(Dessin réalisé au primaire) Contactez-moi : cejean@charleries.net |
Les charleries Bienvenue sur mon blogue, Ce blogue contient des souvenirs, des anecdotes, des opinions, de la fiction, des bribes d’histoire, des récréations et des documents d’archives. Charles-É. Jean
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Propos mathématiques |
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#
6485
24 juin 2022
Problèmes anti-alcooliques
Au début du 20e
siècle, une gigantesque campagne au Québec est mise sur pied pour
enrayer la consommation d’alcool qui est alors considérée comme un
fléau. Aussi, il est recommandé à tous les acteurs civils, scolaires
et religieux d’y collaborer
en visant l’assainissement des mœurs.
C’est ainsi
que L’enseignement primaire, une revue destinée aux écoles,
intègre de la propagande dans presque toutes les matières scolaires.
En mathématiques, on fait le choix de proposer aux élèves des
problèmes qu’on appelle anti-alcooliques. Nous vous proposons 14 de
ces problèmes et leur solution. Des corrections mineures ont été
apportées sur la forme mais pas sur le fond.
Les solutions
sont données à la fin.
1. Un journalier est payé 0,25 $ de l’heure. Il boit la valeur de
dix verres par jour à 0,05 $ le verre.
Combien faudra-t-il qu’il travaille d’heures pour payer l’alcool qui
l’empoisonne ? (décembre 1907)
2. Depuis 25
ans, un ivrogne a dépensé en moyenne 4 $ par mois en boisson, et il
a perdu trois jours de travail par mois. Sa journée lui rapporte en
moyenne 1,50 $.
Calculez ce
que lui a fait perdre son exécrable passion. (décembre 1909)
3. Un père de
famille que je connais a fait la noce samedi et a dépensé 2 $ en
boisson. Le lendemain, il était tellement malade qu’il a fallu
appeler le médecin en pleine nuit, ce qui a coûté, avec les
médicaments 3 $. Cet homme qui gagne 2 $ par jour n’a pu reprendre
son travail que le jeudi suivant.
Calculez
combien lui a coûté cet excès de boisson. (février 1908)
4. Un père de famille dépense 0,50 $ en boisson toutes les semaines.
Par ailleurs, les draps de lit coûtent 1,50 $ la paire.
Cherchez combien sa femme pourrait acheter de paires de draps de lit
qui manquent, avec le montant que représente cette dépense par
année. (janvier 1908)
5. On suppose que chaque comté dans la province de Québec envoie
annuellement 3 alcooliques dans les asiles d’aliénés. Chacun d’eux
coûte à la province 125 $ par an.
Quelle serait la dépense annuelle pour les 73 comtés ? (décembre
1906)
6. Il se consomme chaque année dans notre pays des boissons
alcooliques au montant d’environ 105 000 000 $. Or, une somme de 300
$ est suffisante pour établir un colon.
Combien pourrait-on établir chaque année de colons sur nos terres
avec le montant de cette consommation ? (mai 1907)
7. Avec l’argent qu’il gaspille en liqueurs alcooliques, soit 0,05 $
par jour, combien un ouvrier pourrait-il à la fin de l’année acheter
de cordes de bois à 5 $ la corde ? (décembre 1906)
8. Un homme
dépense en moyenne 0,20 $ par jour dans les buvettes. Par ailleurs,
une livre de beurre coûte 0,30 $.
Combien de
livres de beurre pourrait-il acheter avec la somme ainsi gaspillée
dans une année ? (mars 1909)
9. Un père de famille boit tous les jours en moyenne la valeur de
0,20 $.
Pour quelle somme a-t-il bu à la fin de l’année, et avec ce montant
ainsi dépensé pour avancer sa mort, combien achèterait-il de
douzaines de pains à 2,16 $ la douzaine ? (janvier 1908)
10. Un habillement complet vaut 10,40 $, les bottines 2,70 $ et le
chapeau 1,20 $. Un ouvrier a la mauvaise habitude de boire chaque
jour pour 10 cents d’alcool.
Dites en combien de jours, s’il se corrige, il pourra économiser
l’argent nécessaire à l’achat du complet, des bottines et du
chapeau. (janvier 1907)
11. Un père de famille, dont les six enfants passent une partie de
l’hiver à la maison parce qu’ils n’ont pas de chaussures, gagne
12,75 $ par semaine. Régulièrement, il dépense deux piastres à
l’auberge le samedi soir, y compris la bouteille de boisson qu’il ne
manque pas d’apporter pour sa journée du dimanche.
Pendant combien de semaines lui faudrait-il économiser ces 2 $ pour
acheter deux paires de chaussures à chacun de ses enfants, à raison
de 1,50 $ la paire ? (septembre 1907)
12. Un célèbre statisticien français, le Dr Marambat, a. constaté
que les alcooliques fournissent 75 % des voleurs, 79 % des vagabonds
et des mendiants, 50 % des assassins, 57 % des incendiaires.
Calculez le nombre d’alcooliques qu’il y avait sur 1000 individus
condamnés dans chaque catégorie. (avril 1908)
13. Un savant professeur a noté dans 10 familles d’alcooliques les
chiffres suivants : 57 enfants, dont 25 morts dans les premières
semaines, 7 idiots, 5 épileptiques et 10 autres atteints
d’affections diverses.
Trouvez combien de ces enfants étaient sains. (mars 1908)
14. Trente pour cent des cas de folie et 35 % des suicides sont dus
au démon-alcool.
Dans un asile qui compte 1500 malades et dans une ville où l’on
enregistre 40 suicides dans l’année, quel est le nombre de cas de
folie, puis de suicides dont l’alcool est la cause ? (septembre
1911)
* * * * * * *
Solution 1. Le journalier devra travailler 2 heures.
Solution 2. L’ivrogne a perdu 2550 $.
Solution 3. Cet excès lui a coûté 11 $.
Solution 4. Elle pourrait acheter 17 paires de draps de lit et il
lui resterait 0,50 $.
Solution 5. La dépense est de 27 375 $.
Solution 6. On pourrait établir 350 000 colons.
Solution 7. Il pourrait acheter 3,65 cordes de bois.
Solution 8. Il pourrait acheter 243 1/3 livres de beurre.
Solution 9. Il a bu pour une somme de 73 $. Il pourrait acheter 33
douzaines de pain et il lui resterait 1,72 $.
Solution 10. Il prendra 143 jours pour économiser l’argent
nécessaire.
Solution 11. Il lui faudrait 9 semaines.
Solution 12. On compte 750 voleurs, 790 vagabonds, 500 assassins et
570 incendiaires.
Solution 13. Dix enfants étaient sains.
Solution 14. On y compte 450 cas de folie et 30 suicides dont l’alcool est la cause. |
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# 6435
24 mai 2022
Tout en œufs
Dans la littérature récréative mathématique, on trouve des
situations où des moitiés d’œufs sont distribuées sans casser aucun
œuf. Cela semble relever de la magie. Il n’en est rien. Si on a un
nombre impair d’œufs, la moitié est un entier plus une fraction qui
est la moitié. Quand on s’astreint à donner en plus une moitié, cela
revient à distribuer un nombre entier d’œufs. Il faut donc toujours
avoir un nombre impair d’œufs pour réaliser cette condition.
La première récréation connue dans cette catégorie est attribuée à
Frédéric Ozanam (1640-1717). La voici :
« Une femme de campagne porte des œufs au marché dans
une ville de guerre où il y a trois corps de garde à passer. Au
premier, elle laisse la moitié de ses œufs et la moitié d'un ; au
second, la moitié de ce qui lui restait et la moitié d'un ; au
troisième, la moitié de ce qui lui restait et la moitié d'un ;
enfin, elle arrive au marché avec trois douzaines. Comment cela se
peut-il faire sans rompre aucun œuf ? »
Le calculateur prodige Henri Mondeux
(1826-1861) a formulé une autre récréation sur le même modèle
mathématique :
« Une marchande d'œufs va au marché avec
une certaine quantité d'œufs. À une première personne, elle vend la
moitié de ses œufs, plus la moitié d'un œuf ; à une deuxième, la
moitié de ce qu'il lui reste, plus la moitié d'un œuf, et de même à
une troisième et à une quatrième personne. Alors elle a tout vendu
et elle n'en a cassé aucun. Combien avait-elle d’œufs en arrivant au
marché ? »
Résolvons cette dernière récréation.
Première stratégie. On procède par tâtonnement.
Comme on l’a dit précédemment, on doit choisir un nombre impair
d’œufs au départ. Imaginons que la marchande avait 27 œufs. Elle en
vend 13 ½ + ½ = 14. Il lui en reste 13. Elle en vend 6 ½ + ½ = 7. Il
lui en reste 6. On ne peut pas continuer car 6 est pair. Pour que
chaque vente puisse se réaliser, il faut qu’il reste toujours un
nombre impair d’œufs. C’est ce que nous apprend cette première
stratégie. Toutefois, il semble plus raisonnable d’abandonner le
tâtonnement car on pourrait chercher longtemps.
Deuxième stratégie. On procède à rebours (1)
On cherche le nombre d’œufs vendus depuis la fin. Observons ce qui
se passe si on avait 6 œufs à la fin comme il est trouvé dans la
stratégie précédente. À rebours, on fait : (6 + ½)2 = 13, puis (13 +
½)2 = 27. On multiplie par 2 car l’inverse de la moitié est le
double.
Maintenant, partons de 0.
À la quatrième personne, la marchande aura vendu 1 œuf. En effet, (0
+ ½)2 = 1.
À la troisième personne, la marchande aura vendu 3 œufs. En effet,
(1 + ½)2 = 3.
À la deuxième personne, la marchande aura vendu 7 œufs. En effet, (3
+ ½)2 = 7.
À la première personne, la marchande aura vendu 15 œufs. En effet,
(7 + ½)2 = 15.
La marchande a vendu 15 œufs.
Troisième stratégie. On procède à rebours (2)
On cherche le nombre d’œufs vendus à chaque transaction en
commençant par la fin. Comme il reste 0 œuf, la quatrième vente est
d’un œuf. Par la suite, le nombre d’œufs vendus double à chaque
vente. On aura successivement 1, 2, 4, 8 œufs vendus : ce qui fait
un total de 15.
La marchande a vendu 15 œufs.
Quatrième stratégie. On procède par induction.
Cette stratégie est principalement nécessaire quand le nombre de
ventes est relativement grand. Par exemple, supposons que le nombre
n de ventes est 25. En se basant sur les données de la deuxième
stratégie où n représente le nombre de ventes, on peut écrire :
Si n = 1, on vend 1 œuf.
Si n = 2, on vend 3 œufs.
Si n = 3, on vend 7 œufs.
Si n = 4, on vend 15 œufs.
Pour trouver le nombre d’œufs d’une vente à
l’autre, on multiplie par 2 le nombre d’œufs précédent et on
additionne 1. Par exemple, pour n = 4, on fait 7
×
2 + 1 = 15.
Pour arriver au résultat total sans passer par
toutes ces étapes, on élève 2 à la puissance n et on soustrait 1.
Par exemple, si n = 4, on fait : 24 – 1 = 15.
Si n = 25, la marchande aura vendu (225
– 1) œufs,
soit 33 554 431
œufs. On suppose que la marchande manipule un œuf à la
seconde, le tout prendrait approximativement un an et 23 jours.
Surprenant, n’est-ce pas ?
En guise de conclusion
Je vous laisse le soin de résoudre le problème suivant :
Une marchande vend à une première personne le tiers de ses œufs plus
le tiers d’un œuf ; à une seconde personne le tiers de ce qui lui
reste plus le tiers d’un œuf ; enfin, à une troisième personne le
tiers de ce qui lui reste plus le tiers d’un œuf. Après cette
troisième vente, il lui reste 7 œufs.
Combien la marchande en avait-elle d’œufs
en arrivant au marché ?
(Elle avait 26 œufs en arrivant au marché. 7, 11, 17, 26) |
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# 6380
21 avril 2022
Une grille 3 × 3
Problème 1
Placez les nombres de 1 à 9 dans cette grille. La somme des nombres
de deux cases extrêmes de la même couleur, y compris l’élément de la
case du centre, doit être la même.
Solution. • Plaçons 1 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les
combinaisons (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6). La somme est 12 dans
chaque rangée. Une configuration possible est :
•
Plaçons 2 au centre. On doit choisir la combinaison (1, 9), mais 8
ne peut pas être choisi. Il n’y a pas de configuration possible dans
ce cas.
•
Il n’y a pas de configuration quand on place 3, puis 4 au centre.
•
Plaçons 5 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les
combinaisons (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). La somme est 15.
•
Il n’y a pas de configuration quand on place 6, 7 et 8 au centre.
Les sommes possibles sont 12, 15 et 18.
Problème 2
Placez les neuf plus petits nombres impairs dans la grille selon les
mêmes règles que le problème précédent.
Solution. Les neuf plus petits nombres impairs sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11,
13, 15, 17. On applique la même démarche que dans le premier
problème. Les éléments du centre sont successivement 1, 9 et 17. Les
sommes sont respectivement 21, 27 et 33. On peut obtenir cette
configuration :
Problème 3
Placez les nombres 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17 dans la grille
selon les mêmes règles.
Solution. On additionne deux à deux les nombres de rangs opposés. On fait :
4 + 17 = 21, 5 + 16 = 21, 6 + 13 = 19. On a là une somme différente
des deux autres cas. On prend 6 pour le centre. On a les
combinaisons (4, 17), (5, 16), (8, 13), (9, 12). La somme des
nombres de chaque rangée est 27 et c’est la seule. Voici un exemple
de configuration :
Conclusion Il peut y avoir d’autres stratégies pour trouver les sommes de chaque rangée. Je vous laisse le soin d’en trouver au moins une. |
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# 6350
3 avril 2022
Un nouveau
livre d’énigmes
Les éditions Goélette viennent de publier un autre de mes livres
d’énigmes. Il est intitulé
Énigmes, 450 défis. Pas besoin d’avoir de grands talents pour
résoudre ces énigmes. Un peu de logique et des connaissances
élémentaires suffisent.
Aux imbéciles, on offre du papier ________.
Aux pauvres, on offre du papier ________.
Aux édentés, on offre du papier ________.
Aux gens qui s’éparpillent, on offre du papier ________.
Aux canoteurs, on offre du papier ________.
Dans chaque cas, choisissez le mot le plus approprié :
d’emballage, mâché, monnaie, en rame, timbré. (solution, ci-bas)
Énigme 6. Échanges de chocolats
Martin dit à Martine :
« Si tu me donnais 2 de tes chocolats, j’en aurais le double de
toi ».
Martine reprend :
« Si tu me donnais 5 de tes chocolats, j’en aurais le double de
toi ».
Combien chacun a-t-il de chocolats ?
Le prix suggéré du livre est de 10,95 $.
* * * * * *
Solution 2.
Timbré, monnaie, mâché, d’emballage, en rame. Solution 6. Martin a 12 chocolats et Martine 9 chocolats. |
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# 6335
24 mars 2022
Six carrés : une méthode générale
Dans le présent
article, nous allons montrer comment trouver une égalité dans
laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois
autres carrés.
Mise en place
Soit l’égalité a2
+ b2 + c2 = d2 + e2 + f2.
Nous allons établir le procédé entre tenant compte de la différence
entre chacun des trois premiers termes. Aussi, on pose : p = b – a
et q = c – b.
Recherche de
valeurs
Il faut trouver
deux nombres p et q dont la différence est un multiple de 3. D’où,
on peut poser : p – q = 3n. Allons-y pour p = 11 et q = 5. Dans ce
cas, n = 2.
On continue en
donnant une valeur à a. On va choisir a = 1. Comme p = 11, b = 12.
Comme q = 5, c = 17. Les trois premières bases sont 1, 12 et 17.
On additionne n à
la première base : ce qui fait que d = 3. Au lieu d’additionner
successivement p et q dans cet ordre comme ci-devant, on additionne
successivement q et p. D’où, e = 3 + 5 = 8 et f = 8 + 11 = 19.
L’égalité est : 12
+ 122 + 172 = 32 + 82 +
192 = 434.
Variations
1. On peut
additionner tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité
est vraie. Par exemple, on choisit d’additionner 13. On aura :
142 +
252 + 302 = 162 + 212 +
322 = 1721.
2. On peut
soustraire tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité
est vraie. Par exemple, on choisit de soustraire 0,2 à l’égalité de
départ. On aura :
0,82 +
11,82 + 16,82 = 2,82 + 7,82
+ 18,82 = 422,12.
3. On peut
multiplier tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité
est vraie. Par exemple, on choisit de multiplier par 6 l’égalité du
départ. On aura :
62 + 722
+ 1022 = 182 + 482 + 1142
= 15 624.
4. On peut diviser
tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie.
Par exemple, on choisit de diviser par 4 l’égalité de départ. On
aura :
0,252 +
32 + 4,252 = 0,752 + 22
+ 4,752 = 27,125.
5. On peut ajouter
tout nombre au début de chaque base comme si chacune avait le même
nombre de chiffres. En ajoutant 3 au début de l’égalité de départ,
on aura :
3012 +
3122 + 3172 = 3032 + 3082
+ 3192 = 288 434.
6. On peut ajouter
tout nombre à la fin de chaque base comme si chacune avait le même
nombre de chiffres. En ajoutant 13 à la fin de l’égalité de départ,
on aura :
1132 +
12132 + 17132 = 3132 + 8132
+ 19132 = 4 418 507.
Application aux
nombres figurés
Toutes les
égalités précédentes demeurent vraies quand on considère chaque base
comme un rang d’un nombre figuré. Par exemple, en l’appliquant aux
nombres hexagonaux, on peut écrire l’égalité avec un exposant h tel
que 78h est mis pour l’hexagonal de rang 78. On aura :
1h + 12h
+ 17h = 3h + 8h + 19h =
1 + 276 + 561 = 15 + 120 + 703 = 838.
En guise de
conclusion Comme on peut le constater, une seule égalité de six carrés peut engendrer une infinité d’autres égalités de six carrés. En modifiant les valeurs de départ à l’infini, il est possible de trouver des infinités d’égalités. |
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# 6315
12 mars 2022
Puissances remarquables
Il est étonnant de
réaliser qu’on peut obtenir plusieurs égalités de puissances qui
contiennent les mêmes nombres. Nous expliquons ici quatre cas où les
puissances varient de 1 à 5, 6, 7 et même à 8.
Cas 1. Puissances
1 à 5
On choisit un
nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement
les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres
du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi :
c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On
additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du
rectangle.
On peut écrire :
Puissance 1 :
5 + 10 + 11 + 21 + 22 + 27 = 6 + 7 + 15 + 17 + 25 + 26 = 96
Puissance 2 :
52 + 102 + 112 + 212 +
222 + 272 = 62 + 72 + 152
+ 172 + 252 + 262 = 1900
Puissance 3 :
53 + 103 + 113 + 213 +
223 + 273 = 63 + 73 + 153
+ 173 + 253 + 263 = 42 048
Puissance 4 :
54 + 104 + 114 + 214 +
224 + 274 = 64 + 74 + 154
+ 174 + 254 + 264 = 985 444
Puissance 5 :
55 + 105 + 115 + 215 +
225 + 275 = 65 + 75 + 155
+ 175 + 255 + 265 = 23 850 816
Cas 2. Puissances
1 à 6
On choisit un
nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement
les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres
du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi :
c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On
additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du
rectangle.
On peut écrire :
Puissance 1 :
1 + 19 + 28 + 59 + 65 + 90 + 102 = 2 + 14 + 39 + 45 + 76 + 85 + 103
= 364
Puissance 2 :
12 + 192 + 282 + 592 +
652 + 902 + 1022 = 22 +
142 + 392 + 452 + 762 +
852 + 1032 = 27 356
Puissance 3 :
13 + 193 + 283 + 593 +
653 + 903 + 1023 = 23 +
143 + 393 + 453 + 763 +
853 + 1033 = 2 299 024
Puissance 4 :
14 + 194 + 284 + 594 +
654 + 904 + 1024 = 24 +
144 + 394 + 454 + 764 +
854 + 1034 = 204 566 180
Puissance 5 :
15 + 195 + 285 + 595 +
655 + 905 + 1025 = 25 +
145 + 395 + 455 + 765 +
855 + 1035 = 18 840 609 424
Puissance 6 :
16 + 196 + 286 + 596 +
656 + 906 + 1026 = 26 +
146 + 396 + 456 + 766 +
856 + 1036 = 1,7757318
× 1012
Cas 3. Puissances
1 à 7
On choisit un
nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement
les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres
du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi :
c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On
additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du
rectangle.
On peut écrire :
Puissance 1 :
5 + 9 + 14 + 28 + 32 + 46 + 51 + 55 = 6 + 7 + 16 + 25 + 35 + 44 + 53
+ 54 = 240
Puissance 2 :
52 + 92 + 142 + 282 + 322
+ 462 + 512 + 552 = 62 +
72 + 162 + 252 + 352 +
442 + 532 + 542 = 9852
Puissance 3 :
53 + 93 + 143 + 283 + 323
+ 463 + 513 + 553 = 63 +
73 + 163 + 253 + 353 +
443 + 533 + 543 = 454 680
Puissance 4 :
54 + 94 + 144 + 284 + 324
+ 464 + 514 + 554 = 64 +
74 + 164 + 254 + 354 +
444 + 534 + 544 = 22 102 116
Puissance 5 :
55 + 95 + 145 + 285 + 325
+ 465 + 515 + 555 = 65 +
75 + 165 + 255 + 355 +
445 + 535 + 545 = 1 105 637 400
Puissance 6 :
56 + 96 + 146 + 286 + 326
+ 466 + 516 + 556 = 66 +
76 + 166 + 256 + 356 +
446 + 566 + 546 = 56 314 934 052
Puissance 7 :
57 + 97 + 147 + 287 + 327
+ 467 + 517 + 557 = 67 +
77 + 167 + 257 + 357 +
447 + 537 + 547 = 2,9036265
× 1012
Cas 4. Puissances
1 à 8
On choisit un
nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement
les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres
du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi :
c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On
additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du
rectangle.
On peut écrire :
Puissance 1 :
1 + 25 + 31 + 84 + 87 + 134 + 158 + 182 + 198 = 2 + 18 + 42 + 66 +
113 + 116 + 169 + 175 + 199 = 900
Puissance 2 :
12 + 252 + 312 + 842 +
872 + 1342 + 1582 + 1822
+ 1982 = 22 + 182 + 422
+ 662 + 1132 + 1162 + 1692
+ 1752 + 1992 = 131 460
Puissance 3 :
13 + 253 + 313 + 843 +
873 + 1343 + 1583 + 1823
+ 1983 = 23 + 183 + 423
+ 663 + 1133 + 1163 + 1693
+ 1753 + 1993 = 21 438 000
Puissance 4 :
14 + 254 + 314 + 844 +
874 + 1344 + 1584 + 1824
+ 1984 = 24 + 184 + 424
+ 664 + 1134 + 1164 + 1694
+ 1754 + 1994 = 3 688 163 268
Puissance 5 :
15 + 255 + 315 + 845 +
875 + 1345 + 1585 + 1825
+ 1985 = 25 + 185 + 425
+ 665 + 1135 + 1165 + 1695
+ 1755 + 1995 = 654 881 634 000
Puissance 6 :
16 + 256 + 316 + 846 +
876 + 1346 + 1586 + 1826
+ 1986 = 26 + 186 + 426
+ 666 + 1136 + 1166 + 1696
+ 1756 + 1996 = 1,1873135
×
1014
Puissance 7 :
17 + 257 + 317 + 847 +
877 + 1347 + 1587 + 1827
+ 1987 = 27 + 187 + 427
+ 667 + 1137 + 1167 + 1697
+ 1757 + 1997 = 2,1846117
×
1016
Puissance 8 :
18 + 258 + 318 + 848 +
878 + 1348 + 1588 + 1828
+ 1988 = 28 + 188 + 428
+ 668 + 1138 + 1168 + 1698
+ 1758 + 1998 = 4,064168
×
1018
Conclusion On peut additionner ou soustraire tout nombre à chacune des termes de toutes les égalités pour obtenir d’autres égalités vraies. |
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# 6285
21 février 2022
Rectangles et cubes
Cet article
comporte quelques secrets pour trouver la somme de n cubes qui est
égale à la somme de n autres cubes et cela à partir de rectangles de
nombres.
Cas 1.
Sur la première ligne d’un rectangle 2
×
4, on écrit d’abord 1, puis on additionne successivement 2, 4 et 6.
Sur la deuxième ligne, on écrit d’abord 15, puis on additionne
successivement 6, 4 et 2.
Dans chaque membre de
l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :
13
+ 133 + 153 + 273 = 33 +
73 + 213 + 253
= 25 256
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Cas 2.
Sur la première ligne d’un rectangle 2
×
8, on écrit les nombres du rectangle précédent dans l’ordre de
lecture. On additionne un même nombre dont les résultats sont
inscrits sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit
d’additionner 3.
Dans chaque membre de
l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :
13
+ 43 + 133 + 153 + 163 +
183 + 273 + 303
=
33
+ 63 + 73 + 103 + 213 +
243 + 253 + 283
= 62 248
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Cas 3.
Sur la première ligne d’un rectangle 2
×
6, on écrit les nombres de 1 à 7, sauf celui du milieu qui est 4. On
additionne un même nombre dont les résultats sont inscrits sur la
deuxième ligne. Par exemple, on choisit d’additionner 7.
Dans chaque membre de
l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :
13
+ 53 + 63 + 93 + 103 +
143 = 23 + 33 + 73 + 83
+ 123 + 133
= 4815
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Cas 4.
Sur la première ligne d’un rectangle 2
×
6, on écrit les mêmes nombres. On choisit d’additionner un autre
nombre, soit 20.
Dans chaque membre de
l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :
13
+ 53 + 63 + 223 + 233 +
273 = 23 + 33 + 73 + 213
+ 253 + 263
= 42 840
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Cas 5.
À la première ligne du rectangle 2
×
6 précédent, on additionne 7. On conserve les nombres de la deuxième
ligne.
Dans chaque membre de
l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :
83
+ 123 + 133 + 223 + 233
+ 273 = 93 + 103 + 143 +
213 + 253 + 263
= 46 935
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Cas 6.
Dans rectangle 2
×
8, on écrit les nombres de 1 à 16.
Dans chaque membre de
l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :
13
+ 43 + 63 + 73 + 103 +
113 + 133 + 163
=
23
+ 33 + 53 + 83 + 93 + 123
+ 143 + 153
= 9248
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Cas 7.
Sur la première ligne d’un rectangle 2
×
8, on écrit d’abord 1 puis on additionne successivement 3, 1, 3, 3,
1, 3, 1, 3. On choisit un nombre qu’on additionne et dont les
résultats sont sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit 17.
On obtient :
13
+ 83 + 123 + 133 + 213 +
223 + 263 + 333
=
43
+ 53 + 93 + 163 + 183 +
253 + 293 + 303
= 77 860
On peut additionner un même
nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.
Conclusion En s’inspirant de ces modèles ou en les combinant, on peut trouver autant d’égalités de cubes que l’on veut. |
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# 6260
6 février 2022
Polygonaux et fractions
Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un
polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique.
Voici quatre ordres de polygonaux :
Nous allons tenter de trouver des égalités de polygonaux en
fractionnant des sommes.
Voici la façon de procéder :
On choisit des nombres. On fait leur somme. On multiplie celle-ci
par une fraction qui convient. Dans le choix des nombres, de
préférence, on doit éviter les cas où un nombre est la moitié de la
somme fractionnée, de même que le cas où l’addition de deux nombres
donne la somme fractionnée. Ceci est admis simplement pour ne pas
avoir à supprimer des doublons de part et d’autre.
Égalité de six polygonaux du même ordre
On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3. On
multiplie celle-ci par 2/3.
Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.
Par exemple, on choisit 2, 11 et 14. La somme est 27. On multiplie
par 2/3. De 18, en soustrayant les nombres choisis, on obtient 16, 7
et 4.
On écrit le premier groupe de nombres dans le premier membre de
l’égalité et les autres dans le second membre. En considérant les
triangulaires où
Δ
est l’exposant, on peut écrire :
2Δ
+ 11Δ
+ 14Δ
= 4Δ
+ 7Δ
+ 16Δ
= 174
Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris
les carrés.
Égalité de huit polygonaux du même ordre
On choisit quatre nombres dont la somme est paire. On multiplie
celle-ci par 1/2. Du résultat, on soustrait chacun des nombres
choisis.
Par exemple, on choisit 1, 4, 6 et 7. La somme est 18. On multiplie
par 1/2. En soustrayant de 9, on obtient 8, 5, 3, 2.
En
considérant les hexagonaux où h est l’exposant, on peut écrire :
1h
+ 4h
+ 6h
+ 7h
= 2h
+ 3h
+ 5h
+ 8h
= 186
Cette égalité qui comprend les entiers de 1 à 8
est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.
Égalité de 10 polygonaux du même ordre
On choisit cinq nombres dont la somme est divisible par 5. On
multiplie celle-ci par 2/5. Du résultat, on soustrait chacun des
nombres choisis.
Par exemple, on choisit 3, 4, 8, 13, 17. La somme est 45. On
multiplie par 2/5. Le résultat est 18. En soustrayant de 18, on
obtient 15, 14, 10, 5, 1. En considérant les pentagonaux où p est
l’exposant, on peut écrire :
3p
+ 4p
+ 8p
+ 13p
+ 17p
= 1p
+ 5p
+ 10p
+ 14p
+ 15p
= 798
Égalité de 12 polygonaux du même ordre
On choisit six éléments dont la somme est divisible par 3. On prend
le tiers de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres
choisis.
Par exemple, on choisit 4, 5, 7, 8, 11, 16. La somme est 51. Le
tiers de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces
éléments. On obtient : 13, 12, 10, 9, 6, 1.
En considérant les nombres triangulaires, on peut écrire :
4Δ + 5Δ + 7Δ + 8Δ + 11Δ
+ 16Δ = 1Δ + 6Δ + 9Δ +
10Δ + 12Δ + 13Δ = 291
Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris
les carrés.
Égalité de 14 polygonaux du même ordre
On choisit sept éléments. On prend les 2/7 de la somme.
Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.
Par exemple, on choisit 4, 10, 11, 13, 19, 20, 21. La somme est 98.
Le 2/7 de la somme est 28. De 28, on soustrait chacun de ces 7
éléments. On obtient : 24, 18, 17, 15, 9, 8, 7.
En considérant les carrés, on peut écrire :
42
+ 102
+ 112
+ 132
+ 192
+ 202
+ 212
= 72
+ 82
+ 92
+ 152
+ 172
+ 182
+ 242
= 1608
Égalité de 16 polygonaux du même ordre
On choisit huit éléments dont la somme est divisible par 4. On prend
le quart de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres
choisis.
Par exemple, on choisit 1, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15. La somme est 68.
Le quart de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces
éléments. On obtient : 16, 13, 12, 9, 7, 6, 3, 2.
En considérant les pentagonaux
où p est l’exposant,
on peut écrire :
1p + 4p + 5p + 8p + 10p
+ 11p + 14p + 15p = 2p +
3p + 6p + 7p + 9p + 12p
+ 13p + 16p = 1088
Cette égalité qui contient les entiers de 1 à 16
est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.
Conclusion On peut trouver autant d’égalités de polygonaux que l’on veut. Soit n le nombre de polygonaux, on multiplie la somme par 4/n. Par exemple, pour 10 polygonaux, le facteur multiplicatif de la somme est 4/10 ou 2/5. |
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Suite des propos mathématiques |