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Les charleries

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Charles-É. Jean

Propos mathématiques

# 4595          18 décembre 2018

Fantaisies sur des carrés

L’obtention d’identités de sommes de carrés résulte parfois d’une démarche assez souple. On peut ajouter des chiffres, multiplier en partie ou encore jouer avec les unités et les dizaines.

 

1. Ajouts de chiffres

On sait que : 12 + 62 + 82 = 22 + 42 + 92. On forme une première expression en conservant le premier membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

12 + 62 + 82 + 122 + 142 + 192.

 

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du premier membre. Cela donne :

22 + 42 + 92 + 112 + 162 + 182.

 

Quand on associe les deux expressions, on réalise qu’il y a une identité. En effet,

12 + 62 + 82 + 122 + 142 + 192 = 22 + 42 + 92 + 112 + 162 + 182 = 802.

 

Fait intéressant, il existe aussi une identité pour la somme des cubes.

13 + 63 + 83 + 123 + 143 + 193 = 23 + 43 + 93 + 113 + 163 + 183 = 12 060.

 

2. Par multiplication

On sait que : 12 + 112 + 152 = 32 + 72 + 172. On forme une première expression en conservant le premier membre et en multipliant par 2 chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

12 + 112 + 152 + 62 + 142 + 342.

 

En ordre, on a : 12 + 62 + 112 + 142 + 152 + 342 = 1735.

 

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en multipliant par 2 chaque terme du premier membre. Cela donne :

32 + 72 + 172 + 22 + 222 + 302.

 

En ordre, on a : 22 + 32 + 72 + 172 + 222 + 302 = 1735.

 

On a une identité :

12 + 62 + 112 + 142 + 152 + 342 = 22 + 32 + 72 + 172 + 222 + 302.

 

3. Changements de rôles

Reprenons l’une des identités précédentes : 12 + 62 + 82 = 22 + 42 + 92.

 

Composons des nombres de deux chiffres en associant les nombres d’un membre de l’identité à l’autre et en leur faisant jouer le rôle de dizaines et d’unités. Par exemple, nous pouvons écrire : 122 + 642 + 892 = 12 161.

 

Par la suite, on inverse les chiffres de chacun des nombres. On obtient :

212 + 462 + 982 = 12 161.

 

On a une identité : 122 + 642 + 892 = 212 + 462 + 982. De plus, la somme des bases de chaque membre est 165.

 

On peut associer différemment les deux chiffres de l’identité de départ. Par exemple, on peut écrire : 142 + 692 + 822 = 11 681.

 

L’inversion donne : 412 + 962 + 282 = 11 681.

 

On a une autre identité : 142 + 692 + 822 = 412 + 962 + 282.

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