# 6235                      21 janvier 2022

Chemins de grilles

Problème. Combien y a-t-il de chemins pour se rendre dans la case du coin inférieur droit d’une grille carrée si on part de la case du coin supérieur gauche et si on procède toujours de gauche à droite et de haut en bas sans jamais revenir en arrière ?

Solution. Dans une grille 1 × 1, il y a un seul chemin. Dans une grille 2 × 2, on compte 2 chemins.

Une grille 3 × 3

Dans une telle grille, il y a 6 chemins différents. Les voici :

Une grille 4 × 4

Dans cette grille, on compte 20 chemins.

Une grille 5 × 5

Dans cette grille, on compte 70 chemins : 35 en passant par la case 2 de la première ligne et 35 en passant par la case 2 de la deuxième ligne.

On peut entrer les données dans ce tableau.

Cas général

Le nombre de chemins peut être décomposé ainsi :
1 × 1 : 1

2 × 2 : 1 × 2 = 2

3 × 3 : (1 + 2)2 = 6

4 × 4 : (1 + 3 + 6)2 = 20

5 × 5 : (1 + 4 + 10 + 20)2 = 70

6 × 6 : (1 + 5 + 15 + 35 + 70)2 = 252

Par exemple, pour passer de 5 × 5 à 6 × 6, on fait :

1 + 4 = 5          1 + 4 + 10 = 15                       1 + 4 + 10 + 20  = 35           1 + 4 + 10  + 20 + 35 = 70

(1 + 5 + 15  + 35 + 70)2 =  252

Le terme général est (2n – 2)!/[(n – 1)!)]².

Si n = 5, on a : (8)!/(4!)²  = 70.

Si n = 6, on a (10)!/(5!)² = 252.

La suite est : 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12 870, 48 620, 184 756, 705 432, … On voit que la croissance est très rapide.

Ces données se trouvent en colonne centrale dans le triangle de Pascal.

# 6200                      30 décembre 2021

Sommes de cubes (2)

Il est possible de trouver des égalités de cubes à partir d’un tableau. Par exemple, on écrit en abscisse les cubes de 1 à 14 et en ordonnée les cubes de 1 à 13. On remplit le tableau en effectuant les sommes.

Avec les nombres qui apparaissent dans ce tableau, on écrit des égalités comportant autant de termes que l’on veut. Sous chaque terme de l’égalité, on écrit les deux cubes qu’on trouve dans le tableau. Par exemple, 7³ + 11³ = 1674.

Voici des exemples de sommes qu’on associe aux cubes :

Quatre cubes

• 1216 + 512 = 1728

6³ + 8³ + 10³ = 12³

• 1 + 1728 = 1729

1³ + 12³ = 9³ + 10³

Cinq cubes

• 1729 + 468 = 2197

1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 13³

• 2205 + 539 = 2744

2³ + 3³ + 8³ + 13³ = 14³

Six cubes

• 28 + 526 + 125 = 729

1³ + 3³ + 4³ + 8³ + 5³ = 9³

Sept cubes

• 559 + 513 = 72 + 1000

1³ + 6³ + 7³ + 8³ = 2³ + 4³ + 10³

• 1001 + 737 = 407 + 1331 = 1738

1³ + 2³ + 9³ + 10³ = 4³ + 7³ + 11³

Huit cubes

• 2745 + 855 = 2205 + 1395 = 3600 = 60²

1³ + 7³ + 8³ + 14³ = 2³ + 4³ + 11³ + 13³

On peut additionner ou soustraire tout nombre à chaque base, on obtient d’autres égalités. Par exemple, si on additionne 1, on :

2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 3³ + 5³ + 12³ + 14³

• 1729 + 152 + 64 = 945 + 1000

1³ + 12³ + 3³ + 5³ + 4³ = 6³ + 9³ + 10³

Neuf cubes

• 1736 + 1343 + 729 = 2261 + 1547 = 3808

2³ + 7³ + 9³ + 10³ + 12³ = 4³ + 6³ + 11³ + 13³

Dix cubes

• 28 + 468 + 3256 = 224 + 3528 = 3752

1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 8³ + 14³ = 2³ + 6³ + 11³ + 13³

# 6170                       12 décembre 2021

Polygonaux et suites

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Nous allons tenter de trouver des égalités de polygonaux en appliquant la théorie des suites.

Égalité de six polygonaux du même ordre

On forme une suite de quatre termes qui commence par 3 et dont la raison est 2. On additionne 8 à chacun des termes. On munit chaque terme d’un exposant relatif aux nombres polygonaux. On colorie les cases ainsi :

Le premier membre de l’égalité peut être formé par les nombres d’une couleur. Le deuxième membre l’est alors par les nombres de l’autre couleur. En considérant les triangulaires dont l’exposant est Δ, on peut écrire :

5^Δ + 13^Δ + 15^Δ = 7^Δ + 9^Δ + 17^Δ = 226

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

Cas 1. On forme une suite de quatre termes qui commence par 5 et dont la raison est 2. On additionne 3 à chacun des termes. On colorie les cases ainsi :

Le premier membre de l’égalité peut être formé par les nombres d’une couleur. Le deuxième membre l’est alors par les nombres de l’autre couleur. En considérant les carrés, on peut écrire en ordre numérique :

5² + 10² + 11² + 12² = 7² + 8² + 9² + 14² = 390

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre.

Cas 2. On écrit une suite de 8 termes qui commence par 2 et dont la raison est 3. On additionne 24 à chacun des termes.

En considérant les pentagonaux dont l’exposant est p, on peut écrire :

2^p + 23^p + 35^p + 38^p = 11^p + 14^p + 26^p + 47^p = 4754

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

Cas 3. Avec les mêmes suites, on peut colorer les cases d’une façon différente.

En considérant les hexagonaux dont l’exposant est h, on peut écrire :

5^h + 20^h + 32^h + 41^h = 8^h + 17^h + 29^h + 44^h = 6162

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

Égalité de 10 polygonaux du même ordre

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le sixième terme de la suite précédente. On applique la même raison dans les deux cas.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, en considérant les triangulaires, on obtient :

1^Δ + 7^Δ + 25^Δ + 28^Δ + 34^Δ = 4^Δ + 10^Δ + 13^Δ + 31^Δ + 37^Δ = 1355

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

Égalité de 12 polygonaux du même ordre

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison.

En considérant les carrés, on obtient :

1² + 13² + 16² + 22² + 34² + 37² = 4² + 7² + 19² + 25² + 28² + 40² = 3435

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre.

Égalité de 14 polygonaux du même ordre

Cas 1. Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre et en considérant les pentagonaux, on obtient :

1^p + 7^p + 16^p + 25^p + 31^p + 34^p + 40^p = 4^p + 10^p + 13^p + 19^p + 28^p + 37^p + 43^p = 6895

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

Cas 2. Sur la première ligne, on écrit les nombres de 1 à 7. On additionne 8 à chaque nombre.

En considérant les hexagonaux, on obtient :

1^h + 2^h + 7^h + 10^h + 11^h + 12^h + 13^h = 3^h + 4^h + 5^h + 6^h + 9^h + 14^h + 15^h = 1120

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

Égalité de 16 polygonaux du même ordre

On écrit sur la première ligne les nombres de 2 à 9. On additionne 8 à ces nombres.

En considérant les hexagonaux, on peut écrire :

2^h + 5^h + 6^h + 9^h + 11^h + 12^h + 15^h + 16^h = 3^h + 4^h + 7^h + 8^h + 10^h + 13^h + 14^h + 17^h = 1708

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Voici d’autres rectangles qui peuvent générer des égalités de polygonaux de tout ordre y compris les carrés :

Cas 1.

Cas 2.

Cas 3.

Dans ce dernier cas, si on attribue à chaque terme l’exposant 3, on obtient une égalité de cubes.

2³ + 5³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ + 15³ + 18³ = 3³ + 4³ + 6³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 17³ = 14 120

# 6145                 27 novembre 2021

Quatre cubes

L’algèbre peut être un outil très efficace pour trouver des égalités de cubes. Nous allons expliquer trois cas où l’égalité est de la forme p³ + q³ = r³ + s³. Cette égalité peut aussi être de la forme p³ + q³ + r³ = s³ ou toute forme de quatre cubes dont la valeur est positive ou négative.

1. Formule des trinômes

Une formule consiste à choisir arbitrairement la valeur de deux entiers a et b et à remplacer ces deux entiers dans chacune des quatre égalités suivantes :

x = 28a² + 11ab - 3b²            y = 21a² - 11ab - 4b²
z = 35a² + 7ab + 6b²              u = 42a² + 7ab + 5b²

Si a = 1 et b = 1, on obtient : x = 36, y = 6, z = 48, u = 54. On peut écrire :

36³ + 6³ + 48³ = 54³  

Lorsque les quatre nombres ont un facteur commun, on peut simplifier en divisant chacun des nombres par le facteur commun. On obtient :

6³ + 1³ + 8³ = 9³   

Si a = 1 et b = 2, on obtient : x = 38, y = -17, z = 73, u = 76. On peut écrire :

38³ – 17³ + 73³ = 76³ 

Si on veut éliminer le signe –, on transporte 17³ dans l’autre membre. Cela donne :

38³ + 73³ = 17³ + 76³ 

Si a = 2 et b = 1, on obtient : x = 131, y = 58, z = 160, u = 187. On peut écrire :

131³ + 58³ + 160³ = 187³ 

Si a = 0 et b = 1, on obtient : x = -3, y = -4, z = 6, u = 5. On peut écrire :

-3³ - 4³ + 6³ = 5³ 

3³ + 4³ + 5³ = 6³ 

Si a = 1 et b = 0, on obtient : x = 28, y = 21, z = 35, u = 42. On peut écrire :

28³ + 21³ + 35³ = 42³ 

2. Formule avec neuf variables

On choisit arbitrairement deux nombres qu’on appelle a et b.

• On fait : c = a² + 3b².

• On fait : d = a + 3b.

• On fait : e = a – 3b.

• On fait : p = cd – 1.

• On fait : q = c² – d.

• On fait : r = c² – e.

• On fait : s = ce – 1.

• On écrit p³ + q³ = r³ + s³.

Soit a = 2 et b = 1. Alors, c = 7, d = 5, e = -1, p = 34, q = 44, r = 50, s = -8. L’égalité est :

34³ + 44³ = 50³ – 8³ = 124 488.

Pour éliminer le nombre négatif, on le transporte dans le premier membre. On peut écrire :

8³ + 34³ + 44³ = 50³.

À partir de cette égalité, on peut trouver celle qui est primitive, c’est-à-dire celle dont les termes n’ont pas de facteur commun. Dans ce cas-ci, on divise par 2. On obtient :

4³ + 17³ + 22³ = 25³

On pourrait encore diviser par 2. L’égalité est encore vraie, mais on a deux nombres décimaux :

2³ + 8,5³ + 11³ = 12,5³

De façon générale, on peut multiplier ou diviser chacun des termes et les égalités sont toujours vraies.

Un autre exemple. Soit a = 4 et b = 1. Alors, c = 19, d = 7, e = 1, p = 132, q = 354, r = 360, s = 18. L’égalité est :

132³ + 354³ = 360³ + 18³ = 46 661 832

L’égalité primitive correspondante est :

22³ + 59³ = 60³ + 3³ = 216 027

Fait surprenant : 216 est le cube de 6 et 027 est le cube de 03, comme dans 603.

3. Autre formule avec neuf variables

On choisit deux nombres qu’on appelle a et b.

• On fait : c = 7a².

• On fait : d = ab.

• On fait : e = b².

• On fait : p = 4c + 11d – 3e.

• On fait : q = 3c – 11d – 4e.

• On fait : r = -(5c + 7d + 6e).

• On fait : s = 6c + 7d + 5e.

• On écrit p³ + q³ = r³ + s³.

Soit a = 1 et b = 1. Alors, c = 4, d = 1, e = 1, p = 36, q = 6, r = 48, s = 54. On peut écrire :

36³ + 6³ = -48³ + 54³ = 46 872

Après avoir transféré 48³ dans le premier membre, on a :

6³ + 36³ + 48³ = 54³.

L’égalité primitive est :

1³ + 6³ + 8³ = 9³

Un autre exemple. Soit a = 2 et b = 1. Alors, c = 28, d = 2, e = 1, p = 131, q = 58, r = -160, s = 187. On peut écrire :

131³ + 58³ = -160³ + 187³ ou encore 131³ + 58³ + 160³ = 187³.

# 6115                 9 novembre 2021

Dons de caramels

Dans ces problèmes, on veut savoir combien chacun a de caramels après avoir fait des hypothèses de dons. Des démarches sont données.

Problème 1

France dit à Gratien :

« Si tu me donnais 10 de tes caramels, j’en aurais le double de toi ».

Gratien reprend :

« Si tu me donnais 8 de tes caramels, j’en aurais le double de toi ».

Combien chacun a-t-il de caramels ?

Stratégie 1. Utilisation de tableaux

On suppose que France a 2 caramels. Selon ses dires, Gratien en aura 16. Si France a 4 caramels, Gratien en aura 17. Si France a 6 caramels, Gratien en aura 18, etc. On écrit les données dans le tableau.

On suppose que Gratien a 2 caramels. Selon ses dires, France en aura 13. Si Gratien a 4 caramels, France en aura 14. Si Gratien a 6 caramels, France en aura 15, etc.

Dans le premier tableau, on note que les nombres attribués à France augmentent de 2. Ceux attribués à Gratien augmentent de 1. Dans le second tableau, c’est l’opposé qui se produit. On arrête d’écrire les données dans les tableaux quand on aperçoit les deux mêmes nombres d’un tableau à l’autre dans une colonne.

France a 26 caramels et Gratien en a 28.

Stratégie 2. À l’aide de l’algèbre

France a x caramels. Elle en reçoit 10 de Gratien. Elle en a (x + 10). Gratien a y caramels. Il en donne 10 à France. Il en a (y – 10). Comme France en a le double de Gratien, pour avoir une égalité, il faut multiplier par 2 l’avoir de Gratien. L’équation est : x + 10 = 2(y – 10).

On fait le même raisonnement concernant les paroles de Gratien. L’équation est : 2(x – 8) = y + 8. On résout les deux équations. On trouve x = 26 et y = 28.

France a 26 caramels et Gratien en a 28.

Stratégie 3. On généralise

Soit x le nombre de caramels de France et y celui de Gratien. Soit f le don de France et g le don de Gratien. On peut écrire : x + g = 2(y – g) et 2(x – f) = y + f. On résout les deux équations. On obtient : x = 2f + g et y = f + 2g.

Or, f = 8 et g = 10. D’où, x = 26 et y = 28. France a 26 caramels et Gratien en a 28.

Problème 2

France dit à Gratien :

« Si tu me donnais 15 de tes caramels, j’en aurais le double de toi ».

Gratien reprend :

« Si tu me donnais 11 de tes caramels, j’en aurais le double de toi ».

Combien chacun a-t-il de caramels ?

Maintenant qu’on est plus familier avec ce genre de problèmes, on peut trouver d’autres stratégies. En voici quatre pour ce problème :

Stratégie 1

• On additionne le don de Gratien et deux fois le don de France : c’est l’avoir de France.

• On additionne le don de France et deux fois le don de Gratien : c’est l’avoir de Gratien.

On fait : 15 + 2 × 11 = 37, puis 11 + 2 × 15 = 41. France a 37 caramels et Gratien en a 41.

Stratégie 2

• On additionne les dons.

• On multiplie par 2.

• Du résultat, on soustrait le don de Gratien : c’est l’avoir de France.

• Du résultat, on soustrait le don de France: c’est l’avoir de Gratien.

On fait : 15 + 11 = 26, 26 × 2 = 52, 52 – 15 = 37 et 52 – 11 = 41. France a 37 caramels et Gratien en a 41.

Stratégie 3

• On additionne les dons.

• On multiplie par 1,5.

• On soustrait la moitié de la différence des dons : c’est l’avoir de France.

• On additionne la moitié de la différence des dons : c’est l’avoir de Gratien.

On fait : 15 + 11 = 26, 26 × 1,5 = 39, 15 – 11 = 4, 4 ÷ 2 = 2, 39 – 2 = 37 et 39 + 2 = 41. France a 37 caramels et Gratien en a 41.

Stratégie 4

On additionne les dons et on multiplie par 3. On fait : 15 + 11 = 26 et 26 × 3 = 78. On soustrait les dons. On fait : 15 – 11 = 4. Il s’agit de trouver deux nombres dont la somme est 78 et dont la différence est 4.

France a 37 caramels et Gratien en a 41.

# 6085           21 octobre 2021

Sommes de cubes (1)

Il est relativement facile de trouver des égalités de carrés. Nous allons présenter quatre formules différentes qui permettent de trouver des égalités de cubes.

1. Formule d’Euler

Euler a fourni une formule pour trouver des égalités de quatre cubes de la forme x³ + y³ = z³ + u³. Nous avons transformé cette formule en un algorithme. On procède ainsi :

Étapes

• On attribue une valeur à une variable a et à une variable b.

• On fait : p = a² + 3b², q = a + 3b et r = a – 3b.

• On fait x = pq – 1, y = p² – q, z = p² – r, u = pr – 1.

• Si un résultat est négatif, on le transfère dans l’autre membre.

Exemple 1. On pose a = 1 et b = 2. Alors, p = 13, q = 7 et r = -5. Pour les autres variables, on a : x = 90, y = 162, z = 174 et u = -66. Après avoir transféré 66 dans le premier membre, on peut écrire :

66³ + 90³ + 162³ = 174³ = 5 268 024

Exemple 2. On pose a = 2 et b = -2. Alors, p = 16, q = -4 et r = 8, puis x = -65, y = 260, z = 248 et u = 127. On peut écrire :

65³ + 127³ + 248³ = 260³ = 17 576 000

4.2 Formule de Rebout

Dans les Nouvelles annales de mathématiques, Eugène Rebout a publié un court article intitulé Formation d'un cube entier qui soit égal à la somme de quatre cubes entiers. Les égalités sont de la forme p³ = q³ + r³ + s³ + t³. Voici l’algorithme :

• On donne des valeurs à a, b et c telles que 3abc est un cube.

• On remplace chaque variable par sa valeur :

p = a + b + c,

q = a + b – c,

r = a – b + c,

s = b + c – a.

t est la racine cubique de 24abc.

• On place p dans le premier membre avec, s’il y a lieu, les résultats négatifs.

Soit a = 4, b = 6 et c = 3. Alors, p = 13, q = 7, r = 1, s = 5 et t = 12. On a :

13³ = 1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 2197

Soit a = 2, b = 3 et c = 12. Alors, p =17, q = -7, r = 11, s = 13 et t = 12. Après le transfert du 7 dans le premier membre, on peut écrire :

17³ + 7³ = 11³ + 12³ + 13³ = 5256.

4.3 Nouvelles formules (1)

Les cubes sont de la forme p³ + q³ + r³ = s³.

On donne une valeur à p et on déduit la valeur des autres variables.

• q = 2p² – 3p + 3

• r = p³ – q

• s = r + 3

Si p = 5, alors q = 38, r = 87, s = 90. On obtient l’égalité :

25³ + 38³ + 87³ = 90³ = 729 000

4.4 Nouvelles formules (2)

Les cubes sont de la forme p³ + q³ + r³ = s³.

On donne une valeur à p et on déduit la valeur des autres variables.

• q = 2p² + 3p + 3

• r = p³ + q – 3

• s = r + 3

Si p = 5, alors q = 68, r = 190, s = 193. On obtient l’égalité :

25³ + 68³ + 190³ = 193³ = 7 189 057

# 6055           3 octobre 2021

Polygonaux et sommes

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Nous allons tenter de trouver des égalités de polygonaux en additionnant des bases de même somme ou en combinant des bases de sommes différentes.

Une même somme

On choisit un nombre qui sera la somme des bases avec les triangulaires. On établit la somme de tous les couples de triangulaires dont la somme des bases est ce nombre. Par exemple, on choisit 19.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

On recherche deux sommes dont la somme est la même que celle d’un autre couple de sommes. Dans ce cas-ci, les possibilités sont :

172 + 100 = 142 + 130 = 272

156 + 106 = 142 + 120 = 262

142 + 100 = 130 + 112 = 242

130 + 102 = 120 + 112 = 232

On écrit les deux éléments qui composent chaque somme. Voici l’égalité pour chaque possibilité en considérant les carrés :

1² + 9² + 10² + 18² = 3² + 4² + 15² + 16² = 506

2² + 7² + 12² + 17² = 3² + 5² + 14² + 16² = 486

3² + 9² + 10² + 16² = 4² + 6² + 13² + 15² = 446

4² + 8² + 11² + 15² = 5² + 6² + 13² + 14² = 426

Ces égalités valent pour les polygonaux de tout ordre. Cela est aussi vrai pour les cubes.

1³ + 9³ + 10³ + 18³ = 3³ + 4³ + 15³ + 16³ = 7562

Égalité de 12 polygonaux du même ordre

Dans le tableau, on recherche trois sommes dont la somme est la même que celle d’un autre triplet de sommes.

Par exemple, on écrit : 172 + 106 + 100 = 156 + 120 + 102 = 378. Voici l’égalité en considérant les nombres pentagonaux dont l’exposant est p :

1^P + 7^P + 9^P + 10^P + 12^P + 18^P = 2^P + 5^P + 8^P + 11^P + 14^P + 17^P = 1020

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre. Elle est vraie aussi pour les cubes.

1³ + 7³ + 9³ + 10³ + 12³ + 18³ = 2³ + 5³ + 8³ + 11³ + 14³ + 17³ = 9633

Égalité de 16 polygonaux du même ordre

Dans le tableau, on recherche quatre sommes dont la somme est la même que celle d’un autre quadruplet de sommes.

Par exemple, on écrit : 172 + 130 + 106 + 102 = 156 + 142 + 112 + 100 = 510. Voici l’égalité en considérant les triangulaires :

1^Δ + 4^Δ + 7^Δ + 8^Δ + 11^Δ + 12^Δ + 15^Δ + 18^Δ = 2^Δ + 3^Δ + 6^Δ + 9^Δ + 10^Δ + 13^Δ + 16^Δ + 17^Δ = 510

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre. Elle s’applique aussi aux cubes.

1³ + 4³ + 7³ + 8³ + 11³ + 12³ + 15³ + 18³ = 2³ + 3³ + 6³ + 9³ + 10³ + 13³ + 16³ + 17³ = 13 186

Des sommes combinées

On choisit deux nombres qui seront la somme de bases. Pour chacun, on établit la somme de tous les couples de triangulaires. Par exemple, on choisit 9 et 13.

Égalité de six polygonaux du même ordre

À partir du tableau, on peut écrire : 37 + 49 = 31 + 55. On écrit les deux éléments qui composent chaque somme. Voici une égalité en considérant les pentagonaux :

1^P + 8^P + 6^P + 7^P = 2^P + 7^P + 4^P + 9^P = 214

On biffe 7^P de part et d’autre. L’égalité est :

1^P + 6^P + 8^P = 2^P + 4^P + 9^P = 144

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

À partir du même tableau, on peut écrire : 37 + 49 = 25 + 61. On écrit les deux éléments qui composent chaque somme.

1^Δ + 8^Δ + 6^Δ + 7^Δ = 4^Δ + 5^Δ + 3^Δ + 10^Δ = 86

En considérant les heptagonaux dont l’exposant est s, on a l’égalité :

1^S + 6^S + 7^S + 8^S = 3^S + 4^S + 5^S + 10^S = 342

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

# 6020             12 septembre 2021

Égalités de polygonaux

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Un même nombre peut appartenir à plusieurs ordres de polygonaux. Par exemple, 45 est à la fois triangulaire et hexagonal.

La notion de suite arithmétique joue un rôle important dans l’existence de ces nombres. En effet, ceux-ci sont formés par l’addition des éléments d’une suite toujours à partir de 1. Voici la distribution pour les cinq plus petits nombres polygonaux d’ordres 3 à 6 :

Nombres triangulaires ou d’ordre 3 : suite de raison 1

Nombres carrés ou d’ordre 4 : suite de raison 2

Nombres pentagonaux ou d’ordre 5 : suite de raison 3

Nombres hexagonaux ou d’ordre 6 : suite de raison 4

Par exemple, pour les nombres hectogonaux ou polygonaux d’ordre 100, le premier nombre est 1, le deuxième 100 et la raison 98. On aura donc la suite : 1, 100, 297, 592, 985, etc. En effet, 1 + 99 = 100, 1 + 99 + 197 = 297, 1 + 99 + 197 + 295 = 592, etc.

Nous donnons six propositions qui s’appliquent lorsqu’une égalité est vraie pour les nombres polygonaux de tous les ordres. Ces égalités découlent souvent de carrés magiques.

Proposition 1

On peut additionner un même nombre à chaque base. On retrouve alors une nouvelle égalité.

Soit l’égalité 1^P + 7^P + 10^P = 2^P + 5^P + 11^P = 216 où p est l’exposant pentagonal.

Par exemple, on additionne 9 à chacune des bases. On obtient :

10^P + 16^P + 19^P = 11^P + 14^P + 20^P = 1053

Si l’exposant est 2, on écrira : 1² + 7² + 10² = 2² + 5² + 11² = 150.

En additionnant 9 à chacune des bases, on obtient :

10² + 16² + 19² = 11² + 14² + 20² = 717

Proposition 2

On peut, de chaque base, soustraire un même nombre. On retrouve alors une nouvelle égalité. Par exemple, en partant de la dernière égalité, on soustrait 9. On obtient les égalités de départ.

Il est fort probable alors que des bases négatives apparaîtront. Pour donner un exemple avec les triangulaires, il faut savoir que 0^Δ = 0, -1^Δ = 0, -2^Δ = 1, -3^Δ = 3, -4^Δ = 6, etc.

Proposition 3

On peut multiplier chaque base par un même nombre. On retrouve alors une nouvelle égalité.

Soit l’égalité 2^Δ + 7^Δ + 9^Δ = 3^Δ + 5^Δ + 10^Δ = 76 où Δ est l’exposant triangulaire.

Par exemple, on multiplie par 4 chacune des bases. On obtient :

8^Δ + 28^Δ + 36^Δ = 12^Δ + 20^Δ + 40^Δ = 1108

Si l’exposant est 2, on écrira : 2² + 7² + 9² = 3² + 5² + 10² = 134.

En multipliant par 4 chacune des bases, on obtient :

8² + 28² + 36² = 12² + 20² + 40² = 2144

Proposition 4

On peut diviser chaque base par un même nombre. On retrouve alors une nouvelle égalité. Les bases de ces nouvelles égalités seront composées en grande partie par des nombres fractionnaires. Cela ne rend pas fausse l’égalité, mais elle manque d’élégance. Par exemple, en divisant par 8 la dernière égalité de la proposition 3, on obtient :

1 + 3,5 + 4,5 = 1,5 + 2,5 + 5 = 33,5

 Proposition 5

On peut ajouter un même chiffre devant chaque base. On retrouve alors une nouvelle égalité.

Dans ce cas, il faut considérer que toutes les bases ont le même nombre de chiffres, quitte à ajouter un ou des 0 devant certains nombres. Par exemple, dans l’égalité 4² + 8² + 11² + 15² = 5² + 6² + 13² + 14² = 426, on considère 4, 8, 5 et 6 comme étant 04, 08, 05 et 06. Si on ajoute 1 au début, on peut écrire :

104² + 108² + 111² + 115² = 105² + 106² + 113² + 114² = 48 026

Proposition 6

On peut ajouter un même chiffre après chaque base. On retrouve alors une nouvelle égalité.

À partir de la première égalité de la proposition précédente, si on ajoute 1 à la fin de chaque base, on peut écrire :

41² + 81² + 111² + 151² = 51² + 61² + 131² + 141² = 43 364

# 5990             12 juin 2021

Des égalités de carrés

On peut trouver des égalités de carrés en faisant des opérations sur des fractions de sommes. On procède de la façon suivante :

• On détermine le nombre n d’entiers qu’on devra choisir.

• On choisit une somme : cette somme doit tenir compte de la valeur de n et elle doit être divisible par n/2.

• On choisit les n entiers.

• On divise la somme par n/2.

• Du résultat, on soustrait chacun des n entiers.

• On élève au carré chaque élément.

• On écrit le carré des éléments choisis dans le premier membre et, dans l’autre membre, le carré des éléments déduits.

Six carrés

Cas 1. On choisit quatre entiers dont l’un est le quart de la somme.

Exemple. Choisissons 4, 7, 8, 13. La somme est 32. On divise par 2. Le résultat est 16. En soustrayant de 16, on obtient : 12, 9, 8, 3. On peut écrire :

4² + 7² + 8² + 13² = 3² + 8² + 9² + 12² = 298

Comme 8² apparaît dans chaque membre de l’égalité, on le biffe. On a alors :

4² + 7² + 13² = 3² + 9² + 12² = 234

Cas 2. On choisit six entiers dont l’un est le sixième de la somme et dont un couple est le tiers de la somme.

Exemple. Choisissons 1,  5, 6, 7, 8, 9. La somme est 36. On divise par 3. Le résultat est 12. En soustrayant de 12, on obtient : 11, 7, 6, 5, 4, 3. Après avoir biffé les doublons de part et d’autre, on peut écrire :

1² + 8² + 9² = 3² + 4² + 11² = 146

Huit carrés

Cas 1. On choisit quatre entiers dont aucun n’est le quart de la somme. De plus, l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas la moitié de la somme.

Exemple 1. Choisissons 1, 7, 9, 13. La somme est 30. La moitié de la somme est 15. De 15, on soustrait chacun de ces quatre éléments. On obtient : 14, 8, 6, 2. On peut écrire :

1² + 7² + 9² + 13² = 2² + 6² + 8² + 14² = 300

Exemple 2. Choisissons 3, 5, 9, 21. La somme est 38. La demi-somme est 19. En soustrayant de 19, on obtient : 16, 14, 10, - 2. On peut écrire :

3² + 5² + 9² + 21² = 2² + 10² + 14² + 16² = 556

On aura compris qu’on accepte les nombres négatifs et, comme le carré d’un nombre négatif est positif, on peut considérer l’élément comme positif.

Cas 2. On choisit huit entiers dont quatre appartiennent à des couples dont la somme est le quart de la somme.

Exemple. Choisissons 1, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13. La somme est 60. Le quart de la somme est 15. De 15, on soustrait chacun de ces huit éléments. On obtient : 14, 11, 10, 8, 7, 5, 3, 2. Après avoir éliminé les doublons, on peut écrire :

1² + 4² + 12² + 13² = 2² + 3² + 11² + 14² = 330

Dix carrés

On choisit six entiers dont l’un est le sixième de la somme.

Exemple. Choisissons 2, 3, 7, 8, 9, 13. La somme est 42. Le tiers de la somme est 14. De 14, on soustrait chacun de ces six éléments. On obtient : 12, 11, 7, 6, 5, 1. Après avoir éliminé le doublon, on peut écrire :

2² + 3² + 8² + 9² + 13² = 1² + 5² + 6² + 11² + 12² = 327

Douze carrés

Cas 1. On choisit six entiers. On prend le tiers de la somme. Aucun entier n’est le sixième de la somme. De plus, l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas le tiers de la somme.

Exemple. Choisissons 2, 4, 8, 12, 13, 15. La somme est 54. Le tiers de la somme est 18. De 18, on soustrait chacun de ces six éléments. On obtient : 16, 14, 10, 6, 5, 3. On peut écrire :

2² + 4² + 8² + 12² + 13² + 15² = 3² + 5² + 6² + 10² + 14² + 16² = 622

Cas 2. On choisit huit entiers. L’addition d’éléments pris deux à deux donne le quart de la somme.

Exemple. Choisissons 2, 3, 8, 9, 11, 12, 13, 18. La somme est 76. Le quart de la somme est 19. De 19, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 17, 16, 11, 10, 8, 7, 6, 1. Après avoir biffé deux carrés identiques de part et d’autre, on peut écrire :

2² + 3² + 9² + 12² + 13² + 18² = 1² + 6² + 7² + 10² + 16² + 17² = 731

Quatorze carrés

On choisit huit entiers. On prend le quart de la somme. Un entier doit être le huitième de la somme.

Exemple. Choisissons 3, 5, 8, 12, 14, 15, 17, 22. La somme est 96. Le quart de la somme est 24. De 24, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 21, 19, 16, 9, 10, 7, 2. On peut écrire :

3² + 5² + 8² + 14² + 15² + 17² + 22² = 2² + 7² + 9² + 10² + 16² + 19² + 21² = 1292

Seize carrés

On choisit huit entiers. On prend le quart de la somme. Aucun entier n’est le huitième de la somme. De plus, l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas le quart de la somme.

Exemple. Choisissons 4, 6, 10, 12, 15, 17, 19, 21. La somme est 104. Le quart de la somme est 26. De 26, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 22, 20, 16, 14, 11, 9, 7, 5. On peut écrire :

4² + 6² + 10² + 12² + 15² + 17² + 19² + 21² = 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² + 20² + 22² = 1612

On peut additionner un même nombre à chacune des égalités trouvées dans cet article. En regard du dernier exemple, quand on additionne 1, on obtient :

5² + 7² + 11² + 13² + 16² + 18² + 20² + 22² = 6² + 8² + 10² + 12² + 15² + 17² + 21² + 23² = 1828

# 5965             27 mai 2021

Magie 4 × 4 et polygonaux

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

On peut trouver des égalités de polygonaux à partir d’un carré magique d’ordre 4. Toutefois, il n’existe pas de règle qui nous assure qu’une égalité de polygonaux puisse être tirée des rangées.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

Examinons les possibilités dans le carré magique suivant.

En considérant les triangulaires dont l’exposant est Δ, on peut écrire :

1^Δ + 4^Δ + 14^Δ + 15^Δ = 16^Δ + 13^Δ + 3^Δ + 2^Δ = 236

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

En considérant les pentagonaux dont l’exposant est p, on peut écrire :

11^P + 10^P + 8^P + 5^P = 6^P + 7^P + 9^P + 12^P = 448

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre y compris pour les carrés.

En considérant les hexagonaux dont l’exposant est h, on peut écrire :

1^h + 13^h + 8^h + 12^h = 4^h + 16^h + 5^h + 9^h = 722

Étudions un carré magique général dont la somme de chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 2(2a + 3b + 3c).

Donnons une valeur à chaque variable. Par exemple, on fait a = 1, b = 2 et c = 5. On obtient le carré magique ci-après dont la somme par rangée est 46.