# 5035             9 octobre 2019

Carrés magiques d’ordre 4 et carrés

Restreignons notre recherche aux carrés magiques d’ordre 4 et aux identités de sommes de carrés qui peuvent en découler.

Dressons un tableau comportant la somme de deux carrés dont la somme des bases est 17. Additionnons deux à deux les résultats. On a le tableau suivant :

À titre d’exemple, on peut lire : 205 + 157 = 362 ou 3² + 14² + 6² + 11² = 362. Le tableau montre quatre fois deux sommes égales : 314, 354, 374 et 414. La différence des deux premières sommes est 40. Celle des deux dernières est aussi 40.

1. Les sommes sont 314

Du tableau, on peut tirer :

5² + 12² + 8² + 9² = 314

6² + 11² +  6² + 11² = 314

Comme des éléments apparaissent deux fois, on s’abstiendra d’illustrer ces deux identités.

2. Les sommes sont 354

Du tableau, on peut tirer :

3² + 14² + 7² + 10² = 354

4² + 13² +  5² + 12² = 354

Dans le carré magique suivant, le numéro 292 de Frénicle, les éléments de la première identité apparaissent dans deux colonnes sur les quatre lignes. Les éléments de l’autre apparaissent sur deux lignes dans les quatre colonnes.

Il y a symétrie.

3. Les sommes sont 374

Du tableau, on peut tirer :

2² + 15² + 8² + 9² = 374

3² + 14² +  5² + 12² = 374

Dans le carré magique suivant, le numéro 116 de Frénicle, les éléments d’une identité apparaissent dans une diagonale brisée. Les éléments de l’autre apparaissent dans l’autre diagonale brisée.

La symétrie est plus évidente que dans le cas précédent.

4. Les sommes sont 414

Du tableau, on peut tirer :

1² + 16² + 6² + 11² = 414

2² + 15² +  4² + 13² = 414

Dans le carré magique suivant, le numéro 839 de Frénicle, les éléments de la première identité sont aux sommets d’un carré 3 × 3. Les éléments de l’autre apparaissent sur deux lignes différentes et dans deux mêmes colonnes. On y voit une certaine symétrie.

 5. Autres identités
Pour obtenir d’autres identités, on peut combiner les résultats de deux sommes.

Prenons les sommes 354 et 374. On peut écrire :

3² + 14² + 7² + 10² + 2² + 15² + 8² + 9² = 728

4² + 13² +  5² + 12² + 3² + 14² +  5² + 12² = 728

Comme 3² + 14² apparaissent dans les deux identités, on peut les biffer. En ordre,  on a :

2² + 7² + 8² + 9² + 10² + 15² = 4² + 5² + 5² + 12² + 12² + 13² = 523

On a une somme de six carrés qui est égale à une autre somme de six carrés.

# 5015             27 septembre 2019

Une grille magique

Problème. Placez les nombres de 1 à 11 dans la grille ci-après pour que la somme soit la même dans chacune des cinq rangées de trois cases.

Quatre cases appartiennent à deux rangées : les cases marquées 2. Elles sont de degré 2. Les sept autres appartiennent seulement à une rangée. Elles sont de degré 1. Voici la répartition :

On suppose qu’on dispose 1, 2, 3 et 4 dans les cases de degré 2 et les autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire :

2(1 + 2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) = 76.

Comme il y a cinq rangées, on fait : 76 ÷ 5 = 15,2. La plus petite somme probable par rangée est donc 16.

On suppose qu’on place 8, 9, 10 et 11 dans les cases de degré 2 et les autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire :

2(8 + 9 + 10 + 11) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 104.

Comme il y a cinq rangées, on fait : 104 ÷ 5 = 20,8. La plus grande somme probable par rangée est donc 20.

La somme par rangée est 16

Écrivons a au milieu de la première colonne. La somme des éléments des cases de degré 2 est (16 + a). Comme la somme des 11 éléments est 66, la somme des éléments de degré 1 est (50 – a). La somme de 2(16 + a) et de (50 – a) est (82 + a). Comme on a cinq rangées, chacune ayant une somme de 16, on fait : 16 × 5 = 80. On peut écrire : 82 + a = 80. D’où, a = -2.

Il n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, car -2 n’appartient pas à la suite des nombres de 1 à 11.

La somme par rangée est 17

On peut écrire : 2(17 + a) + (49 – a) = 83 + a

83 + a = 85

D’où, a = 2

Voici une configuration possible lorsque la somme par rangée est 17 :

La somme par rangée est 18

On peut écrire : 2(18 + a) + (48 – a) = 84 + a

84 + a = 90

D’où, a = 6

Voici une configuration possible lorsque la somme par rangée est 18 :

La somme par rangée est 19

On trouve un rectangle complémentaire quand, de 12, on soustrait des éléments d’une configuration. Comme chaque rangée contient des triplets, on multiplie 12 par 3 : ce qui donne 36. Pour trouver la somme par rangée dans le rectangle complémentaire, on soustrait 36 de 19. La différence est 17. Prenons le rectangle dont la somme par rangée est 17. De 12, soustrayons chacun des éléments. On obtient :

La somme par rangée est 20

Le rectangle complémentaire a une somme de 16 par rangée. Comme il n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, il n’y en a pas lorsque la somme est 20.

Conclusion

La case centrale de la première colonne ne peut recevoir que 2, 6 et 10 selon les sommes respectives par rangée. Cette condition limite les possibilités de recherche et permet d’obtenir plus facilement des configurations.

# 4985             9 septembre 2019

Propriétés d’un carré magique d’ordre 4

Un carré magique d’ordre 4 est une grille carrée 4 × 4 dans laquelle on place 16 nombres de telle manière que la somme est toujours la même sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans chacune des deux diagonales principales. Un tel carré magique est normal quand on dispose les entiers de 1 à 16.

Nous allons étudier un carré magique normal en donnant le plus possible de propriétés.

Les propriétés essentielles sont :

1. La somme des nombres sur chaque ligne est 34.

2. La somme des nombres dans chaque colonne est 34.

3. La somme des nombres dans chaque diagonale principale est 34.

Nous allons indiquer 21 propriétés subsidiaires qui s’appliquent au carré magique ci-dessus et qui pourraient s’appliquer en partie à l’un ou à l’autre des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4.

1. Sur chaque ligne, on a deux couples de nombres dont la somme est 17.

2. Dans chaque colonne, on a un couple dont la somme est 15 et l’autre 19.

3. Dans chaque diagonale, on a un couple dont la somme est 13 et l’autre 21.

4. La somme des deux nombres du milieu de la première et de la quatrième ligne est 34.

8 + 9 + 14 + 3 = 34

5. La somme des deux nombres du milieu de la première et de la quatrième colonne est 34.

13 + 7 + 4 + 10 = 34

6. La somme des nombres des quatre carrés 2 × 2 des coins est 34.

2 + 8 + 13 + 11 = 34

9 + 15 + 6 + 4 = 34

7 + 1 + 12 + 14 = 34

16 + 10 + 3 + 5 = 34

7. La somme des nombres de trois carrés 2 × 2 passant par la deuxième et la troisième colonne est 34.

8 + 9 + 11 + 6 = 34

11 + 6 + 1 + 16 = 34

1 + 16 + 14 + 3 = 34

8. La somme des coins des quatre carrés 3 × 3 est 34.

2 + 9 + 7 + 16 = 34

8 + 15 + 1 + 10 = 34

13 + 6 + 12 + 3 = 34

11 + 4 + 14 + 5 = 34

9. La somme des coins du carré 4 × 4 est 34.

2 + 15 + 12 + 5 = 34

10. La somme des diagonales brisées en deux parties égales est 34.

8 + 13 + 10 + 3 = 34

9 + 4 + 7 + 14 = 34

11. La somme des éléments extrêmes de la diagonale de gauche est égale à la somme des deux éléments centraux de l’autre diagonale.

2 + 5 = 1 + 6.

12. La somme des éléments centraux de la diagonale de gauche est égale à la somme des deux éléments centraux de l’autre diagonale.

11 + 16 = 15 + 12.

13. La somme des carrés de la première ligne est égale à la somme des carrés de la quatrième ligne.

2² + 8² + 9² + 15² = 374

12² + 14² + 3² + 5² = 374

14. La somme des carrés de la première colonne est égale à la somme des carrés de la quatrième colonne.

2² + 13² + 7² + 12² = 366

15² + 4² + 10² + 5² = 366

15. La somme des carrés de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés de la troisième colonne.

8² + 11² + 1² + 14² = 382

9² + 6² + 16² + 3² = 382

16. En regroupant les identités des propriétés 14 et 15, on obtient deux identités qui contiennent les nombres de 1 à 16 :

1² + 2² + 7² + 8²+ 11² + 12² + 13² + 14² = 748

3²+ 4² + 5² + 6² + 9² + 10² + 15² + 16² = 748

17. La somme des carrés d’une diagonale est égale à la somme des carrés de l’autre diagonale et aussi à la somme des carrés de la troisième ligne.

2² + 11² + 16² + 5² = 406

15² + 6² + 1² + 12² = 406

7² + 1² + 16² + 10² = 406

18. La somme des carrés d’une diagonale brisée en deux parties est égale à la somme des carrés de l’autre diagonale brisée et aussi à la somme des carrés de la deuxième ligne.

8² + 13² + 10² + 3² = 342

9² + 4² + 7² + 14² = 342

13² + 11² + 6² + 4² = 342

19. La somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin supérieur gauche est égale à la somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin supérieur droit, à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin inférieur gauche de même qu’à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin inférieur droit.

2² + 8² + 13² + 11² = 358

9² + 15² + 6² + 4² = 358

13² + 6² + 12² + 3² = 358

11² + 4² + 14² + 5² = 358

20. La somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin inférieur gauche est égale à la somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin inférieur droit, à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin supérieur gauche de même qu’à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin supérieur droit.

7² + 1² + 12² + 14² = 390

16² + 10² + 3² + 5² = 390

2² + 9² + 7² + 16² = 390

8² + 15² + 1² + 10² = 390

21. La somme des cubes de la première ligne est égale à la somme des cubes de la quatrième ligne.

2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 4624

12³ + 14³ + 3³ + 5³ = 4624

Il existe certainement d’autres propriétés.

Aux élèves qui n’ont pas lu cet article, on peut leur proposer de découvrir des propriétés en leur servant de guide. À ceux qui ont lu l’article, on leur propose un autre carré magique normal d’ordre 4.

# 4960             24 août 2019

Histoire d’un escalier

Un apprenti géomètre a dessiné sur papier un escalier avec des petits carrés qui se touchent. Il n’y a pas de doute. L’escalier ne s’est pas effondré. Toutefois, le maître de l’apprenti a d’autres préoccupations. Voici la représentation d’un escalier de 10 marches :

Question 1. Combien a-t-on besoin de petits carrés pour confectionner un escalier de 100 marches, en considérant le palier supérieur comme une marche ?

Solution. Pour la marche du haut, on a besoin de 1 carré.

Pour les deux marches du haut, on a besoin de 3 carrés.

Pour les trois marches du haut, on a besoin de 6 carrés.

Pour les quatre marches du haut, on a besoin de 10 carrés.

La suite est 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. Le terme général est une suite du deuxième degré, soit de la forme an² + bn + c où n est le rang du terme. C’est la suite des nombres triangulaires.

Pour trouver le terme général, on procède ainsi.

Si n = 1, a + b + c = 1.

Si n = 2, 4a + 2b + c = 3.

Si n = 3, 9a + 3b + c = 6.

En soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient : 3a + b = 2.

En soustrayant la deuxième équation de la troisième, on obtient : 5a + b = 3.

En soustrayant ces deux équations, on trouve : a = ½ et b = ½. On remplace les variables par ces valeurs dans une des premières équations. On obtient : c = 0. Le terme général est ½n² + ½n ou n(n + 1)/2.

Si on veut fabriquer un escalier de 100 marches, on remplace n par 100. Le résultat est 5050. On a besoin de 5050 petits carrés pour un escalier de 100 marches.

Question 2. Combien peut-on compter de carrés 2 × 2 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. Sur la première rangée horizontale, on compte 0 carré 2 × 2.

Sur les deux premières rangées horizontales, on compte 0 carré 2 × 2.

Sur les trois premières rangées horizontales, on compte 1 carré 2 × 2.

Sur les quatre premières rangées horizontales, on compte 3 carrés 2 × 2.

Sur les cinq premières rangées horizontales, on compte 6 carrés 2 × 2.

Sur les six premières rangées horizontales, on compte 10 carrés 2 × 2.

On retrouve la même suite précédée de deux 0 : 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. On remplace n par (n – 2) dans le terme général trouvé précédemment. Au lieu d’avoir n(n + 1)/2, on a (n – 2)(n – 2 + 1)/2, soit (n – 2)(n – 1)/2 pour n ≥ 2.

On remplace n par 100. On peut compter 4851 carrés 2 × 2.

Question 3. Combien peut-on compter de carrés 3 × 3 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. Sur les quatre premières rangées horizontales, on compte 0 carrés 3 × 3.

Sur les cinq premières rangées horizontales, on compte 1 carré 3 × 3.

Sur les six premières rangées horizontales, on compte 3 carrés 3 × 3.

Sur les sept premières rangées horizontales, on compte 6 carrés 3 × 3.

Sur les sept premières rangées horizontales, on compte 10 carrés 3 × 3.

On retrouve la même suite précédée de quatre 0 : 0, 0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. On remplace n par (n – 4) dans le terme général trouvé dans la première solution. Au lieu d’avoir n(n + 1)/2, on a (n – 4)(n – 4 + 1)/2, soit (n – 4)(n – 3)/2 pour n ≥ 4.

On remplace n par 100. On peut compter 4656 carrés 3 × 3.

Question 4. Combien peut-on compter de carrés 4 × 4 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. On procède de la même façon. Le terme général est (n – 6)(n – 5)/2 pour n ≥ 6. On remplace n par 100. On peut compter 4465 carrés 4 × 4.

Question 5. Combien peut-on compter de carrés 5 × 5 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. On procède de la même façon. Le terme général est (n – 8)(n – 7)/2 pour n ≥ 8. On peut compter 4278 carrés 5 × 5.

Question 6. Combien peut-on compter de carrés de toute taille dans un escalier de 100 marches ?

Solution. On peut compter 5050 carrés 1 × 1, 4851 carrés 2 × 2, 4656 carrés 3 × 3, 4465 carrés 4 × 4, 4278 carrés 5 × 5. Ces entiers sont formés par le demi-produit de deux nombres consécutifs. Par exemple, 4278 = (92 × 93)/2. Ce sont des triangulaires respectivement de rangs 100, 98, 96, 94 et 92.

Le problème consiste à additionner les nombres triangulaires de rangs pairs de 2 à 100. Pour éviter de longs calculs, on part des plus petits nombres triangulaires de rangs pairs, soit 3, 10, 21, 36, 55, etc. On les additionne de façon consécutive.  Par exemple, on fait : 3 + 10 = 13, 3 + 10 + 21 = 34, 3 + 10 + 21 + 36 = 70, etc. Cela donne : 3, 13, 34, 70, 125, etc.

On fait le tableau des différences successives.

La suite cherchée est donc de degré 3. Le terme général est an³ + bn² + cn + d où n est le rang du terme.

Si n = 1, on a : a + b + c + d = 3

Si n = 2, on a : 8a + 4b + 2c + d = 13

Si n = 3, on a : 27a + 9b + 3c + d = 34

Si n = 4, on a : 64a + 16b + 4c + d = 70

On résout les quatre équations. On trouve : a = 2/3, b = 3/2, c = 5/6, d = 0. Le terme général de la suite est : (4n³ + 9n² + 5n)/6. Comme on a considéré seulement les rangs pairs, on remplace n par 50 : ce qui donne 87 125.

On peut compter 87 125 carrés de toute taille dans un escalier de 100 marches.

# 4935             9 août 2019

Carrés magiques et cubes

Nous savons qu’il existe des liens entre la somme des cubes de la première et de la troisième ligne dans un carré magique d’ordre 3. Nous allons étudier d’autres liens qui unissent deux carrés magiques par rapport aux cubes.

On construit deux carrés magiques au hasard.

Premier carré

La somme des cubes de la première ligne est : 17³ + 1³ + 12³ = 6642.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 8³ + 19³ + 3³ = 7398.

La différence des sommes est 756.

Deuxième carré

La somme des cubes de la première ligne est : 18³ + 23³ + 4³ = 18 063.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 26³ + 7³ + 12³ = 19 647.

La différence des sommes est 1584.

Pour que les sommes des cubes des cases de couleurs différentes soient égales, il faut que les différences des sommes soient égales. Ce n’est pas le cas dans cet exemple puisque la différence est 756 d’une part, et 1584 d’autre part.

Pour avoir les mêmes différences, il est nécessaire qu’un carré magique soit issu l’un de l’autre par l’addition ou la soustraction de ses éléments.

Par addition

Construisons un premier carré magique, celui de gauche. Additionnons 9 à chacun des éléments de ce carré. On obtient un second carré magique.

Premier carré

La somme des cubes de la première ligne est : 10³ + 2³ + 9³ = 1737.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 5³ + 12³ + 4³ = 1917.

La différence des sommes est 180.

Deuxième carré

La somme des cubes de la première ligne est : 19³ + 11³ + 18³ = 14 022.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 14³ + 21³ + 13³ = 14 202.

La différence des sommes est 180.

Soit A1, la première ligne du premier carré, A3 la troisième ligne du premier carré, B1 la première ligne du deuxième carré, B3 la troisième ligne du deuxième carré. Comme la différence de sommes des cubes sont identiques dans les deux carrés, on peut écrire : A1 – A3 = B1 – B3. Ce qui revient à : A1 + B3 = A3 + B1.

On peut écrire :

10³ + 2³ + 9³ + 14³ + 21³ + 13³ = 19³ + 11³ + 18³ + 5³ + 12³ + 4³ = 15 939.

En ordre, on a :

2³ + 9³ + 10³ + 13³ + 14³ + 21³ = 4³ + 5³ + 11³ + 12³ + 18³ + 19³ = 15 939.

La somme des cubes des éléments de la première ligne d’un premier carré magique d’ordre 3 à laquelle on additionne la somme des cubes des éléments de la troisième ligne d’un deuxième carré dont les termes sont augmentés d’un même nombre est égale à la somme des cubes des éléments de la première ligne du deuxième carré à laquelle on additionne la somme des cubes des éléments de la troisième ligne du premier carré.

Cette proposition est vraie aussi pour les colonnes. On peut écrire :

10³ + 6³ + 5³ + 18³ + 17³ + 13³ = 9³ + 8³ + 4³ + 19³ + 15³ + 14³ = 14 283.

En ordre, on a :

5³ + 6³ + 10³ + 13³ + 17³ + 18³ = 4³ + 8³ + 9³ + 14³ + 15³ + 19³ = 14 283.

Par soustraction

Dans le cas précédent, on pourrait soustraire 9 à chacun des éléments du deuxième carré. On obtiendrait le premier carré. Il s’agit donc d’une situation identique.

Justification

Lorsqu’on additionne ou soustrait un même nombre à chacun des éléments d’un carré magique, on obtient un second carré magique. Certaines propriétés ne changent pas.

• On a la même raison sur chacune des deux diagonales.

• On a la même différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne.

Dans les deux carrés magiques précédents, la raison d’une diagonale est 3, la raison de l’autre diagonale est 2, puis la différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne est 10. Il s’ensuit que la différence des sommes de cubes de la première et de la troisième ligne est identique dans chaque carré magique : ce qui permet d’établir une identité.

Autres identités de cubes

On compose un carré magique d’ordre 3. On forme un second carré magique en soustrayant chacun de ses éléments d’un même nombre, soit de 32 dans ce cas.

La somme des cubes de la première ligne (ou colonne) des deux carrés magiques est égale à la somme des cubes de la troisième ligne (ou colonne) des mêmes carrés.

On peut écrire :

Lignes : 13³ + 1³ + 10³ + 19³ + 31³ + 22³ = 6³ + 15³ + 3³ + 26³ + 17³ + 29³ = 50 496.

En ordre, on a : 1³ + 10³ + 13³ + 19³ + 22³ + 31³ = 3³ + 6³ + 15³ + 17³ + 26³ + 29³ = 50 496.

Colonnes : 13³ + 5³ + 6³ + 19³ + 27³ + 26³ = 10³ + 11³ + 3³ + 22³ + 21³ + 29³ = 46 656.

En ordre, on a : 5³ + 6³ + 13³ + 19³ + 26³ + 27³ = 3³ + 10³ + 11³ + 21³ + 22³ + 29³ = 46 656.

Les mêmes nombres forment des identités avec les puissances 1 et 2.

On a : 1 + 10 + 13 + 19 + 22 + 31 = 3 + 6 + 15 + 17 + 26 + 29 = 96.

On a : 1² + 10² + 13² + 19² + 22² + 31² = 3² + 6² + 15² + 17² + 26² + 29² = 2076.

On a : 5 + 6 + 13 + 19 + 26 + 27 = 3 + 10 + 11 + 21 + 22 + 29 = 96.

On a : 5² + 6² + 13² + 19² + 26² + 27² = 3² + 10² + 11² + 21² + 22² + 29² = 1996.

Conclusion

Avec des carrés magiques, on peut former des identités de puissances 1, 2 et 3 comportant les mêmes nombres.

# 4905             18 juin 2019

Propositions sur les cubes

La somme des carrés des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3 est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne. Qu’en est-il si on élève chacun de ces éléments au cube ? La somme des cubes des éléments d’une ligne est-elle égale à la somme des éléments d’une autre ligne ?

Somme des cubes

Soit le carré magique suivant :

On fait la somme des cubes de la première ligne : 13³ + 4³ + 10³ = 3261.

On fait la somme des cubes de la troisième ligne : 8³ + 14³ + 5³ = 3381.

Les deux sommes ne sont pas égales. Leur différence est 120.

On multiplie les éléments de la première ligne : 13 × 4 × 10 = 520.

On multiplie les éléments de la troisième ligne : 8 × 14 × 5 = 560.

Les deux produits ne sont pas égaux. Leur différence est 40, soit le tiers de 120. Pour avoir une identité, on doit multiplier ces produits par 3 et les soustraire à la somme des cubes de la même rangée. On doit faire :

3261 – 3 × 520 = 1701

3381 – 3 × 560 = 1701

On peut écrire : 13³ + 4³ + 10³ – 3(13 × 4 × 10) = 8³ + 14³ + 5³ – 3(8 × 14 × 5) = 1701.

Justification

Cette identité est-elle vraie dans tous les carrés magiques d’ordre 3 ?

Procédons par induction mathématique. On additionne 1 à chacun des éléments du carré magique précédent. Si l’identité est vraie, elle sera vraie pour tous les carrés magiques. Le nouveau carré est :

La somme des cubes de la première ligne est : 14³ + 5³ + 11³ = 4200.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 9³ + 15³ + 6³ = 4320.

La différence entre les deux sommes est 120.

On multiplie les éléments de la première ligne : 14 × 5 × 11 = 770.

On multiplie les éléments de la troisième ligne : 9 × 15 × 6 = 810.

La différence entre les produits est 40, soit le tiers de 120.

On peut donc écrire :

14³ + 5³ + 11³ – 3(14 × 5 × 11) = 9³ + 15³ + 6³ – 3(9 × 15 × 6) = 1890.

L’identité est vraie dans ce cas. Donc, elle est vraie pour tous les carrés magiques d’ordre 3.

De façon générale, on peut écrire :

a³ + b³ + c³ – 3abc = d³ + e³ + f³ – 3def où les lettres appartiennent aux lignes 1 et 3 d’un carré magique d’ordre 3.

On peut tirer la proposition suivante : La somme des cubes des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3, à laquelle on retranche trois fois le produit de ses éléments, est égale à la somme des cubes des éléments de la troisième ligne, à laquelle on retranche trois fois le produit de ses éléments.

Cette proposition est aussi vraie pour la première et la troisième colonne. En effet, si on fait faire une rotation de 90 degrés au carré, les lignes deviennent les colonnes et réciproquement.

On peut le vérifier pour les colonnes à partir du carré magique précédent : 14³ + 7³ + 9³ – 3(14 × 7 × 9) = 11³ + 13³ + 6³ – 3(11 × 13 × 6) = 1170.

Différence de deux sommes de cubes

On peut trouver la différence entre la somme des cubes de la première ligne et de la troisième ligne sans trouver les cubes.

On multiplie par 3 les résultats suivants :

• la raison (différence entre deux éléments voisins) d’une diagonale

• la raison de l’autre diagonale

• la différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne.

Prenons ce carré magique :

Pour trouver la différence, on fait : (8³ + 11³ + 17³) – (7³ + 13³ + 16³) = 3 × 4 × 5 × 2 = 120. La différence des deux sommes est 120.

# 4865             30 mai 2019

Magie d’ordre 3 et carrés

Nous allons appliquer certaines propriétés des carrés magiques d’ordre 3 afin de former des identités de carrés.

Proposition 1. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne). Voici un carré magique :

On peut écrire pour les lignes : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9² = 101.

Montrons que cette proposition est vraie dans tous les carrés magiques d’ordre 3.

Prenons un carré magique généralisé :

La somme des éléments dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est la même, soit 0.

En élevant au carré les éléments de la première ligne, on a : x² + (-x – y)² + y² = x² + x² + 2xy + y² + y² = 2x² + 2xy + 2y².

En élevant au carré les éléments de la troisième ligne, on a : (-y)² + (x + y)² + (-x)² = y² + x² + 2xy + y² + x² = 2x² + 2xy + 2y².

Les deux résultats sont égaux. La proposition est vraie pour les lignes. On peut faire les mêmes calculs pour les colonnes. On a alors pour le carré magique du début : 3² + 4² + 8² = 2² + 6² + 7² = 89.

Proposition 2. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés des éléments d’une des lignes (première ou troisième) et d’une des colonnes (première ou troisième).

À partir du carré magique du début, on peut écrire :

1² + 5² + 9² + 3² + 5² + 7² = 190

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

En biffant de part et d’autre les termes identiques des deux identités, on obtient :

5² + 5² + 7² + 9² = 4² + 6² + 8² + 8²= 180.

On peut représenter cette identité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

En appliquant la même règle de façon symétrique, on peut écrire :

2² + 2² + 4² + 6² = 1² + 3² + 5² + 5² = 60.

Proposition 3. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 1 est égale à la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 3.

On peut écrire :

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

4² + 9² + 2² + 6² + 7² + 2² = 190

En biffant de part et d’autre les termes identiques des deux identités, on obtient :

1² + 3² + 8² + 8² = 2² + 2² + 7² + 9²= 138.

On peut représenter cette identité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

En appliquant la même règle dans les deux autres coins, on peut écrire :

1² + 6² + 6² + 7² = 3² + 4² + 4² + 9² = 122.

Proposition 4. La somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) de deux carrés magiques quelconques est égale à somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne) de ces carrés magiques.

L’identité est : 1² + 6² + 8² + 11² + 15² + 16² = 4² + 9² + 2² + 13² + 12² + 17² = 703.

On pourrait faire de même avec les colonnes. De plus, on pourrait ajouter autant de carrés magiques que l’on veut et produire des identités. Par exemple, le prochain carré magique pourrait contenir les entiers de 19 à 27. Ce qui permettrait d’avoir des entiers différents.

Proposition 5. Quand on additionne ou soustrait un même nombre à chacun des éléments d’un carré magique, le carré reste magique. De plus, il conserve toutes les propriétés relatives à la somme des carrés.

Prenons le dernier carré magique ci-haut. Soustrayons 8 à chacun des éléments. On obtient :

Par exemple, on peut écrire : 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9² = 122.

On peut additionner successivement 1. On aura :

4² + 8² + 9² = 5² + 6² + 10² = 161

5² + 9² + 10² = 6² + 7² + 11² = 206

Il existe d’autres propriétés par rapport aux carrés dans les carrés magiques d’ordre 3. Je vous encourage à en trouver.

# 4835          12 mai 2019

Propriétés du calendrier

Le calendrier porte en lui de nombreuses propriétés mathématiques. Voici une feuille d’un mois de calendrier et quelques propriétés relatives à cette feuille :

• Le reste de la division par 7 de tout élément est indiqué en haut de sa colonne.

• Tous les multiples de 3, sauf 27 le cube de 3, apparaissent dans deux diagonales.

• Un cavalier peut atteindre successivement les cases dont les nombres sont des multiples de 5 et revenir au point de départ : 5, 10, 15, 30, 25, 20, 5.

• Tous les multiples de 6 sont sur une même diagonale.

• La somme des éléments sur chaque ligne comportant 7 éléments est égale à 7 fois l’élément central.

• La somme des éléments dans chaque colonne comportant 5 éléments est égale à 5 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments extrêmes de chaque diagonale est égale à 2 fois le terme central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments des quatre coins est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments du contour est égale à 8 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments centraux des lignes et des colonnes autres qu’au milieu est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 5, la somme des éléments centraux (en gris) des lignes et des colonnes est égale à 4 fois l’élément central. Il en est ainsi pour les autres couleurs.

• Dans un carré 4 × 4, la somme des éléments extrêmes d’une diagonale est égale à la somme des deux éléments de l’autre diagonale.

• À partir des éléments d’un carré 3 × 3, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 3 × 3 (carré de droite).

L’élément central est le même dans les deux cas.

• À partir des éléments d’un carré 4 × 4, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 4 × 4 (carré de droite) en intervertissant les éléments des deux diagonales.

• Comme on l’a expliqué dans un autre article, on peut tirer des identités de sommes de carrés à partir d’un segment de huit cases.

On peut écrire :

2² + 5² + 10² + 11² = 250

3² + 4² + 9² + 12² = 250

À votre tour de trouver d’autres propriétés. Il y en a beaucoup.

# 4810          27 avril 2019

Identités de cubes

À première vue, il ne semble pas évident de trouver des identités comportant seulement des cubes. Nous allons expliquer une technique qui permet d’en trouver une grande quantité sans avoir à élever au cube, si ce n’est que pour la vérification.

Identité de 12 cubes

1. On écrit une identité de six nombres telle que, chaque nombre une fois élevé au carré, donne une nouvelle identité.

2. Dans l’identité, on choisit un nombre supérieur au plus grand, ordinairement le successeur du plus grand.

3. On prend chaque nombre de l’identité. On soustrait du nombre choisi et on additionne au nombre choisi.

4. On vérifie si l’identité est vraie.

5. Au choix, on met les nombres en ordre.

6. On écrit l’exposant 3 à chaque nombre. On a une identité de sommes de 12 cubes.

Par exemple, on choisit : 5 + 6 + 10 = 4 + 8 + 9, car 5² + 6² + 10² = 4² + 8² + 9² = 161.

On opère avec le nombre 11. On fait : 11 – 5 = 6, 11 + 5 = 16, 11 – 6 = 5, 11 + 6 = 17, etc. On peut écrire : 6 + 16 + 5 + 17 + 1 + 21 = 7 + 15 + 3 + 19 + 2 + 20 = 66.

En ordre, on a : 1 + 5 + 6 + 16 + 17 + 21 = 2 + 3 + 7 + 15 + 19 + 20.

On écrit : 1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ = 18 612 (A1)

On a bien une identité de sommes de 12 cubes.

Identité de 24 cubes

Partons de la dernière identité et choisissons 22. On opère avec 22 comme on l’a fait précédemment : soustraction et addition.

Pour le premier membre de l’identité, on a :

21³ + 23³ + 17³ + 27³ + 16³ + 28³ + 6³ + 38³ + 5³ + 39³ + 1³ + 43³ = 266 112

Pour le second membre de l’identité, on a :

20³ + 24³ + 19³ + 25³ + 15³ + 29³ + 7³ + 37³ + 3³ + 41³ + 2³ + 42³ = 266 112

En ordre, on a :

1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ + 23³ + 27³ + 28³ + 38³ + 39³ + 43³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ + 24³ + 25³ + 29³ + 37³ + 41³ + 42³ = 266 112 (B1)

Les sommes des six premiers cubes de chaque membre de l’identité B1 sont égales à un même nombre, soit 18 612. Cette identité est la même que précédemment, soit :

1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ = 18 612

Les sommes des six derniers cubes de chaque membre de l’identité sont égales à un autre même nombre, soit 247 500. On peut donc écrire une autre identité de 12 cubes :

23³ + 27³ + 28³ + 38³ + 39³ + 43³ = 24³ + 25³ + 29³ + 37³ + 41³ + 42³ = 247 500 (C1)

Addition de termes

Plus encore. Si on additionne un même nombre à chacun des éléments des identités A1, B1 et C1, on a d’autres identités. Additionnons 1. On obtient :

2³ + 6³ + 7³ + 17³ + 18³ + 22³ = 3³ + 4³ + 8³ + 16³ + 20³ + 21³ = 21 960 (A2)

2³ + 6³ + 7³ + 17³ + 18³ + 22³ + 24³ + 28³ + 29³ + 39³ + 40³ + 44³ = 3³ + 4³ + 8³ + 16³ + 20³ + 21³ + 25³ + 26³ + 30³ + 38³ + 42³ + 43³ = 290 628 (B2)

24³ + 28³ + 29³ + 39³ + 40³ + 44³ = 25³ + 26³ + 30³ + 38³ + 42³ + 43³ = 268 668 (C2)

Passons aux carrés

Fait intéressant. Si on remplace l’exposant 3 par 2 dans chacune des identités A1, B1 et C1, on a encore des identités. On peut écrire :

1² + 5² + 6² + 16² + 17² + 21² = 2² + 3² + 7² + 15² + 19² + 20² = 1048 (A3)

1² + 5² + 6² + 16² + 17² + 21² + 23² + 27² + 28² + 38² + 39² + 43² = 2² + 3² + 7² + 15² + 19² + 20² + 24² + 25² + 29² + 37² + 41² + 42² = 7904 (B3)

23² + 27² + 28² + 38² + 39² + 43² = 24² + 25² + 29² + 37² + 41² + 42² = 6856 (C3)

Assez spécial. On peut disséquer l’identité B3 en quatre parties :

1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62

16² + 17² + 21² = 15² + 19² + 20² = 986

23² + 27² + 28² = 24² + 25² + 29² = 2042

38² + 39² + 43² = 37² + 41² + 42² = 4814

On peut associer des identités deux à deux pour trouver de nouvelles identités. Ainsi, on peut avoir :

1² + 5² + 6² + 15² + 19² + 20² = 2² + 3² + 7² + 16² + 17² + 21² = 1048

La technique qui a été expliquée peut engendrer un nombre incalculable d’identités de sommes de carrés et de cubes. Je vous suggère cinq identités de départ pour que vous puissiez trouver d’autres identités et ainsi réalisez par vous-même la richesse de cette technique.

2 + 9 + 10 = 4 + 5 + 12

4 + 8 + 9 = 5 + 6 + 10

1 + 7 + 10 = 2 + 5 + 11

2 + 7 + 9 = 3 + 5 + 10

3 + 9 + 12 = 4 + 7 + 13

# 4785          12 avril 2019

Carrés dans le calendrier

À première vue, on ne voit pas de liens entre le calendrier et les carrés. Pourtant, il est possible de trouver des identités de sommes de carrés à partir du calendrier.

Commençons par délimiter une grille carrée 4 × 4 dans une feuille de calendrier comme ci-après.

1. On peut obtenir une identité respectivement de sommes de quatre carrés en prenant dans la grille ci-après les nombres dont les cases sont bleues d’une part et rouges d’autre part. On élève au carré chacun de ces nombres.

On peut écrire : 2² + 5² + 10² + 11² = 3² + 4² + 9² + 12² = 250. De plus, 2 + 5 + 10 + 11 = 3 + 4 + 9 + 12 = 28.

2. On considère la deuxième et la troisième ligne.

On peut écrire : 9² + 12² + 17² + 18² = 10² + 11² + 16² + 19² = 838. De plus, 9 + 12 + 17 + 18 = 10 + 11 + 16 + 19 = 56.

3. On considère la troisième et la quatrième ligne.

On peut écrire : 16² + 19² + 24² + 25² = 17² + 18² + 23² + 26² = 1818. De plus, 16 + 19 + 24 + 25 = 17 + 18 + 23 + 26 = 84.

4. On peut trouver d’autres identités en considérant d’autres paires de lignes ou les colonnes.

5. On peut s’inspirer du calendrier en choisissant d’abord quatre nombres en progression arithmétique, puis en leur additionnant un même nombre. On procède alors comme précédemment. Voici un exemple où on additionne 2 à la première ligne :

On peut écrire : 3² + 9² + 13² + 15² = 5² + 7² + 11² + 17² = 484. Par hasard, 484 est un carré, soit celui de 22. On a donc :

3² + 9² + 13² + 15² = 22²

5² + 7² + 11² + 17² = 22²

6. On peut soustraire ou additionner un certain nombre à la base de chaque élément de toutes les identités de cet article. On obtient ainsi d’autres identités.

■ Si on soustrait 2 aux identités précédentes, on obtient :

1² + 7² + 11² + 13² = 340

3² + 5² + 9² + 15² = 340

■ Si on additionne 2 aux identités du numéro 5, on obtient :

5² + 11² + 15² + 17² = 660

7² + 9² + 13² + 19² = 660

7. On peut ajouter un chiffre au début ou à la fin.

■ Si on ajoute 2 au début des éléments des deux dernières identités et 20 lorsqu’il y a un seul chiffre, on obtient :

205² + 211² + 215² + 217² = 179 860

207² + 209² + 213² + 219² = 179 860

■ Si on ajoute 4 comme unité aux deux dernières identités du numéro 6, on obtient :

54² + 114² + 154² + 174² = 69 904

74² + 94² + 134² + 194² = 69 904

8. On pourrait additionner ou soustraire n’importe lequel nombre. Additionnons 1,4 aux deux dernières identités du numéro 6. On obtient :

6,4² + 12,4² + 16,4² + 18,4² = 802,24

8,4² + 10,4² + 14,4² + 20,4² = 802,24

On voit que le calendrier peut être riche en identités de carrés.

Problème. Trouvez une identité de deux sommes de quatre carrés en utilisant chacun des nombres de 1 à 8.

# 4755          24 mars 2019

Carrés de Diophante

Diophante d’Alexandrie, un mathématicien de langue grecque, vécut au 3^e siècle. Il s’intéressa à de nombreux problèmes d’arithmétique. Nous allons vous présenter un de ses énoncés. Après avoir expliqué sa teneur, nous tenterons d’appliquer cette notion plus largement.

L’énoncé  de Diophante peut se lire comme suit : Le produit de deux entiers dont chacun est la somme de deux carrés est égale à la somme de deux carrés de deux façons.

Soit a² + b² = m₁ et c² + d² = m₂, on peut écrire les deux identités suivantes :

(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

(a² + b²)(c² + d²) = (ac - bd)² + (ad + bc)²

Par exemple, on peut écrire :

1² + 2² = 5

1² + 4² = 17

On a là deux entiers 5 et 17 qui sont chacun une somme de deux carrés. D’après Diophante, le produit de 5 et de 17, soit 85, est la somme de deux carrés de deux façons. Pour les trouver, on fait :

(ac + bd)² + (ad - bc)² = (1 × 1 + 2 × 4)² + (1 × 4 – 2 × 1)² = 9² + 2²

(ac – bd)² + (ad + bc)² = = (1 × 1 – 2 × 4)² + (1 × 4 + 2 × 1)² = -7² + 6² = 7² + 6²

On peut se servir de ce schéma pour trouver les carrés.

Bref, on a les deux égalités suivantes :

9² + 2² = 85

7² + 6² = 85

Trois façons

Pourrait-on trouver un produit qui serait la somme de deux carrés de trois façons ?

À titre d’exemple, prenons trois sommes de deux carrés.

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

2² + 4² = 20

On fait : 5 × 13 × 20 = 1300.

À ma connaissance, il n’existe pas d’identités qui nous permettraient de résoudre le problème. On adapte donc les identités de Diophante. On choisit d’abord deux égalités et on les multiplie selon les règles établies. Avec les résultats, on fait de même avec la troisième égalité.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 2² + 4² = 20, on trouve 20² + 30² = 1300 et 12² + 34² = 1300.

Avec 4² + 7² = 65 et 2² + 4² = 20, on trouve 36² + 2² = 1300 et 20² + 30² = 1300.

Bref, 1300 peut s’écrire d’au moins trois façons :

20² + 30² = 1300

12² + 34² = 1300

36² + 2² = 1300

Même si on a trois sommes, il peut arriver des cas où on ne peut pas écrire un nombre de trois façons.

Quatre façons

Voici un cas où, à partir de trois sommes, on peut trouver quatre façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés :

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

1² + 4² = 17

On a : 5 × 13 × 17 = 1105.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 1² + 4² = 17, on trouve 12² + 31² = 1105 et 4² + 33² = 1105.

Avec 4² + 7² = 65 et 1² + 4² = 17, on trouve 32² + 9² = 1105 et 24² + 23² = 1105.

Bref, 1105 peut s’écrire d’au moins quatre façons :

12² + 31² = 1105

4² + 33² = 1105

32² + 9² = 1105

24² + 23² = 1105

Cinq façons

On peut trouver cinq façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés à partir de quatre sommes :

1² + 2² = 5

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

3² + 4² = 25

On a : 5 × 5 × 13 × 25 = 8125.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 5, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 3² + 4² = 25, on trouve 28² + 29² = 1625 et 20² + 35² = 1625.

Avec 4² + 7² = 65 et 3² + 4² = 25, on trouve 40² + 5² = 1625 et 16² + 37² = 1625.

Avec 28² + 29² = 1625 et 1² + 2² = 5, on trouve 86² + 27² = 8125 et 30² + 85² = 8125.

Avec 20² + 35² = 1625 et 1² + 2² = 5, on trouve 90² + 5² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Avec 2² + 3² = 13 et 3² + 4² = 25, on trouve 18² + 1² = 325 et 6² + 17² = 325.

Avec 18² + 1² = 325 et 3² + 4² = 25, on trouve 58² + 69² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Avec 6² + 17² = 325 et 3² + 4² = 25, on trouve 86² + 27² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Bref, 8125 peut s’écrire d’au moins cinq façons :

86² + 27² = 8125

30² + 85² = 8125

90² + 5² = 8125

50² + 75² = 8125

58² + 69² = 8125

Six façons

On peut trouver six façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés à partir de quatre sommes :

1² + 2² = 5

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

1² + 4² = 17

On a : 5 × 5 × 13 × 17 = 5525.

On trouve que 5525 peut s’écrire d’au moins six façons :

55² + 50² = 5525

62² + 41² = 5525

70² + 25² = 5525

71² + 22² = 5525

73² + 14² = 5525

74² + 7² = 5525

À partir d’un nombre

Combien de sommes de carrés peut-on trouver pour un entier donné ?

On décompose d’abord l’entier en un produit le plus possible de nombres premiers. Si c’est possible, on exprime ces nombres en la somme de deux carrés d’autant de façons qu’il est possible.

# 4725          6 mars 2019

Une table de carrés

Nous allons indiquer une technique pour trouver des identités de carrés. On commence par établir une table dans laquelle on retrouve, par exemple, les carrés de 1 à 14 additionnés deux à deux.