# 5305             18 mars 2020

Prises de becs

Problème 1. Des personnes sont placées 4 × 4. Chaque personne donne un bec à sa voisine, et cela en tout sens, dont en diagonale.

Combien de becs seront donnés ? Quand deux personnes se donnent un bec, cela est compté pour un seul bec.

Solution. Illustrons la situation dans une grille 4 × 4.

Sur la première ligne, on a 3 becs : (1, 2), (2, 3), (3, 4). Pour les lignes, on aura 12 becs.

Dans la première colonne, on a 3 becs : (1, 5), (5, 9), (9, 13). Pour les colonnes, on aura 12 becs.

Dans les diagonales des deux premières lignes, on a 6 becs : (1, 6), (2, 5), (2, 7), (3, 6), (3, 8), (4,7). Il y a trois paires de lignes voisines : ce qui donne 18 becs.

Dans une grille 4 × 4, on peut compter 42 becs.

Problème 2. Même question dans une grille 50 × 50.

Première stratégie

En s’inspirant de la démarche du problème précédent, on peut écrire :

Sur la première ligne, on aura 49 becs. Comme il y a 50 lignes, on fait : 49 × 50 = 2450 becs.

Dans la première colonne, on aura 49 becs. Comme il y a 50 colonnes, on fait : 49 × 50 = 2450 becs.

Dans les diagonales des deux premières lignes, on aura 98 becs. Comme il y a 49 paires de lignes, on fait : 98 × 49 = 4802 becs.

On fait : 2450 + 2450 + 4802 = 9702. Dans une grille 50 × 50, on peut compter 9702 becs.

Deuxième stratégie

Appelons n le nombre de becs.

Sur la première ligne, on aura (n – 1) becs. Comme il y a n lignes, on aura n(n – 1) becs.

Dans la première colonne, on aura (n – 1) becs. Comme il y a n colonnes, on aura n(n – 1) becs. Dans les diagonales des deux premières lignes, on aura 2(n – 1) becs. Comme il y a (n – 1) paires de lignes, on aura 2(n – 1)² becs.

Additionnons ces résultats. Cela donne 2(n – 1 )(2n – 1 ). On remplace n par 50. Le résultat est 9702. Dans une grille 50 × 50, on peut compter 9702 becs.

Troisième stratégie

On peut procéder autrement pour trouver le terme général, comme dans le cas précédent.

Vérifions ce qui se passe à partir d’une grille 1 × 1 jusqu’à une grille 5 × 5.

Grille 1 × 1 : 0 bec

Grille 2 × 2 : 6 becs

Grille 3 × 3 : 20 becs

Grille 4 × 4 : 42 becs

Grille 5 × 5 : 72 becs

On a la suite 0, 6, 20, 42, 72, ... La différence entre chaque terme voisin est la suite 6, 14, 22, 30, ... Cette dernière suite est du premier degré. La suite 0, 6, 20, 42, 72, … est donc du second degré. Il faut trouver le terme général d’une suite de degré 2. L’équation pour une telle suite est an² + bn + c = m où a, b et c sont des constantes, n le rang du terme et m le terme correspondant de la suite.

On remplace n successivement par 1, 2 et 3, puis m par le nombre correspondant qui est le total. On a :

a + b + c = 0

4a + 2b + c = 6

9a + 3b + c = 20

En résolvant les équations, on trouve : a = 4, b = -6 et c = 2. Le terme général est 4n² – 6n + 2 ou 2(n – 1)(2n – 1 ). Comme il s’agit d’une grille 50 × 50, on remplace n par 50 : ce qui donne 9702.

C’est donc 9702 becs qui seront donnés.

Quatrième stratégie

Dans la suite 0, 6, 20, 42, 72, ... trouvée précédemment, on note que chaque terme est le produit de deux entiers consécutifs dont le premier nombre augmente de 2 d’un rang à l’autre.

Soit n le rang du terme, le premier nombre p du produit est (2n – 2). Lorsque n = 50, p = 98. On fait : 98 × 99 = 9702.

C’est donc 9702 becs qui seront donnés.

Cinquième stratégie

Dans la suite 0, 6, 20, 42, 72, ... trouvée précédemment, on note que chaque terme est le double d’un nombre triangulaire.

Soit n le rang du terme, le rang r du triangulaire est (2n – 2). Lorsque n = 50, r = 98. Le terme général d’un triangulaire est r(r + 1)/2. On remplace r par 98. On obtient 4851. On multiplie ce résultat par 2 à cause du double. On obtient 9702.

C’est donc 9702 becs qui seront donnés.

Sixième stratégie

La formule peut être associée aux nombres trapézoïdaux. Ceux-ci sont formés de la somme de nombres consécutifs. Par exemple, 26 est un nombre trapézoïdal car 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

D’ailleurs, les nombres de la suite trouvée précédemment sont tous trapézoïdaux. Ils sont formés de nombres de p à 3p où p est un entier. Pour sa part, 9702 est la somme des entiers consécutifs de 49 à 147.

On peut aussi associer ces nombres à une spirale dont les éléments d’une diagonale à partir du centre appartiennent à cette suite. Voici l’illustration :

Conclusion

Bref, ce problème qui paraît simple peut être résolu en au moins six stratégies et peut conduire à des illustrations mathématiques.

# 5280             3 mars 2020

Bicarrés ou puissances 4

Étudions d’abord ce qui se passe quand on fait la somme de bicarrés dans un carré magique d’ordre 3.

Construisons un carré magique d’ordre 3.

Par lignes

La somme des puissances 4 de la première ligne est : 13⁴ + 1⁴ + 10⁴ = 38 562.

La somme des puissances 4 de la troisième ligne est : 6⁴ + 15⁴ + 3⁴ = 52 002.

La différence des sommes est 13 440.

Posons m le médian (8) du carré magique, p le produit de la raison des deux diagonales (5 × 2) et d la différence des éléments extrêmes de la deuxième colonne (14). On a : mpd = 8 × 5 × 2 × 14 = 1120. En multipliant par 12, on obtient 13 440 : ce qui est la différence des sommes. La valeur ajoutée (ou retranchée) est : 12mpd = 12 × 8 × 10 × 14 = 13 440.

On peut écrire : 13⁴ + 1⁴ + 10⁴ + 12mpd = 6⁴ + 15⁴ + 3⁴ = 52 002.

On voit par là que la différence de la somme des nombres à la puissance 4 de la première ligne et de la troisième ligne est égale à 12mpd.

La formule générale est : a⁴ + b⁴ + c⁴ + 12mpd = x⁴ + y⁴ + z⁴.

Par colonnes

On s’intéresse à la première et à la troisième colonne. La formule est la même. Toutefois, la différence d des éléments extrêmes de la deuxième ligne est 6 au lieu de 14. La différence des deux trios de puissances 4 est 12mpd = 12 × 8 × 10 × 6 = 5760.

On peut écrire : 10⁴ + 11⁴ + 3⁴ + 12mpd = 13⁴ + 5⁴ + 6⁴ = 30 482.

Addition de nombres

Additionnons 5 à chacun des termes du carré magique précédent. On a :

Au lieu d’être 8, le médian est 13. La raison de chaque diagonale ne change pas. D’où, p ne change pas. La différence des éléments extrêmes de la deuxième colonne ne change pas. D’où, d ne change pas. On peut donc écrire par lignes :

18⁴ + 6⁴ + 15⁴ + 12mpd = 11⁴ + 20⁴ + 8⁴ = 178 737 où mpd = 13 × 10 × 14 = 1820.

Si on additionne un même nombre à chaque terme affecté de la puissance 4 dans le cas précédent, l’identité demeure. Toutefois, le médian augmente du nombre choisi. Les autres variables p et d ne changent pas. En additionnant 2, on peut écrire :

20⁴ + 8⁴ + 17⁴ + 12mpd = 13⁴ + 22⁴ + 10⁴ = 272 817 où mpd = 15 × 10 × 14 = 2100.

Relations entre deux carrés magiques

Construisons un premier carré magique, celui de gauche. Additionnons 14 à chacun des éléments de ce carré. On obtient un second carré magique.

Soit A1 la somme des bicarrés de la première ligne du premier carré, A3 la somme des bicarrés de la troisième ligne du premier carré, B1 la somme des bicarrés de la première ligne du deuxième carré, B3 la somme des bicarrés de la troisième ligne du deuxième carré.

Premier carré

A1 = 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ = 79 202.

A3 = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ = 108 002.

La différence des sommes est 28 800.

15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 12mpd = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ = 108 002 où mpd = 10 × 15 × 16 = 2400.

Deuxième carré

B1 = 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ = 1 304 258.

B3 = 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 373 378.

La différence des sommes est 69 120.

29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12mpd = 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 373 378 où mpd = 24 × 15 × 16 = 5760.

Comparons les sommes des premières lignes et des premières colonnes :

A1 + B1 = 1 383 460

A3 + B3 = 1 481 380

La différence est 97 920.

97 920 = 28 800 + 69 120 = 12(m₁ + m₂)pd = 12 × 34 × 15 × 16.

On peut écrire : 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12(m₁ + m₂)pd = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ + 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ =  1 481 380.

Bref, A1 + B1 augmenté de 12(m₁ + m₂)pd est égale à A3 + B3.

Comparons les sommes croisées

A1 + B3 = 1 452 580

A3 + B1 = 1 412 260

La différence des sommes est 40 320.

40 320 = 69 120 – 28 800 = 12m₂pd – 12m₁pd = 12(m₂ – m₁)pd = 12 × 14 × 15 × 16 .

On peut écrire : 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ + 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12(m₂ – m₁)pd = 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 452 580.

Bref, A3 + B1 augmenté de 12(m₂ – m₁)pd est égale à A1 + B3.

# 5250             12 février 2020

En deux pièces

Problème. On doit partager une planche de 15 centimètres sur 24 centimètres en deux pièces. Après avoir accolé les pièces, on doit obtenir une planche de 18 centimètres sur 20 centimètres.

Comment doit-on s’y prendre ?

1. Planches de même dimension

On peut partager une planche de 4 centimètres sur 4 centimètres en deux pièces pour obtenir une figure de même dimension. Par exemple, on peut glisser le rectangle en jaune de la première figure à gauche du rectangle restant. Voici l’illustration :

On peut partager une planche de 4 centimètres sur 6 centimètres en deux pièces pour obtenir une figure de même dimension. Par exemple, on peut glisser le rectangle en jaune de la figure de gauche sous le carré restant. Voici l’illustration :

On peut partager une planche de 4 centimètres par 5 centimètres en deux pièces pour obtenir une figure de même dimension. Par exemple, on peut glisser la partie de droite de la figure en jaune vers le haut. Voici l’illustration :

La largeur de la marche est de 1 centimètre et la hauteur est de 1 centimètre.

2. Planches de dimension différente

On peut partager une planche de 2 centimètres sur 6 centimètres en deux pièces pour obtenir une planche de 3 centimètres sur 4 centimètres. Par exemple, on peut glisser la partie en jaune de la première figure vers le haut. Voici l’illustration :

La largeur de la marche est de 2 centimètres et la hauteur est de 1 centimètre. En soustrayant 2 de 3 et 4 de 6, on obtient respectivement 1 et 2.

On peut partager une planche de 4 centimètres sur 12 centimètres en deux pièces pour obtenir une planche de 6 centimètres sur 8 centimètres. Par exemple, on peut glisser la partie en jaune de la première figure vers le haut. Voici l’illustration :

La largeur de la marche est de 4 centimètres et la hauteur est de 2 centimètres. En soustrayant 4 de 6 et 8 de 12, on obtient respectivement 2 et 4.

3. Application au problème

Les exemples donnés sont, à mon sens, suffisants pour résoudre le problème du début.  Aussi, je laisse le soin au lecteur de le faire.

# 5190             6 janvier 2020

Triangle de Pascal

Le triangle dit de Pascal est un triangle arithmétique qui est connu depuis des siècles. Si on lui a attribué le nom du mathématicien et philosophe Blaise Pascal (1623-1662), c’est que ce dernier en a fait une étude exhaustive. Après avoir présenté le triangle lui-même, nous expliciterons une application pour développer un binôme à une puissance donnée.

1. Disposition du triangle

Les deux côtés du triangle sont formés de 1. Chaque autre nombre du triangle provient de la somme des deux nombres adjacents supérieurs.

Par exemple, au dessous de 10, on trouve 4 et 6. La somme des lignes est successivement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

2. Application sur un binôme

Soit le binôme (a + 1) à la puissance 6. Pour réussir son développement, on prend les coefficients de la septième ligne. Cela donne : a⁶ + 6a⁵ + 15a⁴ + 20a³ + 15a² + 6a + 1.

Pour vérifier si le polynôme est exact, donnons la valeur 1 à a. On a (1 + 1)⁶ = 64. Par ailleurs, la somme des coefficients du polynôme est 64 : ce qui concorde.

3. Extension de l’application

En se basant sur le triangle, pourrait-on élever (a + 2) à la puissance 6 ?

Pour ce faire, conservons les 1 du premier côté. Dans la diagonale suivante, remplaçons la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 en multipliant chacun des nombres par 2 de la même diagonale du triangle précédent. Dans la diagonale suivante, multiplions les nombres par 4. Dans les diagonales suivantes, multiplions successivement par 8, 16, 32 et 64, toujours à partir de la même diagonale du triangle précédent. On obtient ce nouveau triangle.

De la septième ligne, on peut tirer : (a + 2)⁶ = a⁶ + 12a⁵ + 60a⁴ + 160a³ + 240a² + 192a + 64.

Si a = 1, (a + 2)⁶ = 3⁶ = 729. Or, la somme des coefficients est bien 729.

On aura noté que la somme des nombres de chaque ligne dans le triangle est 3 aux puissances successives de 0 à 6, soit 1, 3, 9, 27, 81, 243 et 729.

4. Une autre application

Sauriez-vous développer (a + 3)⁶ ?

# 5170             24 décembre 2019

Carrés magiques non normaux

Rappelons qu’un carré est magique quand la somme est identique sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans les deux diagonales. Un carré magique est normal quand il contient les entiers consécutifs de 1 à n² où n est l’ordre du carré. Par exemple, un carré magique normal d’ordre 4 est formé des entiers de 1 à 16.

Les carrés magiques non normaux sont ceux qui acceptent n’importe lesquels nombres, qu’ils soient positifs ou négatifs, y compris la répétition de nombres. On peut même y trouver des fractions ou des nombres décimaux.

Très peu d’auteurs ont étudié les carrés magiques non normaux. Le présent article présente des façons de composer de tels carrés magiques.

Carrés magiques d’ordre 3

Pour obtenir un carré magique non normal d’ordre 3, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un multiple de 3 qui est la somme S de chaque rangée.

2. On place S/3 au milieu.

3. On complète les deux diagonales pour que leur somme soit S.

4. On complète le tout pour que la somme soit S dans chaque rangée.

Par exemple, on choisit 24 comme somme de chaque rangée. On place 8 au centre. La somme des deux nombres qui manquent dans chaque diagonale est 16. On complète les diagonales, les lignes 1 et 3, puis les colonnes 1 et 3. Voici un résultat :

À partir d’un tel carré magique, on peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser tout nombre et obtenir d’autres carrés magiques non normaux. Par exemple, si on divise chaque élément par 2, on obtient le carré magique suivant pour lequel la somme est 12 dans chaque rangée :

Donnons un exemple où on obtient deux nombres négatifs. On choisit à nouveau 24 comme somme de chaque rangée. On trouve le carré de gauche. Si on ne veut pas de nombres négatifs, on additionne un nombre supérieur à la valeur absolue du plus petit élément. Par exemple, on peut additionner 7.

Si on obtient un 0 et qu’on ne veut pas le conserver, on additionne 1 ou plus à chaque nombre de la grille.

Carrés magiques d’ordre 4

Pour obtenir un carré magique non normal d’ordre 4, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un nombre qui est la somme S de chaque rangée.

2. On place quatre nombres dans le carré 2 × 2 central tels que leur somme est S.

3. On complète les deux diagonales pour que leur somme soit S.

4. On complète un carré 2 × 2 des coins avec deux nombres tels que la somme des quatre nombres est S.

5. On complète chaque rangée.

Par exemple, on choisit 53 comme somme. On peut obtenir ceci.

Carrés magiques d’ordre 5

Pour obtenir un carré magique non normal d’ordre 5, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un nombre qui est la somme S de chaque rangée.

2. On remplit chaque diagonale pour que la somme des éléments soit S.

3. On complète les trois premières lignes.

4. On complète les colonnes sauf celle du milieu.

5. On complète les deux dernières lignes.

Voici un carré magique lorsque la somme de chaque rangée est 69 :

À votre tour de construire d’autres carrés magiques, notamment des carrés magiques d’ordre supérieur à 5, en vous inspirant des règles précédentes et en les adaptant.