# 4670          3 février 2019

Des trios remarquables

Il existe des nombres ou des ensembles de nombres qu’on qualifie de remarquables. Pourquoi ? Ils ont des propriétés qui, une fois réunies, n’existent à peu près que chez eux. C’est le cas des couples de trios que je vais vous présenter.

Le plus petit trio est (1, 9, 10). Il est accompagné de (5, 6, 11). Les conditions pour faire parti d’un tel ensemble sont :

1. Le plus petit trio doit contenir un 1.

2. Le plus grand nombre de chaque trio doit être la somme des deux autres.

3. La somme des carrés des éléments des deux trios doit être la même :

1² + 9² + 10² = 5² + 6² + 11² = 182

4. La somme des puissances 4 des éléments des deux trios doit être la même :

1⁴ + 9⁴ + 10⁴ = 5⁴ + 6⁴ + 11⁴ = 16 562

(Je ne suis pas certain si les deux dernières conditions sont obligatoires. Probablement qu’elles découlent simplement des deux premières.)

Les exigences sont très grandes. Pourtant, un nombre illimité de tels ensembles de trios ont ces propriétés. On peut d’ailleurs les trouver sans trop de calculs.

Pour trouver les deux trios d’un tel ensemble de rang n donné, on procède ainsi :

Premier trio

1. On place 1.

2. On place un élément qui appartient à la suite (7n + 2).

3. On place l’élément qui est la somme des deux premiers.

Second trio

1. On place l’élément qui appartient à la suite (3n + 2).

2. On place l’élément qui appartient à la suite (5n + 1).

3. On place l’élément qui est la somme des deux premiers.

Par exemple, pour trouver le quatrième ensemble de trios, on remplace n par 4. Cet ensemble est composé de (1, 30, 31) et (14, 21, 35). On peut écrire :

1² + 30² + 31² = 14² + 21² + 35² = 1862

1⁴ + 30⁴ + 31⁴ = 14⁴ + 21⁴ + 35⁴ = 1 733 522

Les 10 plus petits ensembles de trios sont :

De par leur composition, ces ensembles sont spéciaux, mais ce qu’ils engendrent est encore plus extraordinaire. En effet, on peut composer des identités surprenantes à partir d’eux.

Prenons le quatrième ensemble : (1, 30, 31) et (14, 21, 35). Choisissons un opérateur. En réalité, on pourrait choisir n’importe lequel nombre. Toutefois, on se contente de choisir le nombre consécutif au plus grand de l’ensemble. Comme 35 est le plus grand dans les trios, on prend 36 dans ce cas. On soustrait de 36 et on additionne 36 à chaque élément. On écrira :

35 + 37 + 5 + 66 + 6 + 67 = 22 + 50 + 15 + 57 + 1 + 71

On met en ordre les nombres.

5 + 6 + 35 + 37 + 66 + 67 = 1 + 15 + 22 + 50 + 57 + 71 = 216 (A)

En élevant chaque nombre au carré, on a une autre identité.

5² + 6² + 35² + 37² + 66² + 67² = 1² + 15² + 22² + 50² + 57² + 71² = 11 500

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 5, on a une autre identité.

10² + 11² + 40² + 42² + 71² + 72² = 6² + 20² + 27² + 55² + 62² + 76² = 13 810

En élevant chaque nombre de l’identité A au cube, on a une autre identité.

5³ + 6³ + 35³ + 37³ + 66³ + 67³ = 1³ + 15³ + 22³ + 50³ + 57³ + 71³ = 682 128

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 4, on a une autre identité.

9³ + 10³ + 39³ + 41³ + 70³ + 71³ = 5³ + 19³ + 26³ + 54³ + 61³ + 75³ = 830 880

En élevant chaque nombre de l’identité A à la puissance 4, on a une autre identité.

5⁴ + 6⁴ + 35⁴ + 37⁴ + 66⁴ + 67⁴ = 1⁴ + 15⁴ + 22⁴ + 50⁴ + 57⁴ + 71⁴ = 42 502 564

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 3, on a une autre identité.

8⁴ + 9⁴ + 38⁴ + 40⁴ + 69⁴ + 70⁴ = 4⁴ + 18⁴ + 25⁴ + 53⁴ + 60⁴ + 74⁴ = 51 332 914

En élevant chaque nombre de l’identité A à la puissance 5, on a une autre identité.

5⁵ + 6⁵ + 35⁵ + 37⁵ + 66⁵ + 67⁵ = 1⁵ + 15⁵ + 22⁵ + 50⁵ + 57⁵ + 71⁵ = 2 724 334 416

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière identité. En additionnant 2, on a une autre identité.

7⁵ + 8⁵ + 37⁵ + 39⁵ + 68⁵ + 69⁵ = 3⁵ + 17⁵ + 24⁵ + 52⁵ + 59⁵ + 73⁵ = 3 177 582 648

Sans que je puisse le démontrer, j’émets l’hypothèse que tous les ensembles de trios comme ceux présentés dans le tableau produiront des identités aux degrés de 1 à 5. De plus, si on additionne n’importe quel nombre à chaque identité, on aura d’autres identités.

Pourquoi cela arrête-t-il à la puissance 5 ? Je ne le sais pas.

N’est-ce pas que de tels trios produisent des résultats remarquables ? On a raison de les qualifier ainsi.

# 4615          30 décembre 2018

Identités de carrés (1)

Nous indiquons une façon de trouver des identités de carrés comportant les entiers de 1 à n où n est égal ou plus grand que 4. Dans chaque cas, on aura besoin d’un opérateur. On le trouve généralement en additionnant 1 au nombre le plus grand.

Nombres de 1 à 4.

L’opérateur est 5. On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 5. On peut écrire : 4² – 1² = 15, 3² – 2² = 5. Avec 5 et 15, une égalité est : 5 + 5 + 5 = 15.

Pour 5, on écrit 3 dans le premier membre et 2 dans le second.

Pour 15, on écrit 4 dans le second membre et 1 dans le premier.

On a alors :

3² + 3² + 3² + 1² = 28

2² + 2² + 2² + 4² = 28

On peut écrire : 3² + 3² + 3² + 1² = 2² + 2² + 2² + 4².

Nombres de 1 à 5.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 6. On peut écrire : 5² – 1² = 24, 4² – 2² = 12. On fait : 12 + 12 = 24.

On a alors :

4² + 4² + 1² = 33

2² + 2² + 5² = 33

On peut écrire : 4² + 4² + 1² = 2² + 2² + 5².

Nombres de 1 à 6.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 7. On peut écrire : 6² – 1² = 35, 5² – 2² = 21, 4² – 3² = 7. Voici deux exemples :

a) 7 + 7 + 21 = 35

4² + 4² + 5² + 1² = 58

3² + 3² + 2² + 6² = 58

On peut écrire : 4² + 4² + 5² + 1² = 3² + 3² + 2² + 6².

b) 7 + 35 = 21 + 21

4² + 6² + 2² + 2² = 60

3² + 1² + 5² + 5² = 60

On peut écrire : 4² + 6² + 2² + 2² = 3² + 1² + 5² + 5².

Nombres de 1 à 7.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 8. On a : 7² – 1² = 48, 6² – 2² = 32, 5² – 3² = 16. Voici un exemple : 16 + 32 = 48.

On peut écrire : 5² + 6² + 1² = 3² + 2² + 7² = 62.

Nombres de 1 à 8.

Ce sujet sera traité dans un autre article.

Nombres de 1 à 9.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 10. On peut écrire : 9² – 1² = 80, 8² – 2² = 60, 7² – 3² = 40, 6² – 4² = 20. Voici un exemple : 20 + 80 = 40 + 60.

On peut écrire : 6² + 9² + 3² + 2² = 4² + 1² + 7² + 8² = 130.

Nombres de 1 à 10.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 11. On peut écrire : 10² – 1² = 99, 9² – 2² = 77, 8² – 3² = 55, 7² – 4² = 33, 6² – 5² = 11. Voici trois exemples :

a) 33 + 99 = 55 + 77

On peut écrire : 7² + 10² + 3² + 2² = 4² + 1² + 8² + 9² = 162.

b) 11 + 33 + 55 = 99

On peut écrire : 6² + 7² + 8² + 1² = 5² + 4² + 3² + 10² = 150.

c) 11 + 99 = 33 + 77

On peut écrire : 6² + 10² + 4² + 2² = 5² + 1² + 7² + 9² = 156.

Nombres de 1 à 11.

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 12. On peut écrire : 11² – 1² = 120, 10² – 2² = 96, 9² – 3² = 72, 8² – 4² = 48, 7² – 5² = 24. Voici quatre exemples :

a) 48 + 120 = 72 + 96

On peut écrire : 8² + 11² + 3² + 2² = 4² + 1² + 9² + 10² = 198.

b) 24 + 96 = 48 + 72

On peut écrire : 7² + 10² + 4² + 3² = 5² + 2² + 8² + 9² = 174.

c) 24 + 120 = 48 + 96

On peut écrire : 7² + 11² + 4² + 2² = 5² + 1² + 8² + 10² = 190.

d) 24 + 24 + 48 + 96 = 72 + 120

On peut écrire : 7² + 7² + 8² + 10² + 3² + 1² = 5² + 5² + 4² + 2² + 9² + 11² = 272.

Plus l’intervalle est grand, plus on peut trouver d’identités. De plus, ces identités contiennent généralement plus de termes.

Si on additionne un même nombre à chaque terme de l’identité, cette dernière demeure vraie. Quelqu’un pourrait-il le démontrer ?

# 4645          18 janvier 2019

Identités de carrés (2)

Nous indiquons une façon de trouver des identités de carrés comportant les entiers de 1 à 4n où n est égal ou plus grand que 2.

Nombres de 1 à 8

On additionne 1 au nombre de la limite supérieure. On obtient 9. On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 9. On peut écrire : 8² – 1² = 63, 7² – 2² = 45, 6² – 3² = 27, 5² – 4² = 9.

Avec les résultats, on écrit une identité. Par exemple, 27 + 45 = 9 + 63.

On attribue à chaque nombre (27, 45, 9, 63) les nombres soustraits dans les égalités précédentes. On les distribue dans les deux membres de l’identité en plaçant l’entier le plus grand dans le membre où il est placé.

Pour 27, on écrit 6 dans le premier membre d’une nouvelle identité et 3 dans le second.

Pour 45, on écrit 7 dans le premier membre et 2 dans le second.

Pour 9, on écrit 5 dans le second membre et 4 dans le premier.

Pour 63, on écrit 8 dans le second membre et 1 dans le premier.

On écrit les nombres au carré dans l’ordre. Cela donne :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102.

Nous avons trouvé une identité comprenant les carrés des nombres de 1 à 8. De plus, si on enlève l’exposant 2, on a une nouvelle identité : 1 + 4 + 6 + 7 = 2 + 3 + 5 + 8 = 18.

Ce qui est intéressant avec l’identité au carré, c’est que, si on additionne un même nombre à tout entier, on a une nouvelle identité.

Si on additionne 1, on a :

2² + 5² + 7² + 8² = 3² + 4² + 6² + 9² = 142.

Si on ajoute 1 devant chaque nombre de cette dernière identité, on a une nouvelle identité :

12² + 15² + 17² + 18² = 13² + 14² + 16² + 19² = 982.

Si on ajoute 2, au lieu de 1, devant chaque nombre de cette dernière identité, on a une nouvelle identité :

22² + 25² + 27² + 28² = 23² + 24² + 26² + 29² = 2622.

Nombres de 1 à 12

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 13. On peut écrire : 12² – 1² = 143, 11² – 2² = 117, 10² – 3² = 91, 9² – 4² = 65, 8² – 5² = 39, 7² – 6² = 13.

Avec les résultats, on peut écrire : 13 + 39 + 65 + 117 = 91 + 143. On distribue dans les deux membres comme précédemment. On obtient :

7² + 8² + 9² + 11² + 3² + 1² = 325

6² + 5² + 4² + 2² + 10² + 12² = 325

En ordre, on a : 1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325.

Nous avons trouvé une identité comprenant les carrés les entiers de 1 à 12. On peut vérifier que les propriétés énoncées précédemment sont aussi vraies.

Nombres de 1 à 16

Calculons la différence de deux entiers dont la somme est 17. On peut écrire : 16² – 1² = 255, 15² – 2² = 221, 14² – 3² = 187, 13² – 4² = 153, 12² – 5² = 119, 11² – 6² = 85, 10² – 7² = 51, 9² – 8² = 17.

■ Avec les résultats, on peut écrire : 17 + 85 + 187 + 255 = 51 + 119 + 153 + 221. On distribue dans les deux membres :

9² + 11² + 14² + 16² + 7² + 5² + 4² + 2² = 748

8² + 6² + 3² + 1² + 10² + 12² + 13² + 15² = 748

En ordre, on a :

2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 748.

Nous avons trouvé une identité comprenant les carrés des nombres de 1 à 16. On peut vérifier que les propriétés énoncées précédemment sont aussi vraies.

■ Avec les résultats, on peut écrire : 17 + 51 + 221 + 255 = 85 + 119 + 153 + 187. On distribue dans les deux membres. En ordre, on obtient :

1² + 2² + 7² + 8² + 11² + 12² + 13² + 14² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 10² + 15² + 16² = 748.

Nombres de 1 à 20

En procédant de la même façon, trouvez une identité de carrés qui contient les carrés des entiers de 1 à 20.

# 4595          18 décembre 2018

Fantaisies sur des carrés

L’obtention d’identités de sommes de carrés résulte parfois d’une démarche assez souple. On peut ajouter des chiffres, multiplier en partie ou encore jouer avec les unités et les dizaines.

1. Ajouts de chiffres

On sait que : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9². On forme une première expression en conservant le premier membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

1² + 6² + 8² + 12² + 14² + 19².

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du premier membre. Cela donne :

2² + 4² + 9² + 11² + 16² + 18².

Quand on associe les deux expressions, on réalise qu’il y a une identité. En effet,

1² + 6² + 8² + 12² + 14² + 19² = 2² + 4² + 9² + 11² + 16² + 18² = 802.

Fait intéressant, il existe aussi une identité pour la somme des cubes.

1³ + 6³ + 8³ + 12³ + 14³ + 19³ = 2³ + 4³ + 9³ + 11³ + 16³ + 18³ = 12 060.

2. Par multiplication

On sait que : 1² + 11² + 15² = 3² + 7² + 17². On forme une première expression en conservant le premier membre et en multipliant par 2 chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

1² + 11² + 15² + 6² + 14² + 34².

En ordre, on a : 1² + 6² + 11² + 14² + 15² + 34² = 1735.

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en multipliant par 2 chaque terme du premier membre. Cela donne :

3² + 7² + 17² + 2² + 22² + 30².

En ordre, on a : 2² + 3² + 7² + 17² + 22² + 30² = 1735.

On a une identité :

1² + 6² + 11² + 14² + 15² + 34² = 2² + 3² + 7² + 17² + 22² + 30².

3. Changements de rôles

Reprenons l’une des identités précédentes : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9².

Composons des nombres de deux chiffres en associant les nombres d’un membre de l’identité à l’autre et en leur faisant jouer le rôle de dizaines et d’unités. Par exemple, nous pouvons écrire : 12² + 64² + 89² = 12 161.

Par la suite, on inverse les chiffres de chacun des nombres. On obtient :

21² + 46² + 98² = 12 161.

On a une identité : 12² + 64² + 89² = 21² + 46² + 98². De plus, la somme des bases de chaque membre est 165.

On peut associer différemment les deux chiffres de l’identité de départ. Par exemple, on peut écrire : 14² + 69² + 82² = 11 681.

L’inversion donne : 41² + 96² + 28² = 11 681.

On a une autre identité : 14² + 69² + 82² = 41² + 96² + 28².