# 6485                24 juin 2022

Problèmes anti-alcooliques

Au début du 20^e siècle, une gigantesque campagne au Québec est mise sur pied pour enrayer la consommation d’alcool qui est alors considérée comme un fléau. Aussi, il est recommandé à tous les acteurs civils, scolaires et religieux d’y collaborer en visant l’assainissement des mœurs.

C’est ainsi que L’enseignement primaire, une revue destinée aux écoles, intègre de la propagande dans presque toutes les matières scolaires. En mathématiques, on fait le choix de proposer aux élèves des problèmes qu’on appelle anti-alcooliques. Nous vous proposons 14 de ces problèmes et leur solution. Des corrections mineures ont été apportées sur la forme mais pas sur le fond.

Les solutions sont données à la fin.

* * * * * *

1. Un journalier est payé 0,25 $ de l’heure. Il boit la valeur de dix verres par jour à 0,05 $ le verre.

Combien faudra-t-il qu’il travaille d’heures pour payer l’alcool qui l’empoisonne ? (décembre 1907)

2. Depuis 25 ans, un ivrogne a dépensé en moyenne 4 $ par mois en boisson, et il a perdu trois jours de travail par mois. Sa journée lui rapporte en moyenne 1,50 $.

Calculez ce que lui a fait perdre son exécrable passion. (décembre 1909)

3. Un père de famille que je connais a fait la noce samedi et a dépensé 2 $ en boisson. Le lendemain, il était tellement malade qu’il a fallu appeler le médecin en pleine nuit, ce qui a coûté, avec les médicaments 3 $. Cet homme qui gagne 2 $ par jour n’a pu reprendre son travail que le jeudi suivant.

Calculez combien lui a coûté cet excès de boisson. (février 1908)

4. Un père de famille dépense 0,50 $ en boisson toutes les semaines. Par ailleurs, les draps de lit coûtent 1,50 $ la paire.

Cherchez combien sa femme pourrait acheter de paires de draps de lit qui manquent, avec le montant que représente cette dépense par année. (janvier 1908)

5. On suppose que chaque comté dans la province de Québec envoie annuellement 3 alcooliques dans les asiles d’aliénés. Chacun d’eux coûte à la province 125 $ par an.

Quelle serait la dépense annuelle pour les 73 comtés ? (décembre 1906)

6. Il se consomme chaque année dans notre pays des boissons alcooliques au montant d’environ 105 000 000 $. Or, une somme de 300 $ est suffisante pour établir un colon.

Combien pourrait-on établir chaque année de colons sur nos terres avec le montant de cette consommation ? (mai 1907)

7. Avec l’argent qu’il gaspille en liqueurs alcooliques, soit 0,05 $ par jour, combien un ouvrier pourrait-il à la fin de l’année acheter de cordes de bois à 5 $ la corde ? (décembre 1906)

8. Un homme dépense en moyenne 0,20 $ par jour dans les buvettes. Par ailleurs, une livre de beurre coûte 0,30 $.

Combien de livres de beurre pourrait-il acheter avec la somme ainsi gaspillée dans une année ? (mars 1909)

9. Un père de famille boit tous les jours en moyenne la valeur de 0,20 $.

Pour quelle somme a-t-il bu à la fin de l’année, et avec ce montant ainsi dépensé pour avancer sa mort, combien achèterait-il de douzaines de pains à 2,16 $ la douzaine ? (janvier 1908)

10. Un habillement complet vaut 10,40 $, les bottines 2,70 $ et le chapeau 1,20 $. Un ouvrier a la mauvaise habitude de boire chaque jour pour 10 cents d’alcool.

Dites en combien de jours, s’il se corrige, il pourra économiser l’argent nécessaire à l’achat du complet, des bottines et du chapeau. (janvier 1907)

11. Un père de famille, dont les six enfants passent une partie de l’hiver à la maison parce qu’ils n’ont pas de chaussures, gagne 12,75 $ par semaine. Régulièrement, il dépense deux piastres à l’auberge le samedi soir, y compris la bouteille de boisson qu’il ne manque pas d’apporter pour sa journée du dimanche.

Pendant combien de semaines lui faudrait-il économiser ces 2 $ pour acheter deux paires de chaussures à chacun de ses enfants, à raison de 1,50 $ la paire ? (septembre 1907)

12. Un célèbre statisticien français, le Dr Marambat, a. constaté que les alcooliques fournissent 75 % des voleurs, 79 % des vagabonds et des mendiants, 50 % des assassins, 57 % des incendiaires.

Calculez le nombre d’alcooliques qu’il y avait sur 1000 individus condamnés dans chaque catégorie. (avril 1908)

13. Un savant professeur a noté dans 10 familles d’alcooliques les chiffres suivants : 57 enfants, dont 25 morts dans les premières semaines, 7 idiots, 5 épileptiques et 10 autres atteints d’affections diverses.

Trouvez combien de ces enfants étaient sains. (mars 1908)

14. Trente pour cent des cas de folie et 35 % des suicides sont dus au démon-alcool.

Dans un asile qui compte 1500 malades et dans une ville où l’on enregistre 40 suicides dans l’année, quel est le nombre de cas de folie, puis de suicides dont l’alcool est la cause ? (septembre 1911)

* * * * * * *

Solution 1. Le journalier devra travailler 2 heures.

Solution 2. L’ivrogne a perdu 2550 $.

Solution 3. Cet excès lui a coûté 11 $.

Solution 4. Elle pourrait acheter 17 paires de draps de lit et il lui resterait 0,50 $.

Solution 5. La dépense est de 27 375 $.

Solution 6. On pourrait établir 350 000 colons.

Solution 7. Il pourrait acheter 3,65 cordes de bois.

Solution 8. Il pourrait acheter 243 1/3 livres de beurre.

Solution 9. Il a bu pour une somme de 73 $. Il pourrait acheter 33 douzaines de pain et il lui resterait 1,72 $.

Solution 10. Il prendra 143 jours pour économiser l’argent nécessaire.

Solution 11. Il lui faudrait 9 semaines.

Solution 12. On compte 750 voleurs, 790 vagabonds, 500 assassins et 570 incendiaires.

Solution 13. Dix enfants étaient sains.

Solution 14. On y compte 450 cas de folie et 30 suicides dont l’alcool est la cause.

# 6435                  24 mai 2022

Tout en œufs

Dans la littérature récréative mathématique, on trouve des situations où des moitiés d’œufs sont distribuées sans casser aucun œuf. Cela semble relever de la magie. Il n’en est rien. Si on a un nombre impair d’œufs, la moitié est un entier plus une fraction qui est la moitié. Quand on s’astreint à donner en plus une moitié, cela revient à distribuer un nombre entier d’œufs. Il faut donc toujours avoir un nombre impair d’œufs pour réaliser cette condition.

La première récréation connue dans cette catégorie est attribuée à Frédéric Ozanam (1640-1717). La voici :

« Une femme de campagne porte des œufs au marché dans une ville de guerre où il y a trois corps de garde à passer. Au premier, elle laisse la moitié de ses œufs et la moitié d'un ; au second, la moitié de ce qui lui restait et la moitié d'un ; au troisième, la moitié de ce qui lui restait et la moitié d'un ; enfin, elle arrive au marché avec trois douzaines. Comment cela se peut-il faire sans rompre aucun œuf ? »

Le calculateur prodige Henri Mondeux (1826-1861) a formulé une autre récréation sur le même modèle mathématique :

« Une marchande d'œufs va au marché avec une certaine quantité d'œufs. À une première personne, elle vend la moitié de ses œufs, plus la moitié d'un œuf ; à une deuxième, la moitié de ce qu'il lui reste, plus la moitié d'un œuf, et de même à une troisième et à une quatrième personne. Alors elle a tout vendu et elle n'en a cassé aucun. Combien avait-elle d’œufs en arrivant au marché ? »

Résolvons cette dernière récréation.

Première stratégie. On procède par tâtonnement.

Comme on l’a dit précédemment, on doit choisir un nombre impair d’œufs au départ. Imaginons que la marchande avait 27 œufs. Elle en vend 13 ½ + ½ = 14. Il lui en reste 13. Elle en vend 6 ½ + ½ = 7. Il lui en reste 6. On ne peut pas continuer car 6 est pair. Pour que chaque vente puisse se réaliser, il faut qu’il reste toujours un nombre impair d’œufs. C’est ce que nous apprend cette première stratégie. Toutefois, il semble plus raisonnable d’abandonner le tâtonnement car on pourrait chercher longtemps.

Deuxième stratégie. On procède à rebours (1)

On cherche le nombre d’œufs vendus depuis la fin. Observons ce qui se passe si on avait 6 œufs à la fin comme il est trouvé dans la stratégie précédente. À rebours, on fait : (6 + ½)2 = 13, puis (13 + ½)2 = 27. On multiplie par 2 car l’inverse de la moitié est le double.

Maintenant, partons de 0.

À la quatrième personne, la marchande aura vendu 1 œuf. En effet, (0 + ½)2 = 1.

À la troisième personne, la marchande aura vendu 3 œufs. En effet, (1 + ½)2 = 3.

À la deuxième personne, la marchande aura vendu 7 œufs. En effet, (3 + ½)2 = 7.

À la première personne, la marchande aura vendu 15 œufs. En effet, (7 + ½)2 = 15.

La marchande a vendu 15 œufs.

Troisième stratégie. On procède à rebours (2)

On cherche le nombre d’œufs vendus à chaque transaction en commençant par la fin. Comme il reste 0 œuf, la quatrième vente est d’un œuf. Par la suite, le nombre d’œufs vendus double à chaque vente. On aura successivement 1, 2, 4, 8 œufs vendus : ce qui fait un total de 15.

La marchande a vendu 15 œufs.

Quatrième stratégie. On procède par induction.

Cette stratégie est principalement nécessaire quand le nombre de ventes est relativement grand. Par exemple, supposons que le nombre n de ventes est 25. En se basant sur les données de la deuxième stratégie où n représente le nombre de ventes, on peut écrire :

Si n = 1, on vend 1 œuf.

Si n = 2, on vend 3 œufs.

Si n = 3, on vend 7 œufs.

Si n = 4, on vend 15 œufs.

Pour trouver le nombre d’œufs d’une vente à l’autre, on multiplie par 2 le nombre d’œufs précédent et on additionne 1. Par exemple, pour n = 4, on fait 7 × 2 + 1 = 15.

Pour arriver au résultat total sans passer par toutes ces étapes, on élève 2 à la puissance n et on soustrait 1. Par exemple, si n = 4, on fait : 2⁴ – 1 = 15.

Si n = 25, la marchande aura vendu (2²⁵ – 1) œufs, soit 33 554 431 œufs. On suppose que la marchande manipule un œuf à la seconde, le tout prendrait approximativement un an et 23 jours. Surprenant, n’est-ce pas ?

En guise de conclusion

Je vous laisse le soin de résoudre le problème suivant :

Une marchande vend à une première personne le tiers de ses œufs plus le tiers d’un œuf ; à une seconde personne le tiers de ce qui lui reste plus le tiers d’un œuf ; enfin, à une troisième personne le tiers de ce qui lui reste plus le tiers d’un œuf. Après cette troisième vente, il lui reste 7 œufs.

Combien la marchande en avait-elle d’œufs en arrivant au marché ?

(Elle avait 26 œufs en arrivant au marché. 7, 11, 17, 26)

# 6380                  21 avril 2022 

Une grille 3 × 3

Problème 1

Placez les nombres de 1 à 9 dans cette grille. La somme des nombres de deux cases extrêmes de la même couleur, y compris l’élément de la case du centre, doit être la même.

Solution. • Plaçons 1 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6). La somme est 12 dans chaque rangée. Une configuration possible est :

• Plaçons 2 au centre. On doit choisir la combinaison (1, 9), mais 8 ne peut pas être choisi. Il n’y a pas de configuration possible dans ce cas.

• Il n’y a pas de configuration quand on place 3, puis 4 au centre.

• Plaçons 5 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). La somme est 15.

• Il n’y a pas de configuration quand on place 6, 7 et 8 au centre.

Les sommes possibles sont 12, 15 et 18.

Problème 2

Placez les neuf plus petits nombres impairs dans la grille selon les mêmes règles que le problème précédent.

Solution. Les neuf plus petits nombres impairs sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. On applique la même démarche que dans le premier problème. Les éléments du centre sont successivement 1, 9 et 17. Les sommes sont respectivement 21, 27 et 33. On peut obtenir cette configuration :

Problème 3

Placez les nombres 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17 dans la grille selon les mêmes règles.

Solution. On additionne deux à deux les nombres de rangs opposés. On fait : 4 + 17 = 21, 5 + 16 = 21, 6 + 13 = 19. On a là une somme différente des deux autres cas. On prend 6 pour le centre. On a les combinaisons (4, 17), (5, 16), (8, 13), (9, 12). La somme des nombres de chaque rangée est 27 et c’est la seule. Voici un exemple de configuration :

Conclusion

Il peut y avoir d’autres stratégies pour trouver les sommes de chaque rangée. Je vous laisse le soin d’en trouver au moins une.

# 6350                  3 avril 2022

Un nouveau livre d’énigmes

Les éditions Goélette viennent de publier un autre de mes livres d’énigmes. Il est intitulé Énigmes, 450 défis. Pas besoin d’avoir de grands talents pour résoudre ces énigmes. Un peu de logique et des connaissances élémentaires suffisent.

Sur le dos de la couverture, l’éditeur a écrit : « Grâce à votre logique, relevez le défi et tentez de résoudre ces jeux et casse-tête en tous genres : énigmes, devinettes, charades et plus encore. » Voici deux exemples d’énigmes qu’on peut y trouver :

 

Énigme 2. Papier atout

Aux imbéciles, on offre du papier ________.

Aux pauvres, on offre du papier ________.

Aux édentés, on offre du papier ________.

Aux gens qui s’éparpillent, on offre du papier ________.

Aux canoteurs, on offre du papier ________.

Dans chaque cas, choisissez le mot le plus approprié : d’emballage, mâché, monnaie, en rame, timbré. (solution, ci-bas)

Énigme 6. Échanges de chocolats

Martin dit à Martine :

« Si tu me donnais 2 de tes chocolats, j’en aurais le double de toi ».

Martine reprend :

« Si tu me donnais 5 de tes chocolats, j’en aurais le double de toi ».

Combien chacun a-t-il de chocolats ?

Le prix suggéré du livre est de 10,95 $.

* * * * * *

Solution 2. Timbré, monnaie, mâché, d’emballage, en rame.

Solution 6. Martin a 12 chocolats et Martine 9 chocolats.

# 6335                  24 mars 2022

Six carrés : une méthode générale

Dans le présent article, nous allons montrer comment trouver une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale à la somme de trois autres carrés.

Mise en place

Soit l’égalité a² + b² + c² = d² + e² + f². Nous allons établir le procédé entre tenant compte de la différence entre chacun des trois premiers termes. Aussi, on pose : p = b – a et q = c – b.

Recherche de valeurs

Il faut trouver deux nombres p et q dont la différence est un multiple de 3. D’où, on peut poser : p – q = 3n. Allons-y pour p = 11 et q = 5. Dans ce cas, n = 2.

On continue en donnant une valeur à a. On va choisir a = 1. Comme p = 11, b = 12. Comme q = 5, c = 17. Les trois premières bases sont 1, 12 et 17.

On additionne n à la première base : ce qui fait que d = 3. Au lieu d’additionner successivement p et q dans cet ordre comme ci-devant, on additionne successivement q et p. D’où, e = 3 + 5 = 8 et f = 8 + 11 = 19.

L’égalité est : 1² + 12² + 17² = 3² + 8² + 19² = 434.

Variations

1. On peut additionner tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit d’additionner 13. On aura :

14² + 25² + 30² = 16² + 21² + 32² = 1721.

2. On peut soustraire tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de soustraire 0,2 à l’égalité de départ. On aura :

0,8² + 11,8² + 16,8² = 2,8² + 7,8² + 18,8² = 422,12.

3. On peut multiplier tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de multiplier par 6 l’égalité du départ. On aura :

6² + 72² + 102² = 18² + 48² + 114² = 15 624.

4. On peut diviser tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de diviser par 4 l’égalité de départ. On aura :

0,25² + 3² + 4,25² = 0,75² + 2² + 4,75² = 27,125.

5. On peut ajouter tout nombre au début de chaque base comme si chacune avait le même nombre de chiffres. En ajoutant 3 au début de l’égalité de départ, on aura :

301² + 312² + 317² = 303² + 308² + 319² = 288 434.

6. On peut ajouter tout nombre à la fin de chaque base comme si chacune avait le même nombre de chiffres. En ajoutant 13 à la fin de l’égalité de départ, on aura :

113² + 1213² + 1713² = 313² + 813² + 1913² = 4 418 507.

Application aux nombres figurés

Toutes les égalités précédentes demeurent vraies quand on considère chaque base comme un rang d’un nombre figuré. Par exemple, en l’appliquant aux nombres hexagonaux, on peut écrire l’égalité avec un exposant h tel que 78^h est mis pour l’hexagonal de rang 78. On aura :

1^h + 12^h + 17^h = 3^h + 8^h + 19^h = 1 + 276 + 561 = 15 + 120 + 703 = 838.

En guise de conclusion

Comme on peut le constater, une seule égalité de six carrés peut engendrer une infinité d’autres égalités de six carrés. En modifiant  les valeurs de départ à l’infini,  il est possible de trouver des infinités d’égalités.

# 6315                  12 mars 2022

Puissances remarquables

Il est étonnant de réaliser qu’on peut obtenir plusieurs égalités de puissances qui contiennent les mêmes nombres. Nous expliquons ici quatre cas où les puissances varient de 1 à 5, 6, 7 et même à 8.

Cas 1. Puissances 1 à 5

On choisit un nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 5 + 10 + 11 + 21 + 22 + 27 = 6 + 7 + 15 + 17 + 25 + 26 = 96

Puissance 2 : 5² + 10² + 11² + 21² + 22² + 27² = 6² + 7² + 15² + 17² + 25² + 26² = 1900

Puissance 3 : 5³ + 10³ + 11³ + 21³ + 22³ + 27³ = 6³ + 7³ + 15³ + 17³ + 25³ + 26³ = 42 048

Puissance 4 : 5⁴ + 10⁴ + 11⁴ + 21⁴ + 22⁴ + 27⁴ = 6⁴ + 7⁴ + 15⁴ + 17⁴ + 25⁴ + 26⁴ = 985 444

Puissance 5 : 5⁵ + 10⁵ + 11⁵ + 21⁵ + 22⁵ + 27⁵ = 6⁵ + 7⁵ + 15⁵ + 17⁵ + 25⁵ + 26⁵ = 23 850 816

Cas 2. Puissances 1 à 6

On choisit un nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 1 + 19 + 28 + 59 + 65 + 90 + 102 = 2 + 14 + 39 + 45 + 76 + 85 + 103 = 364

Puissance 2 : 1² + 19² + 28² + 59² + 65² + 90² + 102² = 2² + 14² + 39² + 45² + 76² + 85² + 103² = 27 356

Puissance 3 : 1³ + 19³ + 28³ + 59³ + 65³ + 90³ + 102³ = 2³ + 14³ + 39³ + 45³ + 76³ + 85³ + 103³ = 2 299 024

Puissance 4 : 1⁴ + 19⁴ + 28⁴ + 59⁴ + 65⁴ + 90⁴ + 102⁴ = 2⁴ + 14⁴ + 39⁴ + 45⁴ + 76⁴ + 85⁴ + 103⁴ = 204 566 180

Puissance 5 : 1⁵ + 19⁵ + 28⁵ + 59⁵ + 65⁵ + 90⁵ + 102⁵ = 2⁵ + 14⁵ + 39⁵ + 45⁵ + 76⁵ + 85⁵ + 103⁵ = 18 840 609 424

Puissance 6 : 1⁶ + 19⁶ + 28⁶ + 59⁶ + 65⁶ + 90⁶ + 102⁶ = 2⁶ + 14⁶ + 39⁶ + 45⁶ + 76⁶ + 85⁶ + 103⁶ = 1,7757318 × 10¹²

Cas 3. Puissances 1 à 7

On choisit un nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 5 + 9 + 14 + 28 + 32 + 46 + 51 + 55 = 6 + 7 + 16 + 25 + 35 + 44 + 53 + 54 = 240

Puissance 2 : 5² + 9² + 14² + 28² + 32² + 46² + 51² + 55² = 6² + 7² + 16² + 25² + 35² + 44² + 53² + 54² = 9852

Puissance 3 : 5³ + 9³ + 14³ + 28³ + 32³ + 46³ + 51³ + 55³ = 6³ + 7³ + 16³ + 25³ + 35³ + 44³ + 53³ + 54³ = 454 680

Puissance 4 : 5⁴ + 9⁴ + 14⁴ + 28⁴ + 32⁴ + 46⁴ + 51⁴ + 55⁴ = 6⁴ + 7⁴ + 16⁴ + 25⁴ + 35⁴ + 44⁴ + 53⁴ + 54⁴ = 22 102 116

Puissance 5 : 5⁵ + 9⁵ + 14⁵ + 28⁵ + 32⁵ + 46⁵ + 51⁵ + 55⁵ = 6⁵ + 7⁵ + 16⁵ + 25⁵ + 35⁵ + 44⁵ + 53⁵ + 54⁵ = 1 105 637 400

Puissance 6 : 5⁶ + 9⁶ + 14⁶ + 28⁶ + 32⁶ + 46⁶ + 51⁶ + 55⁶ = 6⁶ + 7⁶ + 16⁶ + 25⁶ + 35⁶ + 44⁶ + 56⁶ + 54⁶ = 56 314 934 052

Puissance 7 : 5⁷ + 9⁷ + 14⁷ + 28⁷ + 32⁷ + 46⁷ + 51⁷ + 55⁷ = 6⁷ + 7⁷ + 16⁷ + 25⁷ + 35⁷ + 44⁷ + 53⁷ + 54⁷ = 2,9036265 × 10¹²

Cas 4. Puissances 1 à 8

On choisit un nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement les nombres de la deuxième ligne du rectangle.

On peut écrire :

Puissance 1 : 1 + 25 + 31 + 84 + 87 + 134 + 158 + 182 + 198 = 2 + 18 + 42 + 66 + 113 + 116 + 169 + 175 + 199 = 900

Puissance 2 : 1² + 25² + 31² + 84² + 87² + 134² + 158² + 182² + 198² = 2² + 18² + 42² + 66² + 113² + 116² + 169² + 175² + 199² = 131 460

Puissance 3 : 1³ + 25³ + 31³ + 84³ + 87³ + 134³ + 158³ + 182³ + 198³ = 2³ + 18³ + 42³ + 66³ + 113³ + 116³ + 169³ + 175³ + 199³ = 21 438 000

Puissance 4 : 1⁴ + 25⁴ + 31⁴ + 84⁴ + 87⁴ + 134⁴ + 158⁴ + 182⁴ + 198⁴ = 2⁴ + 18⁴ + 42⁴ + 66⁴ + 113⁴ + 116⁴ + 169⁴ + 175⁴ + 199⁴ = 3 688 163 268

Puissance 5 : 1⁵ + 25⁵ + 31⁵ + 84⁵ + 87⁵ + 134⁵ + 158⁵ + 182⁵ + 198⁵ = 2⁵ + 18⁵ + 42⁵ + 66⁵ + 113⁵ + 116⁵ + 169⁵ + 175⁵ + 199⁵ = 654 881 634 000

Puissance 6 : 1⁶ + 25⁶ + 31⁶ + 84⁶ + 87⁶ + 134⁶ + 158⁶ + 182⁶ + 198⁶ = 2⁶ + 18⁶ + 42⁶ + 66⁶ + 113⁶ + 116⁶ + 169⁶ + 175⁶ + 199⁶ = 1,1873135 × 10¹⁴

Puissance 7 : 1⁷ + 25⁷ + 31⁷ + 84⁷ + 87⁷ + 134⁷ + 158⁷ + 182⁷ + 198⁷ = 2⁷ + 18⁷ + 42⁷ + 66⁷ + 113⁷ + 116⁷ + 169⁷ + 175⁷ + 199⁷ = 2,1846117 × 10¹⁶

Puissance 8 : 1⁸ + 25⁸ + 31⁸ + 84⁸ + 87⁸ + 134⁸ + 158⁸ + 182⁸ + 198⁸ = 2⁸ + 18⁸ + 42⁸ + 66⁸ + 113⁸ + 116⁸ + 169⁸ + 175⁸ + 199⁸ = 4,064168 × 10¹⁸

Conclusion

On peut additionner ou soustraire tout nombre à chacune des termes de toutes les égalités pour obtenir d’autres égalités vraies.

# 6285                   21 février 2022

Rectangles et cubes

Cet article comporte quelques secrets pour trouver la somme de n cubes qui est égale à la somme de n autres cubes et cela à partir de rectangles de nombres.

Cas 1. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 4, on écrit d’abord 1, puis on additionne successivement 2, 4 et 6. Sur la deuxième ligne, on écrit d’abord 15, puis on additionne successivement 6, 4 et 2.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 13³ + 15³ + 27³ = 3³ + 7³ + 21³ + 25³ = 25 256

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 2. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 8, on écrit les nombres du rectangle précédent dans l’ordre de lecture. On additionne un même nombre dont les résultats sont inscrits sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit d’additionner 3.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 4³ + 13³ + 15³ + 16³ + 18³ + 27³ + 30³ = 3³ + 6³ + 7³ + 10³ + 21³ + 24³ + 25³ + 28³ = 62 248

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 3. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 6, on écrit les nombres de 1 à 7, sauf celui du milieu qui est 4. On additionne un même nombre dont les résultats sont inscrits sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit d’additionner 7.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 5³ + 6³ + 9³ + 10³ + 14³ = 2³ + 3³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ = 4815

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 4. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 6, on écrit les mêmes nombres. On choisit d’additionner un autre nombre, soit 20.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 5³ + 6³ + 22³ + 23³ + 27³ = 2³ + 3³ + 7³ + 21³ + 25³ + 26³ = 42 840

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 5. À la première ligne du rectangle 2 × 6 précédent, on additionne 7. On conserve les nombres de la deuxième ligne.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

8³ + 12³ + 13³ + 22³ + 23³ + 27³ = 9³ + 10³ + 14³ + 21³ + 25³ + 26³ = 46 935

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 6. Dans rectangle 2 × 8, on écrit les nombres de 1 à 16.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 4³ + 6³ + 7³ + 10³ + 11³ + 13³ + 16³ = 2³ + 3³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 14³ + 15³ = 9248

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 7. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 8, on écrit d’abord 1 puis on additionne successivement 3, 1, 3, 3, 1, 3, 1, 3. On choisit un nombre qu’on additionne et dont les résultats sont sur la deuxième ligne. Par exemple, on choisit 17.

On obtient :

1³ + 8³ + 12³ + 13³ + 21³ + 22³ + 26³ + 33³ = 4³ + 5³ + 9³ + 16³ + 18³ + 25³ + 29³ + 30³ = 77 860

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Conclusion

En s’inspirant de ces modèles ou en les combinant, on peut trouver autant d’égalités de cubes que l’on veut.

# 6260                    6 février 2022

Polygonaux et fractions

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Nous allons tenter de trouver des égalités de polygonaux en fractionnant des sommes. Voici la façon de procéder : On choisit des nombres. On fait leur somme. On multiplie celle-ci par une fraction qui convient. Dans le choix des nombres, de préférence, on doit éviter les cas où un nombre est la moitié de la somme fractionnée, de même que le cas où l’addition de deux nombres donne la somme fractionnée. Ceci est admis simplement pour ne pas avoir à supprimer des doublons de part et d’autre.

Égalité de six polygonaux du même ordre

On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3. On multiplie celle-ci par 2/3. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 2, 11 et 14. La somme est 27. On multiplie par 2/3. De 18, en soustrayant les nombres choisis, on obtient 16, 7 et 4. On écrit le premier groupe de nombres dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le second membre. En considérant les triangulaires où Δ est l’exposant, on peut écrire :

2^Δ + 11^Δ + 14^Δ = 4^Δ + 7^Δ + 16^Δ = 174

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

On choisit quatre nombres dont la somme est paire. On multiplie celle-ci par 1/2. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 1, 4, 6 et 7. La somme est 18. On multiplie par 1/2. En soustrayant de 9, on obtient 8, 5, 3, 2. En considérant les hexagonaux où h est l’exposant, on peut écrire :

1^h + 4^h + 6^h + 7^h = 2^h + 3^h + 5^h + 8^h = 186

Cette égalité qui comprend les entiers de 1 à 8 est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de 10 polygonaux du même ordre

On choisit cinq nombres dont la somme est divisible par 5. On multiplie celle-ci par 2/5. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 3, 4, 8, 13, 17. La somme est 45. On multiplie par 2/5. Le résultat est 18. En soustrayant de 18, on obtient 15, 14, 10, 5, 1. En considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on peut écrire :

3^p + 4^p + 8^p + 13^p + 17^p = 1^p + 5^p + 10^p + 14^p + 15^p = 798

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de 12 polygonaux du même ordre

On choisit six éléments dont la somme est divisible par 3. On prend le tiers de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 4, 5, 7, 8, 11, 16. La somme est 51. Le tiers de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 13, 12, 10, 9, 6, 1.

En considérant les nombres triangulaires, on peut écrire :

4^Δ + 5^Δ + 7^Δ + 8^Δ + 11^Δ + 16^Δ = 1^Δ + 6^Δ + 9^Δ + 10^Δ + 12^Δ + 13^Δ = 291

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Égalité de 14 polygonaux du même ordre

On choisit sept éléments. On prend les 2/7 de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 4, 10, 11, 13, 19, 20, 21. La somme est 98. Le 2/7 de la somme est 28. De 28, on soustrait chacun de ces 7 éléments. On obtient : 24, 18, 17, 15, 9, 8, 7.

En considérant les carrés, on peut écrire :

4² + 10² + 11² + 13² + 19² + 20² + 21² = 7² + 8² + 9² + 15² + 17² + 18² + 24² = 1608

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre.

Égalité de 16 polygonaux du même ordre

On choisit huit éléments dont la somme est divisible par 4. On prend le quart de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 1, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15. La somme est 68. Le quart de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 16, 13, 12, 9, 7, 6, 3, 2.

En considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on peut écrire :

1^p + 4^p + 5^p + 8^p + 10^p + 11^p + 14^p + 15^p = 2^p + 3^p + 6^p + 7^p + 9^p + 12^p + 13^p + 16^p = 1088

Cette égalité qui contient les entiers de 1 à 16 est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Conclusion

On peut trouver autant d’égalités de polygonaux que l’on veut. Soit n le nombre de polygonaux, on multiplie la somme par 4/n. Par exemple, pour 10 polygonaux, le facteur multiplicatif de la somme est 4/10 ou 2/5.