 1² = 2² + 2² + 2² + 4².

Nombres de 1 à 5.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 6. On peut écrire : 5² – 1² = 24, 4² – 2² = 12. On fait : 12 + 12 = 24.

On a alors :

4² + 4² + 1² = 33

2² + 2² + 5² = 33

On peut écrire : 4² + 4² + 1² = 2² + 2² + 5².

Nombres de 1 à 6.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 7. On peut écrire : 6² – 1² = 35, 5² – 2² = 21, 4² – 3² = 7. Voici deux exemples :

a) 7 + 7 + 21 = 35

4² + 4² + 5² + 1² = 58

3² + 3² + 2² + 6² = 58

On peut écrire : 4² + 4² + 5² + 1² = 3² + 3² + 2² + 6².

b) 7 + 35 = 21 + 21

4² + 6² + 2² + 2² = 60

3² + 1² + 5² + 5² = 60

On peut écrire : 4² + 6² + 2² + 2² = 3² + 1² + 5² + 5².

Nombres de 1 à 7.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 8. On a : 7² – 1² = 48, 6² – 2² = 32, 5² – 3² = 16. Voici un exemple : 16 + 32 = 48.

On peut écrire : 5² + 6² + 1² = 3² + 2² + 7² = 62.

Nombres de 1 à 8.

Ce sujet sera traité dans un autre article.

Nombres de 1 à 9.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 10. On peut écrire : 9² – 1² = 80, 8² – 2² = 60, 7² – 3² = 40, 6² – 4² = 20. Voici un exemple : 20 + 80 = 40 + 60.

On peut écrire : 6² + 9² + 3² + 2² = 4² + 1² + 7² + 8² = 130.

Nombres de 1 à 10.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 11. On peut écrire : 10² – 1² = 99, 9² – 2² = 77, 8² – 3² = 55, 7² – 4² = 33, 6² – 5² = 11. Voici trois exemples :

a) 33 + 99 = 55 + 77

On peut écrire : 7² + 10² + 3² + 2² = 4² + 1² + 8² + 9² = 162.

b) 11 + 33 + 55 = 99

On peut écrire : 6² + 7² + 8² + 1² = 5² + 4² + 3² + 10² = 150.

c) 11 + 99 = 33 + 77

On peut écrire : 6² + 10² + 4² + 2² = 5² + 1² + 7² + 9² = 156.

Nombres de 1 à 11.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 12. On peut écrire : 11² – 1² = 120, 10² – 2² = 96, 9² – 3² = 72, 8² – 4² = 48, 7² – 5² = 24. Voici quatre exemples :

a) 48 + 120 = 72 + 96

On peut écrire : 8² + 11² + 3² + 2² = 4² + 1² + 9² + 10² = 198.

b) 24 + 96 = 48 + 72

On peut écrire : 7² + 10² + 4² + 3² = 5² + 2² + 8² + 9² = 174.

c) 24 + 120 = 48 + 96

On peut écrire : 7² + 11² + 4² + 2² = 5² + 1² + 8² + 10² = 190.

d) 24 + 24 + 48 + 96 = 72 + 120

On peut écrire : 7² + 7² + 8² + 10² + 3² + 1² = 5² + 5² + 4² + 2² + 9² + 11² = 272.

Plus l’intervalle est grand, plus on peut trouver d’identités. De plus, ces identités contiennent généralement plus de termes.

Si on additionne un même nombre à chaque terme de l’identité, cette dernière demeure vraie. Quelqu’un pourrait-il le démontrer ?

# 4645          18 janvier 2019

Identités de carrés (2)

Nous indiquons une façon de trouver des identités de carrés comportant les entiers de 1 à 4n où n est égal ou plus grand que 2.

Nombres de 1 à 8

On additionne 1 au nombre de la limite supérieure. On obtient 9. On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 9. On peut écrire : 8² – 1² = 63, 7² – 2² = 45, 6² – 3² = 27, 5² – 4² = 9.

Avec les résultats, on écrit une identité. Par exemple, 27 + 45 = 9 + 63.

On attribue à chaque nombre (27, 45, 9, 63) les nombres soustraits dans les égalités précédentes. On les distribue dans les deux membres de l’identité en plaçant l’entier le plus grand dans le membre où il est placé.

Pour 27, on écrit 6 dans le premier membre d’une nouvelle identité et 3 dans le second.

Pour 45, on écrit 7 dans le premier membre et 2 dans le second.

Pour 9, on écrit 5 dans le second membre et 4 dans le premier.

Pour 63, on écrit 8 dans le second membre et 1 dans le premier.

On écrit les nombres au carré dans l’ordre. Cela donne :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102.

Nous avons trouvé une identité comprenant les carrés des nombres de 1 à 8. De plus, si on enlève l’exposant 2, on a une nouvelle identité : 1 + 4 + 6 + 7 = 2 + 3 + 5 + 8 = 18.

Ce qui est intéressant avec l’identité au carré, c’est que, si on additionne un même nombre à tout entier, on a une nouvelle identité.

Si on additionne 1, on a :

2² + 5² + 7² + 8² = 3² + 4² + 6² + 9² = 142.

Si on ajoute 1 devant chaque nombre de cette dernière identité, on a une nouvelle identité :

12² + 15² + 17² + 18² = 13² + 14² + 16² + 19² = 982.

Si on ajoute 2, au lieu de 1, devant chaque nombre de cette dernière identité, on a une nouvelle identité :

22² + 25² + 27² + 28² = 23² + 24² + 26² + 29² = 2622.

Nombres de 1 à 12

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 13. On peut écrire : 12² – 1² = 143, 11² – 2² = 117, 10² – 3² = 91, 9² – 4² = 65, 8² – 5² = 39, 7² – 6² = 13.

Avec les résultats, on peut écrire : 13 + 39 + 65 + 117 = 91 + 143. On distribue dans les deux membres comme précédemment. On obtient :

7² + 8² + 9² + 11² + 3² + 1² = 325

6² + 5² + 4² + 2² + 10² + 12² = 325

En ordre, on a : 1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325.

Nous avons trouvé une identité comprenant les carrés les entiers de 1 à 12. On peut vérifier que les propriétés énoncées précédemment sont aussi vraies.

Nombres de 1 à 16

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 17. On peut écrire : 16² – 1² = 255, 15² – 2² = 221, 14² – 3² = 187, 13² – 4² = 153, 12² – 5² = 119, 11² – 6² = 85, 10² – 7² = 51, 9² – 8² = 17.

■ Avec les résultats, on peut écrire : 17 + 85 + 187 + 255 = 51 + 119 + 153 + 221. On distribue dans les deux membres :

9² + 11² + 14² + 16² + 7² + 5² + 4² + 2² = 748

8² + 6² + 3² + 1² + 10² + 12² + 13² + 15² = 748

En ordre, on a :

2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 748.

Nous avons trouvé une identité comprenant les carrés des nombres de 1 à 16. On peut vérifier que les propriétés énoncées précédemment sont aussi vraies.

■ Avec les résultats, on peut écrire : 17 + 51 + 221 + 255 = 85 + 119 + 153 + 187. On distribue dans les deux membres. En ordre, on obtient :

1² + 2² + 7² + 8² + 11² + 12² + 13² + 14² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 10² + 15² + 16² = 748.

Nombres de 1 à 20

En procédant de la même façon, trouvez une identité de carrés qui contient les carrés des entiers de 1 à 20.

# 4595          18 décembre 2018

Fantaisies sur des carrés

L’obtention d’identités de sommes de carrés résulte parfois d’une démarche assez souple. On peut ajouter des chiffres, multiplier en partie ou encore jouer avec les unités et les dizaines.

1. Ajouts de chiffres

On sait que : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9². On forme une première expression en conservant le premier membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

1² + 6² + 8² + 12² + 14² + 19².

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du premier membre. Cela donne :

2² + 4² + 9² + 11² + 16² + 18².

Quand on associe les deux expressions, on réalise qu’il y a une identité. En effet,

1² + 6² + 8² + 12² + 14² + 19² = 2² + 4² + 9² + 11² + 16² + 18² = 802.

Fait intéressant, il existe aussi une identité pour la somme des cubes.

1³ + 6³ + 8³ + 12³ + 14³ + 19³ = 2³ + 4³ + 9³ + 11³ + 16³ + 18³ = 12 060.

2. Par multiplication

On sait que : 1² + 11² + 15² = 3² + 7² + 17². On forme une première expression en conservant le premier membre et en multipliant par 2 chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

1² + 11² + 15² + 6² + 14² + 34².

En ordre, on a : 1² + 6² + 11² + 14² + 15² + 34² = 1735.

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en multipliant par 2 chaque terme du premier membre. Cela donne :

3² + 7² + 17² + 2² + 22² + 30².

En ordre, on a : 2² + 3² + 7² + 17² + 22² + 30² = 1735.

On a une identité :

1² + 6² + 11² + 14² + 15² + 34² = 2² + 3² + 7² + 17² + 22² + 30².

3. Changements de rôles

Reprenons l’une des identités précédentes : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9².

Composons des nombres de deux chiffres en associant les nombres d’un membre de l’identité à l’autre et en leur faisant jouer le rôle de dizaines et d’unités. Par exemple, nous pouvons écrire : 12² + 64² + 89² = 12 161.

Par la suite, on inverse les chiffres de chacun des nombres. On obtient :

21² + 46² + 98² = 12 161.

On a une identité : 12² + 64² + 89² = 21² + 46² + 98². De plus, la somme des bases de chaque membre est 165.

On peut associer différemment les deux chiffres de l’identité de départ. Par exemple, on peut écrire : 14² + 69² + 82² = 11 681.

L’inversion donne : 41² + 96² + 28² = 11 681.

On a une autre identité : 14² + 69² + 82² = 41² + 96² + 28².