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Les charleries

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Charles-É. Jean

Propos mathématiques

# 5190             6 janvier 2020

Triangle de Pascal

Le triangle dit de Pascal est un triangle arithmétique qui est connu depuis des siècles. Si on lui a attribué le nom du mathématicien et philosophe Blaise Pascal (1623-1662), c’est que ce dernier en a fait une étude exhaustive. Après avoir présenté le triangle lui-même, nous expliciterons une application pour développer un binôme à une puissance donnée.

 

1. Disposition du triangle

Les deux côtés du triangle sont formés de 1. Chaque autre nombre du triangle provient de la somme des deux nombres adjacents supérieurs.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

 

 

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

 

 

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

 

1

 

6

 

15

 

20

 

15

 

6

 

1

 

Par exemple, au dessous de 10, on trouve 4 et 6. La somme des lignes est successivement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

 

2. Application sur un binôme

Soit le binôme (a + 1) à la puissance 6. Pour réussir son développement, on prend les coefficients de la septième ligne. Cela donne : a6 + 6a5 + 15a4 + 20a3 + 15a2 + 6a + 1.

 

Pour vérifier si le polynôme est exact, donnons la valeur 1 à a. On a (1 + 1)6 = 64. Par ailleurs, la somme des coefficients du polynôme est 64 : ce qui concorde.

 

3. Extension de l’application

En se basant sur le triangle, pourrait-on élever (a + 2) à la puissance 6 ?

 

Pour ce faire, conservons les 1 du premier côté. Dans la diagonale suivante, remplaçons la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 en multipliant chacun des nombres par 2 de la même diagonale du triangle précédent. Dans la diagonale suivante, multiplions les nombres par 4. Dans les diagonales suivantes, multiplions successivement par 8, 16, 32 et 64, toujours à partir de la même diagonale du triangle précédent. On obtient ce nouveau triangle.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

6

 

12

 

8

 

 

 

 

 

1

 

8

 

24

 

32

 

16

 

 

 

1

 

10

 

40

 

80

 

80

 

32

 

1

 

12

 

60

 

160

 

240

 

192

 

64

 

De la septième ligne, on peut tirer : (a + 2)6 = a6 + 12a5 + 60a4 + 160a3 + 240a2 + 192a + 64.

 

Si a = 1, (a + 2)6 = 36 = 729. Or, la somme des coefficients est bien 729.

 

On aura noté que la somme des nombres de chaque ligne dans le triangle est 3 aux puissances successives de 0 à 6, soit 1, 3, 9, 27, 81, 243 et 729.

 

4. Une autre application

Sauriez-vous développer (a + 3)6 ?

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# 5170             24 décembre 2019

Carrés magiques non normaux

Rappelons qu’un carré est magique quand la somme est identique sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans les deux diagonales. Un carré magique est normal quand il contient les entiers consécutifs de 1 à n2 où n est l’ordre du carré. Par exemple, un carré magique normal d’ordre 4 est formé des entiers de 1 à 16.

 

Les carrés magiques non normaux sont ceux qui acceptent n’importe lesquels nombres, qu’ils soient positifs ou négatifs, y compris la répétition de nombres. On peut même y trouver des fractions ou des nombres décimaux.

 

Très peu d’auteurs ont étudié les carrés magiques non normaux. Le présent article présente des façons de composer de tels carrés magiques.

 

Carrés magiques d’ordre 3

Pour obtenir un carré magique non normal d’ordre 3, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un multiple de 3 qui est la somme S de chaque rangée.

2. On place S/3 au milieu.

3. On complète les deux diagonales pour que leur somme soit S.

4. On complète le tout pour que la somme soit S dans chaque rangée.

 

Par exemple, on choisit 24 comme somme de chaque rangée. On place 8 au centre. La somme des deux nombres qui manquent dans chaque diagonale est 16. On complète les diagonales, les lignes 1 et 3, puis les colonnes 1 et 3. Voici un résultat :

 

7

3

14

15

8

1

2

13

9

 

À partir d’un tel carré magique, on peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser tout nombre et obtenir d’autres carrés magiques non normaux. Par exemple, si on divise chaque élément par 2, on obtient le carré magique suivant pour lequel la somme est 12 dans chaque rangée :

 

7

4

½

1

 

Donnons un exemple où on obtient deux nombres négatifs. On choisit à nouveau 24 comme somme de chaque rangée. On trouve le carré de gauche. Si on ne veut pas de nombres négatifs, on additionne un nombre supérieur à la valeur absolue du plus petit élément. Par exemple, on peut additionner 7.

 

 

13

-6

17

 

20

1

24

12

8

4

+ 7

19

15

11

-1

22

3

 

6

29

10

 

Si on obtient un 0 et qu’on ne veut pas le conserver, on additionne 1 ou plus à chaque nombre de la grille.

 

 

Carrés magiques d’ordre 4

Pour obtenir un carré magique non normal d’ordre 4, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un nombre qui est la somme S de chaque rangée.

2. On place quatre nombres dans le carré 2 × 2 central tels que leur somme est S.

3. On complète les deux diagonales pour que leur somme soit S.

4. On complète un carré 2 × 2 des coins avec deux nombres tels que la somme des quatre nombres est S.

5. On complète chaque rangée.

 

Par exemple, on choisit 53 comme somme. On peut obtenir ceci.

 

7

20

22

4

11

15

18

9

12

8

12

21

23

10

1

19

 

 

Carrés magiques d’ordre 5

Pour obtenir un carré magique non normal d’ordre 5, on peut procéder ainsi :

1. On choisit un nombre qui est la somme S de chaque rangée.

2. On remplit chaque diagonale pour que la somme des éléments soit S.

3. On complète les trois premières lignes.

4. On complète les colonnes sauf celle du milieu.

5. On complète les deux dernières lignes.

 

Voici un carré magique lorsque la somme de chaque rangée est 69 :

 

12

20

9

7

21

6

14

17

19

13

23

9

15

18

4

24

10

-2

17

20

4

16

30

8

11

 

À votre tour de construire d’autres carrés magiques, notamment des carrés magiques d’ordre supérieur à 5, en vous inspirant des règles précédentes et en les adaptant.

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