|
(Dessin réalisé au primaire) Contactez-moi : cejean@charleries.net |
Les charleries Bienvenue sur mon blogue, Ce blogue contient des souvenirs, des anecdotes, des opinions, de la fiction, des bribes d’histoire, des récréations et des documents d’archives. Charles-É. Jean
|
|
Propos mathématiques |
|
|
# 4595
18 décembre 2018
Fantaisies sur des carrés
L’obtention d’identités de sommes de carrés résulte parfois d’une
démarche assez souple. On peut ajouter des chiffres, multiplier en
partie ou encore jouer avec les unités et les dizaines.
1. Ajouts de chiffres
On sait que : 12 + 62 + 82 = 22
+ 42 + 92. On forme une première expression en
conservant le premier membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du
deuxième membre. Cela donne :
12 + 62 + 82 + 122 + 142
+ 192.
On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en
ajoutant 1 devant chaque terme du premier membre. Cela donne :
22 + 42 + 92 + 112 + 162
+ 182.
Quand on associe les deux expressions, on réalise qu’il y a une
identité. En effet,
12 + 62 + 82 + 122 + 142
+ 192 = 22 + 42 + 92 + 112
+ 162 + 182 = 802.
Fait intéressant, il existe aussi une identité pour la somme des cubes.
13 + 63 + 83 + 123 + 143
+ 193 = 23 + 43 + 93 + 113
+ 163 + 183 = 12 060.
2. Par multiplication
On sait que : 12 + 112 + 152 = 32
+ 72 + 172. On forme une première expression en
conservant le premier membre et en multipliant par 2 chaque terme du
deuxième membre. Cela donne :
12 + 112 + 152 + 62 + 142
+ 342.
En ordre, on a : 12 + 62 + 112 + 142
+ 152 + 342 = 1735.
On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en
multipliant par 2 chaque terme du premier membre. Cela donne :
32 + 72 + 172 + 22 + 222
+ 302.
En ordre, on a : 22 + 32 + 72 + 172
+ 222 + 302 = 1735.
On a une identité :
12 + 62 + 112 + 142 + 152
+ 342 = 22 + 32 + 72 + 172
+ 222 + 302.
3. Changements de rôles
Reprenons l’une des identités précédentes : 12 + 62
+ 82 = 22 + 42 + 92.
Composons des nombres de deux chiffres en associant les nombres d’un
membre de l’identité à l’autre et en leur faisant jouer le rôle de
dizaines et d’unités. Par exemple, nous pouvons écrire : 122
+ 642 + 892 = 12 161.
Par la suite, on inverse les chiffres de chacun des nombres. On
obtient :
212 + 462 + 982 = 12 161.
On a une identité : 122 + 642 + 892 =
212 + 462 + 982. De plus, la somme des
bases de chaque membre est 165.
On peut associer différemment les deux chiffres de l’identité de départ.
Par exemple, on peut écrire : 142 + 692 + 822
= 11 681.
L’inversion donne : 412 + 962 + 282 =
11 681.
On a une autre identité : 142 + 692 + 822 = 412 + 962 + 282. |
|
| Retour | Accueil |
| Suite des propos mathématiques | |
