# 6645                6 décembre 2022

Rectangles magiques

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et celle de chaque colonne doit aussi être unique, mais différente de celle des lignes.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

On peut trouver des égalités de carrés en composant des rectangles magiques d’ordres 2 × n où n est le nombre de colonnes.

Six carrés

Dans ce rectangle magique, on écrit les entiers de 1 à 7 sauf 4. La somme dans chaque ligne doit être 12 et dans chaque colonne 8.

On peut écrire :

1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 8, on a :

9² + 13² + 14² = 10² + 11² + 15² = 446

Huit carrés

Dans ce rectangle, on écrit les entiers de 1 à 8. La somme dans chaque ligne doit être 18 et dans chaque colonne 9.

On peut écrire :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 9, on a :

10² + 13² + 15² + 16² = 11² + 12² + 14² + 17² = 750

Dix carrés

Dans ce rectangle, on écrit les entiers de 1 à 5 et de 9 à 13. La somme dans chaque ligne doit être 35 et dans chaque colonne 14.

On peut écrire :

1² + 3² + 9² + 10² + 12² = 2² + 4² + 5² + 11² + 13² = 335

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 10, on a :

11² + 13² + 19² + 20² + 22² = 12² + 14² + 15² + 21² + 23² = 1535

Douze carrés

Dans ce rectangle, on écrit les entiers de 1 à 12. La somme dans chaque ligne doit être 39 et dans chaque colonne 13.

On peut écrire :

1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 11, on a :

12² + 14² + 18² + 19² + 20² + 22² = 13² + 15² + 16² + 17² + 21² + 23² = 1909

Quatorze carrés

Dans ce rectangle, on écrit les entiers de 1 à 15 sauf 8. La somme dans chaque ligne doit être 56 et dans chaque colonne 16.

On peut écrire :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 12, on a :

13² + 14² + 19² + 22² + 23² + 24² + 25² = 15² + 16² + 17² + 18² + 21² + 26² + 27² = 2940

Seize carrés

Dans ce rectangle, on écrit les entiers de 1 à 16. La somme dans chaque ligne doit être 68 et dans chaque colonne 17.

On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 13, on a :

14² + 16² + 19² + 21² + 23² + 25² + 26² + 28² = 15² + 17² + 18² + 20² + 22² + 24² + 27² + 29² = 3868

En guise de conclusion

Dans chacun des cas, on peut obtenir une infinité d’égalités de carrés. De plus, on pourrait étudier d’autres cas où le nombre de carrés est supérieur à 16.

P. S. Ceci est le 200^e article publié dans la section Propos mathématiques.

# 6615              18 novembre 2022

La division

La division est une des quatre opérations mathématiques élémentaires la moins aimée. Comme la soustraction, elle produit des résultats moindres, mais elle est plus exigeante quand on opère manuellement. En résolution de problèmes, elle intervient quand elle est à propos. Toutefois, elle surgit parfois de façon surprenante. En voici trois exemples :

1. Suites arithmétiques de premier degré

Une suite arithmétique de premier degré est une suite de nombres tels que chacun est égal au prédécesseur augmenté d’un nombre constant. Par exemple, 1, 4, 7, 10, 13, 16, … est une suite arithmétique dont la raison est 3.

Problème. Dans une suite arithmétique, le cinquième nombre est 17 et le vingtième nombre est 62. Trouvez le douzième nombre.

Solution. Au lieu de se servir des algorithmes habituels, on applique la division en retenant le reste. On fait : 17 ÷ 5 = 3 reste 2 et 62 ÷ 20 = 3 reste 2. On obtient le même résultat. Le nombre 17 est formé par 5 × 3 + 2 et 62 par 20 × 3 + 2. Le nombre inconnu sera formé selon le même modèle : 12 × 3 + 2 = 38. Le douzième nombre est 38.

2. Les nombres binaires

Les nombres binaires sont formés des chiffres 0 et 1. On dit qu’ils sont en base 2. Les 10 plus petits nombres binaires sont : 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010. Pour convertir en binaire un nombre écrit dans le système décimal, on peut utiliser la division.

• On divise le nombre donné par 2 en retenant le reste.

• On divise successivement chacun des quotients par 2, toujours en retenant le reste.

• On cesse d’effectuer la division par 2 quand le quotient est 0.

• On écrit les restes dans l’ordre en commençant vers la fin jusqu’au début.

Problème. Écrivez 79 dans le système binaire.

Solution. On fait : 79 ÷ 2 = 39 reste 1, 39 ÷ 2 = 19 reste 1, 19 ÷ 2 = 9 reste 1, 9 ÷ 2 = 4 reste 1, 4 ÷ 2 = 2 reste 0, 2 ÷ 2 = 1 reste 0, 1 ÷ 2 = 0 reste 1. Le nombre 79 en binaire est 1 001 111.

3. Les factorielles

La factorielle d’un entier naturel n est le produit des n entiers consécutifs de 1 à n. Ainsi, la factorielle de 6, notée 6! est égale à 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6, donc 720. On écrit : 6! = 720.

Pour trouver le nombre de zéros à la fin de n!, on peut utiliser la division par 5.

• On divise le nombre donné par 5 et on retient la partie entière.

• On répète cette opération jusqu’à ce que le quotient soit inférieur à 5.

• On additionne les quotients entiers.

Problème. Combien y a-t-il de zéros à la fin de 62! ?

Solution. On fait : 62 ÷ 5 = 12,4 et 12 ÷ 5 = 2,4. La somme de 12 et de 2 est 14. Le nombre de zéros de 62! est 14. Par ailleurs, 62! est composé de 86 chiffres.

Conclusion

On peut constater la puissance de la division dans les trois cas cités. Sauf dans le deuxième cas, le nombre d’étapes est limité : ce qui amplifie alors la richesse de cette stratégie.

# 6585             30 octobre 2022

Carrés et suites (2)

Nous pouvons nous servir de la théorie des suites pour trouver des égalités de carrés. Nous allons réaliser des égalités de 12, 14 et 16 carrés.

Égalité de 12 carrés

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison. On colorie les cases selon une certaine symétrie. Un membre de l’égalité est formé par le carré des nombres des cases d’une même couleur. L’autre membre est formé par le carré des nombres des cases de l’autre couleur.

On obtient :

1² + 13² + 16² + 22² + 34² + 37² = 4² + 7² + 19² + 25² + 28² + 40² = 3435

Égalité de 14 carrés

Cas 1. On peut modifier la disposition des cases colorées tout en respectant une certaine symétrie.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on obtient :

1² + 7² + 16² + 25² + 31² + 34² + 40² = 4² + 10² + 13² + 19² + 28² + 37² + 43² = 4648

Cas 2. Sur la première ligne, on écrit les nombres de 1 à 7. On additionne 8 à chaque nombre.

On obtient :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588

Égalité de 16 carrés

Cas 1. On écrit sur la première ligne les nombres de 2 à 9. La raison est 1. En additionnant 8, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 1.

On peut écrire :

2² + 4² + 7² + 9² + 11² + 13² + 14² + 16² = 3² + 5² + 6² + 8² + 10² + 12² + 15² + 17² = 892

Si on soustrait 1 à chacun des termes cette égalité, on a tous les entiers de 1 à 16. On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748

Cas 2. On peut modifier la disposition des cases colorées tout en respectant une certaine symétrie.

On peut écrire :

2² + 5² + 6² + 9² + 11² + 12² + 15² + 16² = 3² + 4² + 7² + 8² + 10² + 13² + 14² + 17² = 892

Cas 3. On écrit sur la première ligne une suite qui commence par 1 et dont la raison est 2. En additionnant 3, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 2.

On peut écrire :

1² + 3² + 8² + 10² + 12² + 13² + 14² + 15² = 4² + 5² + 6² + 7² + 9² + 11² + 16² + 18² = 908

Cas 4. On écrit sur la première ligne une suite qui commence par 2 et dont la raison est 1. En additionnant 9 à chaque terme, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 1.

On peut écrire :

2² + 5² + 7² + 8² + 12² + 13² + 15² + 18² = 3² + 4² + 6² + 9² + 11² + 14² + 16² + 17² = 1004

Si on attribue à chaque terme l’exposant 3 au lieu du 2, on obtient une égalité de cubes.

2³ + 5³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ + 15³ + 18³ = 3³ + 4³ + 6³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 17³ = 14 120

Généralisation

Dans chacun des cas présentés, on peut additionner ou soustraire un même nombre à chacun des termes pour obtenir une autre égalité.

# 6570             21 octobre 2022

Deux nouveaux livres d’énigmes

Les éditions Goélette viennent de publier deux autres de mes livres d’énigmes. Ils sont intitulés l’un 500 énigmes et casse-têtes et l’autre 500 énigmes et jeux d’esprit. Pas besoin d’avoir de grands talents pour résoudre ces énigmes. Un peu de logique et des connaissances élémentaires suffisent.

Les deux livres se ressemblent par leur contenu composé de divertissements mathématiques, de situations logiques et de jeux de lettres. Une grande partie des énigmes proviennent du livre 1001 énigmes et devinettes publié par les éditions Coup d’œil en 2010. Certaines énigmes ont été enrichies et d’autres sont inédites.

Les livres se présentent en une couverture rigide avec recouvrement en similicuir, estampage métallique et signet-ruban.

Nous vous donnons quatre exemples d’énigmes puisées dans ces livres. Les solutions sont à la fin.

1. Tout un compas

Jérôme a un compas dans l’_______.

Maria réalise son baptême de l’_______.

Hermel y met la puce à l’_______.

Jeannine cherche le poil dans l’_______.

Horace change son fusil d’_______.

Pour chaque proposition, choisissez le mot approprié : épaule, oreille, œil, œuf, air. (500 énigmes et casse-têtes, no 20)

2. Monnaie de Gilles

Dans sa tirelire, Gilles a déposé des pièces de 5, 10 et 25 cents.

Il veut prendre au moins une pièce de chaque valeur pour un total de 75 cents.

Combien y a-t-il de façons de combiner les pièces ? (500 énigmes et casse-têtes, no 22)

3. Marche d'un pion

Isabelle pose un pion sur la case 1 de la grille. Ce pion se déplace en 2 mouvements qui se font en alternance. Le premier mouvement est celui du cavalier aux échecs, soit en L. Le deuxième est un pas horizontal ou vertical. Les 4 premières cases atteintes sont indiquées.

À la suite de 4, trouvez un chemin qui permet au pion d’atteindre toutes les cases. (500 énigmes et jeux d’esprit, no 4)

4. Sans voyelles

Jacob se rend au MGSN.

Il achète des SRVTTS.

Il va dans un autre CMMRC.

Là, il est tenté par un RDNTR.

Les consonnes seules de quatre mots sont données.

Quels sont ces mots ? (500 énigmes et jeux d’esprit, no 35)

Chaque livre se vend 16,95 $.

* * * * * *

Solution 1. Œil, air, oreille, œuf, épaule

Solution 2. Le tableau donne verticalement les 6 façons de combiner les pièces.

Solution 3. Voici un chemin marqué de 1 à 16 :

Solution 4. Magasin, serviettes, commerce, ordinateur.

# 6545             6 octobre 2022

Carrés et suites

Nous pouvons nous servir de la théorie des suites pour trouver des égalités de carrés. Nous allons réaliser des égalités de 6, 8 et 10 carrés.

Égalité de six carrés

Cas 1. On forme une suite de sept nombres. Par exemple, la suite est 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22. On biffe le quatrième terme. On écrit les nombres qui restent sur deux lignes. On colorie les cases selon une certaine symétrie. Un membre de l’égalité est formé par le carré des nombres des cases d’une même couleur. L’autre membre est formé par le carré des nombres des cases de l’autre couleur.

On peut écrire :

4² + 16² + 19² = 7² + 10² + 22² = 633

Cas 2. On forme une suite de huit nombres. Par exemple, la suite est 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. On colorie les cases ainsi.

On peut écrire :

5² + 13² + 15² = 7² + 9² + 17² = 419

Cas 3. Si on avait la suite 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, on pourrait écrire :

4² + 16² + 19² = 7² + 10² + 22² = 633

Égalité de huit carrés

Cas 1. Sur la première ligne, on écrit une suite de quatre nombres qui, par exemple, commence par 5 et dont la raison est 2. On additionne 3 à chacun des termes : ce qui donne une autre suite dont la raison est encore 2. On colorie les cases ainsi :

On peut écrire en ordre numérique de préférence :

5² + 10² + 11² + 12² = 7² + 8² + 9² + 14² = 390

Cas 2. On écrit, par exemple, une suite de raison 3 qui commence par 2. On additionne 25 à chacun des termes.

On peut écrire :

2² + 23² + 36² + 39² = 11² + 14² + 27² + 48² = 3350

Cas 3. Avec les deux mêmes suites précédentes, on peut colorer les cases d’une façon différente.

On peut écrire :

5² + 20² + 33² + 42² = 8² + 17² + 30² + 45² = 3278

Égalité de 10 carrés

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le sixième terme de la suite précédente. On applique la même raison.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on peut écrire :

1² + 7² + 25² + 28² + 34² = 4² + 10² + 13² + 31² + 37² = 2615

Généralisation.

Dans chacun des cas de cet article, on peut additionner ou soustraire un même nombre à chacun des termes pour obtenir une autre égalité.

# 6515              18 septembre 2022

De cubes à triangulaires

Il existe certaines relations entre les cubes, les carrés et les triangulaires. On peut alors énoncer de nombreuses propositions. En voici sept :

Proposition 1. Tout cube de rang n est la différence du carré de deux triangulaires de rangs n et (n – 1).

Soit n = 6, le cube de 6 est égal à la différence du carré du triangulaire de rang 6 et celui de rang 5. Cela se traduit ainsi  :

6³ = (6^∆)² – (5^∆)²

6³ = 21² – 15²

On peut écrire :

Notons que la différence des bases des carrés est égale à la base du cube.

Proposition 2. La somme de n cubes successifs dont la base du plus petit est 1 est égal au carré du triangulaire de rang n.

Soit n = 8. On a les huit premiers cubes. Leur somme est le carré du triangulaire de rang 8. Cela se traduit ainsi :

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ = (8^∆)² = 36²

On peut écrire :

Proposition 3. La somme de deux cubes de rangs n et (n + 1) est égale à la différence de deux carrés dont la base du plus grand est le triangulaire de rang (n + 1) et celle du plus petit est le triangulaire de rang (n – 1).

Soit n = 9. On a le cube de 9 et celui de 10. La somme de ces deux cubes est égale à la différence du carré du triangulaire de rang 10 et du carré du triangulaire de rang 8. Cela se traduit ainsi :

9³ + 10³ = (10^∆)² – (8^∆)²

9³ + 10³ = 55² – 36²

On peut écrire :

Proposition 4. La différence de deux cubes de rangs n et (n – 1) est égale à la somme du triangulaire de rang 2(n – 1) et du carré de rang n.

Soit n = 6. On a le cube de 6 et de 5. La différence de ces deux cubes est égale à la somme du triangulaire de rang 10 et du carré de 6. Cela se traduit ainsi :

6³ – 5³ = 10^∆ + 6²

On peut écrire :

Proposition 5. La différence de deux cubes de rangs n et (n – 1) est égale à la somme des trois triangulaires de rangs (n – 1), n et (2n – 2).

Soit n = 6. On a le cube de 6 et de 5. La différence de ces deux cubes est égale à la somme des triangulaires de rangs 5, 6 et 10. Cela se traduit ainsi :

6³ – 5³ = 5^∆ + 6^∆ + 10^∆

On peut écrire :

Proposition 6. La différence de deux cubes de rangs n et (n – 1) est égale à la somme du triangulaire de rang (2n – 1) et du carré de rang (n – 1).

Soit n = 6. On a le cube de 6 et de 5. La différence de ces deux cubes est égale à la somme du triangulaire de rang 11 et du carré de 5. Cela se traduit ainsi :

6³ – 5³ = 11^∆ + 5²

On peut écrire :

Proposition 7. La différence de deux carrés de rangs n et (n – 1) est égale à la différence de deux triangulaires de rang (2n – 1) et de rang 2(n – 1).

Soit n = 6. On a le carré de 6 et de 5. La différence des deux carrés est égale à différence des triangulaires de rangs 11 et 10. Cela se traduit ainsi :

6² – 5² = 11^∆ – 10^∆

On peut écrire :

Ces propositions peuvent être combinées pour en donner de nouvelles.

# 6485                24 juin 2022

Problèmes anti-alcooliques

Au début du 20^e siècle, une gigantesque campagne au Québec est mise sur pied pour enrayer la consommation d’alcool qui est alors considérée comme un fléau. Aussi, il est recommandé à tous les acteurs civils, scolaires et religieux d’y collaborer en visant l’assainissement des mœurs.

C’est ainsi que L’enseignement primaire, une revue destinée aux écoles, intègre de la propagande dans presque toutes les matières scolaires. En mathématiques, on fait le choix de proposer aux élèves des problèmes qu’on appelle anti-alcooliques. Nous vous proposons 14 de ces problèmes et leur solution. Des corrections mineures ont été apportées sur la forme mais pas sur le fond.

Les solutions sont données à la fin.

* * * * * *

1. Un journalier est payé 0,25 $ de l’heure. Il boit la valeur de dix verres par jour à 0,05 $ le verre.

Combien faudra-t-il qu’il travaille d’heures pour payer l’alcool qui l’empoisonne ? (décembre 1907)

2. Depuis 25 ans, un ivrogne a dépensé en moyenne 4 $ par mois en boisson, et il a perdu trois jours de travail par mois. Sa journée lui rapporte en moyenne 1,50 $.

Calculez ce que lui a fait perdre son exécrable passion. (décembre 1909)

3. Un père de famille que je connais a fait la noce samedi et a dépensé 2 $ en boisson. Le lendemain, il était tellement malade qu’il a fallu appeler le médecin en pleine nuit, ce qui a coûté, avec les médicaments 3 $. Cet homme qui gagne 2 $ par jour n’a pu reprendre son travail que le jeudi suivant.

Calculez combien lui a coûté cet excès de boisson. (février 1908)

4. Un père de famille dépense 0,50 $ en boisson toutes les semaines. Par ailleurs, les draps de lit coûtent 1,50 $ la paire.

Cherchez combien sa femme pourrait acheter de paires de draps de lit qui manquent, avec le montant que représente cette dépense par année. (janvier 1908)

5. On suppose que chaque comté dans la province de Québec envoie annuellement 3 alcooliques dans les asiles d’aliénés. Chacun d’eux coûte à la province 125 $ par an.

Quelle serait la dépense annuelle pour les 73 comtés ? (décembre 1906)

6. Il se consomme chaque année dans notre pays des boissons alcooliques au montant d’environ 105 000 000 $. Or, une somme de 300 $ est suffisante pour établir un colon.

Combien pourrait-on établir chaque année de colons sur nos terres avec le montant de cette consommation ? (mai 1907)

7. Avec l’argent qu’il gaspille en liqueurs alcooliques, soit 0,05 $ par jour, combien un ouvrier pourrait-il à la fin de l’année acheter de cordes de bois à 5 $ la corde ? (décembre 1906)

8. Un homme dépense en moyenne 0,20 $ par jour dans les buvettes. Par ailleurs, une livre de beurre coûte 0,30 $.

Combien de livres de beurre pourrait-il acheter avec la somme ainsi gaspillée dans une année ? (mars 1909)

9. Un père de famille boit tous les jours en moyenne la valeur de 0,20 $.

Pour quelle somme a-t-il bu à la fin de l’année, et avec ce montant ainsi dépensé pour avancer sa mort, combien achèterait-il de douzaines de pains à 2,16 $ la douzaine ? (janvier 1908)

10. Un habillement complet vaut 10,40 $, les bottines 2,70 $ et le chapeau 1,20 $. Un ouvrier a la mauvaise habitude de boire chaque jour pour 10 cents d’alcool.

Dites en combien de jours, s’il se corrige, il pourra économiser l’argent nécessaire à l’achat du complet, des bottines et du chapeau. (janvier 1907)

11. Un père de famille, dont les six enfants passent une partie de l’hiver à la maison parce qu’ils n’ont pas de chaussures, gagne 12,75 $ par semaine. Régulièrement, il dépense deux piastres à l’auberge le samedi soir, y compris la bouteille de boisson qu’il ne manque pas d’apporter pour sa journée du dimanche.

Pendant combien de semaines lui faudrait-il économiser ces 2 $ pour acheter deux paires de chaussures à chacun de ses enfants, à raison de 1,50 $ la paire ? (septembre 1907)

12. Un célèbre statisticien français, le Dr Marambat, a. constaté que les alcooliques fournissent 75 % des voleurs, 79 % des vagabonds et des mendiants, 50 % des assassins, 57 % des incendiaires.

Calculez le nombre d’alcooliques qu’il y avait sur 1000 individus condamnés dans chaque catégorie. (avril 1908)

13. Un savant professeur a noté dans 10 familles d’alcooliques les chiffres suivants : 57 enfants, dont 25 morts dans les premières semaines, 7 idiots, 5 épileptiques et 10 autres atteints d’affections diverses.

Trouvez combien de ces enfants étaient sains. (mars 1908)

14. Trente pour cent des cas de folie et 35 % des suicides sont dus au démon-alcool.

Dans un asile qui compte 1500 malades et dans une ville où l’on enregistre 40 suicides dans l’année, quel est le nombre de cas de folie, puis de suicides dont l’alcool est la cause ? (septembre 1911)

* * * * * * *

Solution 1. Le journalier devra travailler 2 heures.

Solution 2. L’ivrogne a perdu 2550 $.

Solution 3. Cet excès lui a coûté 11 $.

Solution 4. Elle pourrait acheter 17 paires de draps de lit et il lui resterait 0,50 $.

Solution 5. La dépense est de 27 375 $.

Solution 6. On pourrait établir 350 000 colons.

Solution 7. Il pourrait acheter 3,65 cordes de bois.

Solution 8. Il pourrait acheter 243 1/3 livres de beurre.

Solution 9. Il a bu pour une somme de 73 $. Il pourrait acheter 33 douzaines de pain et il lui resterait 1,72 $.

Solution 10. Il prendra 143 jours pour économiser l’argent nécessaire.

Solution 11. Il lui faudrait 9 semaines.

Solution 12. On compte 750 voleurs, 790 vagabonds, 500 assassins et 570 incendiaires.

Solution 13. Dix enfants étaient sains.

Solution 14. On y compte 450 cas de folie et 30 suicides dont l’alcool est la cause.

# 6435                  24 mai 2022

Tout en œufs

Dans la littérature récréative mathématique, on trouve des situations où des moitiés d’œufs sont distribuées sans casser aucun œuf. Cela semble relever de la magie. Il n’en est rien. Si on a un nombre impair d’œufs, la moitié est un entier plus une fraction qui est la moitié. Quand on s’astreint à donner en plus une moitié, cela revient à distribuer un nombre entier d’œufs. Il faut donc toujours avoir un nombre impair d’œufs pour réaliser cette condition.

La première récréation connue dans cette catégorie est attribuée à Frédéric Ozanam (1640-1717). La voici :

« Une femme de campagne porte des œufs au marché dans une ville de guerre où il y a trois corps de garde à passer. Au premier, elle laisse la moitié de ses œufs et la moitié d'un ; au second, la moitié de ce qui lui restait et la moitié d'un ; au troisième, la moitié de ce qui lui restait et la moitié d'un ; enfin, elle arrive au marché avec trois douzaines. Comment cela se peut-il faire sans rompre aucun œuf ? »

Le calculateur prodige Henri Mondeux (1826-1861) a formulé une autre récréation sur le même modèle mathématique :

« Une marchande d'œufs va au marché avec une certaine quantité d'œufs. À une première personne, elle vend la moitié de ses œufs, plus la moitié d'un œuf ; à une deuxième, la moitié de ce qu'il lui reste, plus la moitié d'un œuf, et de même à une troisième et à une quatrième personne. Alors elle a tout vendu et elle n'en a cassé aucun. Combien avait-elle d’œufs en arrivant au marché ? »

Résolvons cette dernière récréation.

Première stratégie. On procède par tâtonnement.

Comme on l’a dit précédemment, on doit choisir un nombre impair d’œufs au départ. Imaginons que la marchande avait 27 œufs. Elle en vend 13 ½ + ½ = 14. Il lui en reste 13. Elle en vend 6 ½ + ½ = 7. Il lui en reste 6. On ne peut pas continuer car 6 est pair. Pour que chaque vente puisse se réaliser, il faut qu’il reste toujours un nombre impair d’œufs. C’est ce que nous apprend cette première stratégie. Toutefois, il semble plus raisonnable d’abandonner le tâtonnement car on pourrait chercher longtemps.

Deuxième stratégie. On procède à rebours (1)

On cherche le nombre d’œufs vendus depuis la fin. Observons ce qui se passe si on avait 6 œufs à la fin comme il est trouvé dans la stratégie précédente. À rebours, on fait : (6 + ½)2 = 13, puis (13 + ½)2 = 27. On multiplie par 2 car l’inverse de la moitié est le double.

Maintenant, partons de 0.

À la quatrième personne, la marchande aura vendu 1 œuf. En effet, (0 + ½)2 = 1.

À la troisième personne, la marchande aura vendu 3 œufs. En effet, (1 + ½)2 = 3.

À la deuxième personne, la marchande aura vendu 7 œufs. En effet, (3 + ½)2 = 7.

À la première personne, la marchande aura vendu 15 œufs. En effet, (7 + ½)2 = 15.

La marchande a vendu 15 œufs.

Troisième stratégie. On procède à rebours (2)

On cherche le nombre d’œufs vendus à chaque transaction en commençant par la fin. Comme il reste 0 œuf, la quatrième vente est d’un œuf. Par la suite, le nombre d’œufs vendus double à chaque vente. On aura successivement 1, 2, 4, 8 œufs vendus : ce qui fait un total de 15.

La marchande a vendu 15 œufs.

Quatrième stratégie. On procède par induction.

Cette stratégie est principalement nécessaire quand le nombre de ventes est relativement grand. Par exemple, supposons que le nombre n de ventes est 25. En se basant sur les données de la deuxième stratégie où n représente le nombre de ventes, on peut écrire :

Si n = 1, on vend 1 œuf.

Si n = 2, on vend 3 œufs.

Si n = 3, on vend 7 œufs.

Si n = 4, on vend 15 œufs.

Pour trouver le nombre d’œufs d’une vente à l’autre, on multiplie par 2 le nombre d’œufs précédent et on additionne 1. Par exemple, pour n = 4, on fait 7 × 2 + 1 = 15.

Pour arriver au résultat total sans passer par toutes ces étapes, on élève 2 à la puissance n et on soustrait 1. Par exemple, si n = 4, on fait : 2⁴ – 1 = 15.

Si n = 25, la marchande aura vendu (2²⁵ – 1) œufs, soit 33 554 431 œufs. On suppose que la marchande manipule un œuf à la seconde, le tout prendrait approximativement un an et 23 jours. Surprenant, n’est-ce pas ?

En guise de conclusion

Je vous laisse le soin de résoudre le problème suivant :

Une marchande vend à une première personne le tiers de ses œufs plus le tiers d’un œuf ; à une seconde personne le tiers de ce qui lui reste plus le tiers d’un œuf ; enfin, à une troisième personne le tiers de ce qui lui reste plus le tiers d’un œuf. Après cette troisième vente, il lui reste 7 œufs.

Combien la marchande en avait-elle d’œufs en arrivant au marché ?

(Elle avait 26 œufs en arrivant au marché. 7, 11, 17, 26)

# 6380                  21 avril 2022 

Une grille 3 × 3

Problème 1

Placez les nombres de 1 à 9 dans cette grille. La somme des nombres de deux cases extrêmes de la même couleur, y compris l’élément de la case du centre, doit être la même.

Solution. • Plaçons 1 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6). La somme est 12 dans chaque rangée. Une configuration possible est :

• Plaçons 2 au centre. On doit choisir la combinaison (1, 9), mais 8 ne peut pas être choisi. Il n’y a pas de configuration possible dans ce cas.

• Il n’y a pas de configuration quand on place 3, puis 4 au centre.

• Plaçons 5 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). La somme est 15.

• Il n’y a pas de configuration quand on place 6, 7 et 8 au centre.

Les sommes possibles sont 12, 15 et 18.

Problème 2

Placez les neuf plus petits nombres impairs dans la grille selon les mêmes règles que le problème précédent.

Solution. Les neuf plus petits nombres impairs sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. On applique la même démarche que dans le premier problème. Les éléments du centre sont successivement 1, 9 et 17. Les sommes sont respectivement 21, 27 et 33. On peut obtenir cette configuration :

Problème 3

Placez les nombres 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17 dans la grille selon les mêmes règles.

Solution. On additionne deux à deux les nombres de rangs opposés. On fait : 4 + 17 = 21, 5 + 16 = 21, 6 + 13 = 19. On a là une somme différente des deux autres cas. On prend 6 pour le centre. On a les combinaisons (4, 17), (5, 16), (8, 13), (9, 12). La somme des nombres de chaque rangée est 27 et c’est la seule. Voici un exemple de configuration :

Conclusion

Il peut y avoir d’autres stratégies pour trouver les sommes de chaque rangée. Je vous laisse le soin d’en trouver au moins une.

# 6350                  3 avril 2022

Un nouveau livre d’énigmes

Les éditions Goélette viennent de publier un autre de mes livres d’énigmes. Il est intitulé Énigmes, 450 défis. Pas besoin d’avoir de grands talents pour résoudre ces énigmes. Un peu de logique et des connaissances élémentaires suffisent.

Sur le dos de la couverture, l’éditeur a écrit : « Grâce à votre logique, relevez le défi et tentez de résoudre ces jeux et casse-tête en tous genres : énigmes, devinettes, charades et plus encore. » Voici deux exemples d’énigmes qu’on peut y trouver :

 

Énigme 2. Papier atout

Aux imbéciles, on offre du papier ________.

Aux pauvres, on offre du papier ________.

Aux édentés, on offre du papier ________.

Aux gens qui s’éparpillent, on offre du papier ________.

Aux canoteurs, on offre du papier ________.

Dans chaque cas, choisissez le mot le plus approprié : d’emballage, mâché, monnaie, en rame, timbré. (solution, ci-bas)

Énigme 6. Échanges de chocolats

Martin dit à Martine :

« Si tu me donnais 2 de tes chocolats, j’en aurais le double de toi ».

Martine reprend :

« Si tu me donnais 5 de tes chocolats, j’en aurais le double de toi ».

Combien chacun a-t-il de chocolats ?

Le prix suggéré du livre est de 10,95 $.

* * * * * *

Solution 2. Timbré, monnaie, mâché, d’emballage, en rame.

Solution 6. Martin a 12 chocolats et Martine 9 chocolats.

# 6335                  24 mars 2022

Six carrés : une méthode générale

Dans le présent article, nous allons montrer comment trouver une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres carrés.

Mise en place

Soit l’égalité a² + b² + c² = d² + e² + f². Nous allons établir le procédé entre tenant compte de la différence entre chacun des trois premiers termes. Aussi, on pose : p = b – a et q = c – b.

Recherche de valeurs

Il faut trouver deux nombres p et q dont la différence est un multiple de 3. D’où, on peut poser : p – q = 3n. Allons-y pour p = 11 et q = 5. Dans ce cas, n = 2.

On continue en donnant une valeur à a. On va choisir a = 1. Comme p = 11, b = 12. Comme q = 5, c = 17. Les trois premières bases sont 1, 12 et 17.

On additionne n à la première base : ce qui fait que d = 3. Au lieu d’additionner successivement p et q dans cet ordre comme ci-devant, on additionne successivement q et p. D’où, e = 3 + 5 = 8 et f = 8 + 11 = 19.

L’égalité est : 1² + 12² + 17² = 3² + 8² + 19² = 434.

Variations

1. On peut additionner tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit d’additionner 13. On aura :

14² + 25² + 30² = 16² + 21² + 32² = 1721.

2. On peut soustraire tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de soustraire 0,2 à l’égalité de départ. On aura :

0,8² + 11,8² + 16,8² = 2,8² + 7,8² + 18,8² = 422,12.

3. On peut multiplier tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de multiplier par 6 l’égalité du départ. On aura :

6² + 72² + 102² = 18² + 48² + 114² = 15 624.

4. On peut diviser tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de diviser par 4 l’égalité de départ. On aura :

0,25² + 3² + 4,25² = 0,75² + 2² + 4,75² = 27,125.

5. On peut ajouter tout nombre au début de chaque base comme si chacune avait le même nombre de chiffres. En ajoutant 3 au début de l’égalité de départ, on aura :

301² + 312² + 317² = 303² + 308² + 319² = 288 434.

6. On peut ajouter tout nombre à la fin de chaque base comme si chacune avait le même nombre de chiffres. En ajoutant 13 à la fin de l’égalité de départ, on aura :

113² + 1213² + 1713² = 313² + 813² + 1913² = 4 418 507.

Application aux nombres figurés

Toutes les égalités précédentes demeurent vraies quand on considère chaque base comme un rang d’un nombre figuré. Par exemple, en l’appliquant aux nombres hexagonaux, on peut écrire l’égalité avec un exposant h tel que 78^h est mis pour l’hexagonal de rang 78. On aura :

1^h + 12^h + 17^h = 3^h + 8^h + 19^h = 1 + 276 + 561 = 15 + 120 + 703 = 838.

En guise de conclusion

Comme on peut le constater, une seule égalité de six carrés peut engendrer une infinité d’autres égalités de six carrés. En modifiant  les valeurs de départ à l’infini,  il est possible de trouver des infinités d’égalités.

# 6315                  12 mars 2022

Puissances remarquables

Il est étonnant de réaliser qu’on peut obtenir plusieurs égalités de puissances qui contiennent les mêmes nombres. Nous expliquons ici quatre cas où les puissances varient de 1 à 5, 6, 7 et même à 8.

Cas 1. Puissances 1 à 5

On choisit un nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 5 + 10 + 11 + 21 + 22 + 27 = 6 + 7 + 15 + 17 + 25 + 26 = 96

Puissance 2 : 5² + 10² + 11² + 21² + 22² + 27² = 6² + 7² + 15² + 17² + 25² + 26² = 1900

Puissance 3 : 5³ + 10³ + 11³ + 21³ + 22³ + 27³ = 6³ + 7³ + 15³ + 17³ + 25³ + 26³ = 42 048

Puissance 4 : 5⁴ + 10⁴ + 11⁴ + 21⁴ + 22⁴ + 27⁴ = 6⁴ + 7⁴ + 15⁴ + 17⁴ + 25⁴ + 26⁴ = 985 444

Puissance 5 : 5⁵ + 10⁵ + 11⁵ + 21⁵ + 22⁵ + 27⁵ = 6⁵ + 7⁵ + 15⁵ + 17⁵ + 25⁵ + 26⁵ = 23 850 816

Cas 2. Puissances 1 à 6

On choisit un nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 1 + 19 + 28 + 59 + 65 + 90 + 102 = 2 + 14 + 39 + 45 + 76 + 85 + 103 = 364

Puissance 2 : 1² + 19² + 28² + 59² + 65² + 90² + 102² = 2² + 14² + 39² + 45² + 76² + 85² + 103² = 27 356

Puissance 3 : 1³ + 19³ + 28³ + 59³ + 65³ + 90³ + 102³ = 2³ + 14³ + 39³ + 45³ + 76³ + 85³ + 103³ = 2 299 024

Puissance 4 : 1⁴ + 19⁴ + 28⁴ + 59⁴ + 65⁴ + 90⁴ + 102⁴ = 2⁴ + 14⁴ + 39⁴ + 45⁴ + 76⁴ + 85⁴ + 103⁴ = 204 566 180

Puissance 5 : 1⁵ + 19⁵ + 28⁵ + 59⁵ + 65⁵ + 90⁵ + 102⁵ = 2⁵ + 14⁵ + 39⁵ + 45⁵ + 76⁵ + 85⁵ + 103⁵ = 18 840 609 424

Puissance 6 : 1⁶ + 19⁶ + 28⁶ + 59⁶ + 65⁶ + 90⁶ + 102⁶ = 2⁶ + 14⁶ + 39⁶ + 45⁶ + 76⁶ + 85⁶ + 103⁶ = 1,7757318 × 10¹²

Cas 3. Puissances 1 à 7

On choisit un nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 5 + 9 + 14 + 28 + 32 + 46 + 51 + 55 = 6 + 7 + 16 + 25 + 35 + 44 + 53 + 54 = 240

Puissance 2 : 5² + 9² + 14² + 28² + 32² + 46² + 51² + 55² = 6² + 7² + 16² + 25² + 35² + 44² + 53² + 54² = 9852

Puissance 3 : 5³ + 9³ + 14³ + 28³ + 32³ + 46³ + 51³ + 55³ = 6³ + 7³ + 16³ + 25³ + 35³ + 44³ + 53³ + 54³ = 454 680

Puissance 4 : 5⁴ + 9⁴ + 14⁴ + 28⁴ + 32⁴ + 46⁴ + 51⁴ + 55⁴ = 6⁴ + 7⁴ + 16⁴ + 25⁴ + 35⁴ + 44⁴ + 53⁴ + 54⁴ = 22 102 116

Puissance 5 : 5⁵ + 9⁵ + 14⁵ + 28⁵ + 32⁵ + 46⁵ + 51⁵ + 55⁵ = 6⁵ + 7⁵ + 16⁵ + 25⁵ + 35⁵ + 44⁵ + 53⁵ + 54⁵ = 1 105 637 400

Puissance 6 : 5⁶ + 9⁶ + 14⁶ + 28⁶ + 32⁶ + 46⁶ + 51⁶ + 55⁶ = 6⁶ + 7⁶ + 16⁶ + 25⁶ + 35⁶ + 44⁶ + 56⁶ + 54⁶ = 56 314 934 052

Puissance 7 : 5⁷ + 9⁷ + 14⁷ + 28⁷ + 32⁷ + 46⁷ + 51⁷ + 55⁷ = 6⁷ + 7⁷ + 16⁷ + 25⁷ + 35⁷ + 44⁷ + 53⁷ + 54⁷ = 2,9036265 × 10¹²

Cas 4. Puissances 1 à 8

On choisit un nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 1 + 25 + 31 + 84 + 87 + 134 + 158 + 182 + 198 = 2 + 18 + 42 + 66 + 113 + 116 + 169 + 175 + 199 = 900

Puissance 2 : 1² + 25² + 31² + 84² + 87² + 134² + 158² + 182² + 198² = 2² + 18² + 42² + 66² + 113² + 116² + 169² + 175² + 199² = 131 460

Puissance 3 : 1³ + 25³ + 31³ + 84³ + 87³ + 134³ + 158³ + 182³ + 198³ = 2³ + 18³ + 42³ + 66³ + 113³ + 116³ + 169³ + 175³ + 199³ = 21 438 000

Puissance 4 : 1⁴ + 25⁴ + 31⁴ + 84⁴ + 87⁴ + 134⁴ + 158⁴ + 182⁴ + 198⁴ = 2⁴ + 18⁴ + 42⁴ + 66⁴ + 113⁴ + 116⁴ + 169⁴ + 175⁴ + 199⁴ = 3 688 163 268

Puissance 5 : 1⁵ + 25⁵ + 31⁵ + 84⁵ + 87⁵ + 134⁵ + 158⁵ + 182⁵ + 198⁵ = 2⁵ + 18⁵ + 42⁵ + 66⁵ + 113⁵ + 116⁵ + 169⁵ + 175⁵ + 199⁵ = 654 881 634 000

Puissance 6 : 1⁶ + 25⁶ + 31⁶ + 84⁶ + 87⁶ + 134⁶ + 158⁶ + 182⁶ + 198⁶ = 2⁶ + 18⁶ + 42⁶ + 66⁶ + 113⁶ + 116⁶ + 169⁶ + 175⁶ + 199⁶ = 1,1873135 × 10¹⁴

Puissance 7 : 1⁷ + 25⁷ + 31⁷ + 84⁷ + 87⁷ + 134⁷ + 158⁷ + 182⁷ + 198⁷ = 2⁷ + 18⁷ + 42⁷ + 66⁷ + 113⁷ + 116⁷ + 169⁷ + 175⁷ + 199⁷ = 2,1846117 × 10¹⁶

Puissance 8 : 1⁸ + 25⁸ + 31⁸ + 84⁸ + 87⁸ + 134⁸ + 158⁸ + 182⁸ + 198⁸ = 2⁸ + 18⁸ + 42⁸ + 66⁸ + 113⁸ + 116⁸ + 169⁸ + 175⁸ + 199⁸ = 4,064168 × 10¹⁸

Conclusion

On peut additionner ou soustraire tout nombre à chacune des termes de toutes les égalités pour obtenir d’autres égalités vraies.

# 6285                   21 février 2022

Rectangles et cubes

Cet article comporte quelques secrets pour trouver la somme de n cubes qui est égale à la somme de n autres cubes et cela à partir de rectangles de nombres.

Cas 1. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 4, on écrit d’abord 1, puis on additionne successivement 2, 4 et 6. Sur la deuxième ligne, on écrit d’abord 15, puis on additionne successivement 6, 4 et 2.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 13³ + 15³ + 27³ = 3³ + 7³ + 21³ + 25³ = 25 256

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 2. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 8, on écrit les nombres du rectangle précédent dans l’ordre de lecture. On additionne un même nombre dont les résultats sont inscrits sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit d’additionner 3.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 4³ + 13³ + 15³ + 16³ + 18³ + 27³ + 30³ = 3³ + 6³ + 7³ + 10³ + 21³ + 24³ + 25³ + 28³ = 62 248

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 3. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 6, on écrit les nombres de 1 à 7, sauf celui du milieu qui est 4. On additionne un même nombre dont les résultats sont inscrits sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit d’additionner 7.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 5³ + 6³ + 9³ + 10³ + 14³ = 2³ + 3³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ = 4815

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 4. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 6, on écrit les mêmes nombres. On choisit d’additionner un autre nombre, soit 20.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 5³ + 6³ + 22³ + 23³ + 27³ = 2³ + 3³ + 7³ + 21³ + 25³ + 26³ = 42 840

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 5. À la première ligne du rectangle 2 × 6 précédent, on additionne 7. On conserve les nombres de la deuxième ligne.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

8³ + 12³ + 13³ + 22³ + 23³ + 27³ = 9³ + 10³ + 14³ + 21³ + 25³ + 26³ = 46 935

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 6. Dans rectangle 2 × 8, on écrit les nombres de 1 à 16.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 4³ + 6³ + 7³ + 10³ + 11³ + 13³ + 16³ = 2³ + 3³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 14³ + 15³ = 9248

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 7. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 8, on écrit d’abord 1 puis on additionne successivement 3, 1, 3, 3, 1, 3, 1, 3. On choisit un nombre qu’on additionne et dont les résultats sont sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit 17.

On obtient :

1³ + 8³ + 12³ + 13³ + 21³ + 22³ + 26³ + 33³ = 4³ + 5³ + 9³ + 16³ + 18³ + 25³ + 29³ + 30³ = 77 860

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Conclusion

En s’inspirant de ces modèles ou en les combinant, on peut trouver autant d’égalités de cubes que l’on veut.

# 6260                    6 février 2022

Polygonaux et fractions

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Nous allons tenter de trouver des égalités de polygonaux en fractionnant des sommes. Voici la façon de procéder : On choisit des nombres. On fait leur somme. On multiplie celle-ci par une fraction qui convient. Dans le choix des nombres, de préférence, on doit éviter les cas où un nombre est la moitié de la somme fractionnée, de même que le cas où l’addition de deux nombres donne la somme fractionnée. Ceci est admis simplement pour ne pas avoir à supprimer des doublons de part et d’autre.

Égalité de six polygonaux du même ordre

On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3. On multiplie celle-ci par 2/3. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 2, 11 et 14. La somme est 27. On multiplie par 2/3. De 18, en soustrayant les nombres choisis, on obtient 16, 7 et 4. On écrit le premier groupe de nombres dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le second membre. En considérant les triangulaires où Δ est l’exposant, on peut écrire :

2^Δ + 11^Δ + 14^Δ = 4^Δ + 7^Δ + 16^Δ = 174

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

On choisit quatre nombres dont la somme est paire. On multiplie celle-ci par 1/2. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 1, 4, 6 et 7. La somme est 18. On multiplie par 1/2. En soustrayant de 9, on obtient 8, 5, 3, 2. En considérant les hexagonaux où h est l’exposant, on peut écrire :

1^h + 4^h + 6^h + 7^h = 2^h + 3^h + 5^h + 8^h = 186

Cette égalité qui comprend les entiers de 1 à 8 est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de 10 polygonaux du même ordre

On choisit cinq nombres dont la somme est divisible par 5. On multiplie celle-ci par 2/5. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 3, 4, 8, 13, 17. La somme est 45. On multiplie par 2/5. Le résultat est 18. En soustrayant de 18, on obtient 15, 14, 10, 5, 1. En considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on peut écrire :

3^p + 4^p + 8^p + 13^p + 17^p = 1^p + 5^p + 10^p + 14^p + 15^p = 798

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de 12 polygonaux du même ordre

On choisit six éléments dont la somme est divisible par 3. On prend le tiers de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 4, 5, 7, 8, 11, 16. La somme est 51. Le tiers de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 13, 12, 10, 9, 6, 1.

En considérant les nombres triangulaires, on peut écrire :

4^Δ + 5^Δ + 7^Δ + 8^Δ + 11^Δ + 16^Δ = 1^Δ + 6^Δ + 9^Δ + 10^Δ + 12^Δ + 13^Δ = 291

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de 14 polygonaux du même ordre

On choisit sept éléments. On prend les 2/7 de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 4, 10, 11, 13, 19, 20, 21. La somme est 98. Le 2/7 de la somme est 28. De 28, on soustrait chacun de ces 7 éléments. On obtient : 24, 18, 17, 15, 9, 8, 7.

En considérant les carrés, on peut écrire :

4² + 10² + 11² + 13² + 19² + 20² + 21² = 7² + 8² + 9² + 15² + 17² + 18² + 24² = 1608

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre.

Égalité de 16 polygonaux du même ordre

On choisit huit éléments dont la somme est divisible par 4. On prend le quart de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 1, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15. La somme est 68. Le quart de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 16, 13, 12, 9, 7, 6, 3, 2.

En considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on peut écrire :

1^p + 4^p + 5^p + 8^p + 10^p + 11^p + 14^p + 15^p = 2^p + 3^p + 6^p + 7^p + 9^p + 12^p + 13^p + 16^p = 1088

Cette égalité qui contient les entiers de 1 à 16 est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Conclusion

On peut trouver autant d’égalités de polygonaux que l’on veut. Soit n le nombre de polygonaux, on multiplie la somme par 4/n. Par exemple, pour 10 polygonaux, le facteur multiplicatif de la somme est 4/10 ou 2/5.